《微積分》（經(jīng)濟(jì)管理）1學(xué)習(xí)要求：平時30%+考試70%認(rèn)真聽課，完成作業(yè)?。?！考核：平時：學(xué)習(xí)通課程積分60%+線上測試40%23第六章定積分

定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個一種認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的definiteintegral不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想—主要組成部分.思想方法.41、定積分的概念與性質(zhì)；2、微積分基本公式；3、換元積分法；4、分部積分法；5、廣義積分;6、定積分的應(yīng)用主要內(nèi)容☆☆☆☆5第一、二節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義定積分定積分的性質(zhì)***definiteintegral61.曲邊梯形的面積定積分概念也是由大量的實際問題抽象出來的。求由連續(xù)曲線一、定積分問題舉例矩形面積梯形面積7用矩形面積（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積.近似取代曲邊梯形面積8采取下列四個步驟來求面積A.(1)

大化小(分割)(2)

常代變長度為為高的小矩形,面積近似代替,iADnixfAiiiL,2,1,)(=D?Dx有9(3)

近似和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)

求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細(xì),極限值就是曲邊梯10二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定義若干個分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積并作和記如果不論對(1)(2)(3)(4)11被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.積分下限積分上限積分變量[a,b]積分區(qū)間特殊乘積和式的極限12(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,定積分是一個數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)有關(guān);注無關(guān).而與積分變量的記號無關(guān).不定積分表示全體原函數(shù)。13曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義三、定積分的幾何意義各部分面積的代數(shù)和14例1.解：oxy

解：

函數(shù)y

1

x在區(qū)間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.

例2.

15定理1定理2四、關(guān)于函數(shù)的可積性可積.且只有有限個間可積.當(dāng)函數(shù)的定積分存在時,可積.斷點(diǎn),充分條件16對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明五、定積分的性質(zhì)在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大?。再|(zhì)1性質(zhì)217

補(bǔ)充例

(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3假設(shè)的相對位置如何,上式總成立.不論18性質(zhì)4性質(zhì)5如果在區(qū)間則性質(zhì)5的推論1證如果在區(qū)間則于是19例3.

比較定積分解:設(shè)則即和的大小.20的大小。解：在上，例如：比較21證性質(zhì)5的推論2性質(zhì)5如果在區(qū)間則由推論122證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6分別是函數(shù)最大值及最小值.則23解估計積分例4連續(xù)，24解估計積分例525證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:積分中值公式至少存在一點(diǎn)使即26積分中值公式的幾何解釋至少存在一點(diǎn)在區(qū)間使得以區(qū)間為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積.27說明:

可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對因為283.定積分的性質(zhì)4.

典型問題(1)估計積分值;(2)不計算定積分比較積分大小.六、小結(jié)1.定積分的實質(zhì):特殊和式的極限.2.定積分的思想和方法:以直代曲、以勻代變.四步曲:分割、取近似、求和、取極限.思想方法29§第三節(jié)

微積分基本公式

積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Newton—Leibniz公式★☆☆fundamentalformulaofcalculus

第六章定積分30一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

注一定要分清函數(shù)的與自變量x積分變量t.設(shè)f(x)在[a,b]中可積,則對任一點(diǎn)積分上限函數(shù)下面討論這個函數(shù)的可導(dǎo)性.31證定理1(原函數(shù)存在定理)因為從而設(shè)連續(xù)，32

積分中值定理定積分性質(zhì)3故33

定理1指出:積分聯(lián)結(jié)為一個有機(jī)的整體(2)連續(xù)函數(shù)f(x)一定有原函數(shù),就是f(x)的一個原函數(shù).(1)積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系,它把微分和所以它是微積分學(xué)基本定理.函數(shù)—微積分,34推論證:設(shè)，則變限積分求導(dǎo)設(shè)連續(xù)，?35推論36例2.

解:例3.

解:例1.設(shè)

解：37例4.設(shè)

求解：因為所以38例5

已知解：因為積分變量是

t，被積函數(shù)中的

x相當(dāng)于

t而言是常數(shù)，根據(jù)定積分的性質(zhì)，x可以提到積分號外。39例6解這是型未定式,分析應(yīng)用L’Hospital法則40練習(xí)：

求極限解：41例7.

確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c

≠0,

故又由～得洛42定理2（Newton-Leibniz公式）證牛頓(英)1642―1727

萊布尼茨(德)1646―1716如果是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),則都是f(x)在[a,b]因為上的原函數(shù),故有C是待定常數(shù),即有二、Newton—Leibniz公式)(aFC-=43牛頓(Newton)—萊布尼茨(Leibniz)公式微積分基本公式特別,44微積分基本公式表明注求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量.仍成立.45解例1.

解:例2.計算

46例3

原式解

面積例4

解平面圖形的面積.所圍成的47例5解由圖形可知注如被積函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)分段分成幾個再用牛—萊公式.積分,48解練習(xí)49解如被積函數(shù)有絕對值,注再用去掉后,N--L公式.應(yīng)分區(qū)間將絕對值例6

50

微積分基本公式積分上限函數(shù)(變上限積分)

積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．三、小結(jié)注意其推論.51

分析求必須先化掉積分號,只要對所給積分方程兩邊求導(dǎo)即可.解對所給積分方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得練習(xí)需先求出即)1(2xx+][f52思考題已知兩曲線在點(diǎn)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限解故所求切線方程為53解：)練習(xí)54解求極限

練習(xí)55證例證明函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).56為單調(diào)增加函數(shù).故57證令為單調(diào)增加函數(shù).證明:只有一個解.例.所以原方程只有一個解.58例試證明:積分中值定理中的可在開區(qū)間取得,即如果則至少存在一點(diǎn)使得證令由定理1(原函數(shù)存在定理)知:可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理,至少存在一點(diǎn)使得即59第四節(jié)

定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法定積分的分部積分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution第六章定積分60定理1則有定積分換元公式假設(shè)函數(shù)定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法函數(shù)滿足條件:(1)(2)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域61例1.

解

在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要變.定積分的上、新的變量t,注定積分的換元法和分部積分法62或定積分的換元法和分部積分法換元一定要換積分限

不換元積分限不變

注63例2.

解

或提示：64例3.計算解:令則∴原式=且這是半徑為a的四分之一的圓的面積.65例4.

計算解:

令則∴原式=且66計算解：用定積分換元法.則x=t2，dx=2tdt，于是.3ln24-=[]|1|ln220+-=tt練習(xí)67

解

例5.

提示：68

幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)的定積分的例子.換元積分由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來確定變換.通常定積分的換元法和分部積分法還可以證明一些定積分等式,奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)且有則則偶倍奇零69證明由于定積分的換元法和分部積分法作變換,則70奇函數(shù)例6.

計算解（2）原式偶函數(shù)在對稱區(qū)間上是奇函數(shù)，故（1）因為71解:練習(xí)72例7.

求解

利用對稱區(qū)間積分計算公式原式＝73定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法二、定積分的分部積分法設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則definiteintegralbyparts定理2由不定積分的分部積分法及N--L公式.74分部積分過程：例1.

計算解:原式=75計算解:

原式=練習(xí)76解:

根據(jù)定積分的分部積分公式得例2.

計算.dln41xxxòxxxdln41òxxdln241ò=77例3.

計算解78證明三角函數(shù)的定積分公式例設(shè)定積分的換元法和分部積分法證畢.79例4.

證明定積分公式證明：設(shè)n為正偶數(shù)n為大于1的正奇數(shù)J.Wallis公式定積分的換元法和分部積分法80積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止因為定積分的換元法和分部積分法81所以,當(dāng)n為正偶數(shù)時,當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時,定積分的換元法和分部積分法82例

為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)上公式在計算其它積分時可以直接引用.注定積分的換元法和分部積分法83例5.解用公式n為正偶數(shù)定積分的換元法和分部積分法84例6.

計算解：第二項用換元積分法：令則一般：85例7.

定積分的換元法和分部積分法解一即{86例7.

定積分的換元法和分部積分法解二令則87定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法三、小結(jié)定積分的換元公式奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式88思考題解答定積分的換元法和分部積分法89

計算解：令

換元必?fù)Q限不換元則不換限練習(xí)90解令原式練習(xí)定積分的換元法和分部積分法911.

解：原式定積分的換元法和分部積分法922.計算(1)解：易知因此且積分區(qū)間對稱于原點(diǎn)，奇函數(shù)93

解

例

分部積分過程：94例

解定積分的換元法和分部積分法原式=95例

解定積分的換元法和分部積分法原式=?96練習(xí)奇偶定積分的換元法和分部積分法97練習(xí)解用定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法98練習(xí)解被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式,應(yīng)先作換元變換,則分析定積分的換元法和分部積分法99例

解無法直接求出所以因為沒有初等原函數(shù),定積分的換元法和分部積分法分析被積函數(shù)中含有“積分上限的函數(shù)”,用分部積分法做.選擇積分上限的函數(shù)為100定積分的換元法和分部積分法注今后也可將原積分化為二重積分計算.101無窮限的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分第五節(jié)廣義積分(反常積分)improperintegral第六章定積分102

定義1

即當(dāng)極限存在時,稱廣義積分當(dāng)極限不存在時,稱廣義積分如果極限存在,則稱這個極限值廣義積分,(1)收斂;發(fā)散.一、無窮限的廣義積分103注為了方便起見,規(guī)定:對廣義積分可用如下的簡記法使用N--L公式,104例1

計算廣義積分解105練習(xí)計算(1)解:(2)106

即當(dāng)極限存在時,稱廣義積分當(dāng)極限不存在時,稱廣義積分存在,如果極限則稱這個極限值廣義積分,(2)收斂;發(fā)散.107如果廣義積分和都收斂,則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱廣義積分上的廣義積分,,即收斂;記作發(fā)散.否則稱廣義積分(3))(xf108注為了方便起見,規(guī)定:對廣義積分可用如下的簡記法使用N--L公式,109例2.

計算廣義積分解廣義積分的積分值的幾何意義110例3.證明第一類p

積分證:當(dāng)

p=1

時有

當(dāng)

p≠1

時有當(dāng)p>1

時收斂;p≤1

時發(fā)散.因此,當(dāng)

p>1

時,廣義積分收斂,其值為當(dāng)

p≤1

時,廣義積分發(fā)散.111練習(xí)計算解：原式112定義2即當(dāng)極限不存在時,稱廣義積分則稱此極限為仍然記為如極限存在,也稱廣義積分函數(shù)二、無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)廣義積分,收斂;發(fā)散.瑕點(diǎn)(1)上的在],()(baxf113否則,如果極限存在,(2)瑕點(diǎn),稱廣義積分發(fā)散.的為點(diǎn))(xfb則稱此極限為函數(shù)廣義積分,上的在),[)(baxf即也稱廣義積分收斂;114若等號右邊兩個廣義積分如果則定義否則,就稱廣義積分發(fā)散.都收斂,(3)瑕點(diǎn),廣義積分注如瑕點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部,分別討論各段瑕點(diǎn)積分.通常用瑕點(diǎn)將區(qū)間分開,,)(外連續(xù)除bcacx<<=的點(diǎn)為)(xfc-?ctlim115例1.

計算廣義積分解為瑕點(diǎn),這個廣義積分值的直線x=0與x=a位于曲線x軸之上,之間的圖形面積.幾何意義之下,116注為了方便起見,

由N—L公式,則廣義積分規(guī)定:

),()(xfxF=￠)()(+-aFbF-=)(bF)(limxFax+?=òbaxxfd)()()(limaFxFbx--?=òbaxxfd)(117例2.

計算廣義積分解故原積分發(fā)散.118下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.

討論廣義積分的收斂性.解:所以廣義積分發(fā)散.在區(qū)間[-1,1]上x=0為函數(shù)的瑕點(diǎn)，119證{廣義積分收斂,其值為廣義積分發(fā)散.例4.

證明廣義積分120練習(xí)計算（1）解：原式(2)(3)121無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)無窮限的廣義積分注意三、小結(jié)1.不要與常義積分混淆;2.不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn).1221.

求解發(fā)散.也發(fā)散.注錯誤的做法:=òxxd110Q123瑕點(diǎn)解2.

計算廣義積分124思考題積分的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？解答積分不是瑕點(diǎn),的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是又125提示：例.

解平面圖形的面積體積第六節(jié)定積分的幾何應(yīng)用第六章定積分定積分的元素法126定積分有著廣泛的用途,

先介紹建立定積分的一種適用的簡便方元素法(微元法).本章介紹它在幾何,經(jīng)濟(jì)上的簡單應(yīng)用,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力.法---一、定積分的元素法127究竟哪些量可用定積分來計算呢。首先討論這個問題。

結(jié)合曲邊梯形面積的計算及定積分的定義?可知，用定積分計算的量應(yīng)具有如下許多部分區(qū)間，(即把[a,b]分成兩個特點(diǎn):(1)所求量I與[a,b]有關(guān)；(2)I在[a,b]上具有可加性則I相應(yīng)地分成許多部分量，而I等于所有部分量之和)。128有了N--L公式后,對應(yīng)用問題來說關(guān)鍵就在于如何寫出被積表達(dá)式.

這個復(fù)雜的極限運(yùn)算問題得到了解決.為量I的微元或元素.129這個小區(qū)間上所對應(yīng)的小曲邊梯形面積面積元素得

建立如下.地等于長為f(x)、寬為dx的小矩形面積,故有近似上任取一小區(qū)間在],[ba],d,[xxx+130這種簡化了的建立積分式的方法稱為元素法或微元法.方法簡化步驟)1(求出上任取一小區(qū)間在],d,[],[xxxba+也是它的的近似值上所求量(]d,[IxxxD+即的微分,d)()xxf.d)(xxfI?D131二、平面圖形的面積

回憶的幾何意義:曲邊梯形的面積.

啟示

一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以用定積分來計算.定積分

下面曲線均假定是連續(xù)曲線.

注132求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(yīng)(1)即直角坐標(biāo)系中圖形的面積小區(qū)間所求面積為133(2)

由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(yīng)小區(qū)間所求面積為134例1.解畫草圖,求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便解方程組:交點(diǎn)面積元素法一選為積分變量,?確定積分限,xxxd)3(2+-=xxy22-=)3,3(·0=-yx135法二選y為積分變量,面積元素136例2.計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)137

求由曲線y=x

2與

y=2–x

2所圍成的平面圖形的面積.解解方程組求得兩拋物線的交點(diǎn)為(–1,1),(1,1),故所求平面圖形(如圖)的面積為(1,1)(-1,1)Oxy1-1y=x

2y=2-x

2練習(xí)138例3.

計算拋物線與直線所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有139解曲線的參數(shù)方程為由對稱性,作變量代換,例4.其中總面積等于4倍第一象限部分面積．不易積分.

一般地,當(dāng)曲線用參數(shù)方程表示時,都可以用類似的變量代換法處理..12222的面積求橢圓=+byax140例5.解:兩曲線交點(diǎn)為由于圖形關(guān)于y軸對稱,故141二、體積1.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)所給立體上連續(xù),則用元素法求得界于過軸上兩點(diǎn)且垂直于軸的兩平面之間，其垂直于軸的截面積為的體積采用元素法1.取為積分變量，其變化區(qū)間為2.對應(yīng)于小區(qū)間體積元素3.所求立體體積為142圓柱圓錐圓臺旋轉(zhuǎn)體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．2.旋轉(zhuǎn)體的體積143旋轉(zhuǎn)體的體積采用元素法如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,體積為多少?取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素(1)144例1.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:

方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)145方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時,就得半徑為a的球體的體積146解體積元素例取積分變量為x,oxy旋轉(zhuǎn)體的體積：

147如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,體積為多少?(2)直線體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積148解:兩曲線的交點(diǎn)為繞y軸旋轉(zhuǎn)ò-=104d)(yyyp例2.149練習(xí)解:150求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積.

（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算）四、小結(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸旋轉(zhuǎn)一周繞

y

軸旋轉(zhuǎn)一周151解例.求擺線的一拱與y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積變量代換152繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖OABC與OBC分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.擺線令ò--=pp2023dsin)sin(tttta153注分部積分(利用“偶倍奇零”)154155例.求擺線的一拱與y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.柱殼體積分析:

柱面面積偶函數(shù)奇函數(shù)156解:繞x軸旋轉(zhuǎn)練習(xí).曲線與直線x=1,x=4和x軸所圍成的平面圖形面積，并分別求該圖形繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.所求面積為：繞y軸旋轉(zhuǎn)柱殼體積或14157練習(xí).曲線與直線y=0,y=x所圍成的平面圖形面積，并求該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.繞y軸旋轉(zhuǎn)解:

由得交點(diǎn)1所求面積1158解:練習(xí).過曲線上點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面圖形面積而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積為(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周則在點(diǎn)A的切線方程為

令

y=0得所求面積于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為159

練習(xí).

求位于曲線下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以及軸之間的圖形的面積及繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。

1

解:則切線方程為：

由切線過原點(diǎn)知得故得到切線方程為.

所以選取為積分變量,.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為M的坐標(biāo)為.160面積元素：1所求的幾何圖形的面積為：1611所求旋轉(zhuǎn)體體積為繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積與繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積的差162163自測題A8.

設(shè)某種商品在產(chǎn)量x

單位時的邊際成本為(1)總利潤函數(shù)L(x)，(2)產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？解:

注意到C(0)=50,故收益函數(shù)R(x)固定成本為50,邊際收入函數(shù)為

求：164L(x)=R(x)

C(x)令L

(x)=0,得x

=1或x

=11，又L

(1)=10>0,所以,x=11是極大值點(diǎn)，于是,總利潤函數(shù)即產(chǎn)量為11單位時,總利潤最大.L

(11)=10<0,165例.

設(shè)某種商品在產(chǎn)量x(百臺)時的邊際成本函數(shù)為(萬元百臺),(1)總成本函數(shù)C(x)，(2)產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？最大利潤為多少?解:

注意到C(0)=3,故設(shè)收益函數(shù)為R(x),則R(x)=Px固定成本為3萬元,若該

商品的售價為且產(chǎn)品可以全部售出，求：166L(x)=R(x)

C(x)=0.4x2+8x

3,L

(x)=0.8x+8.令L

(x)=0,得x

=10.又L

(10)=0.8<0,所以,x=10是極大值點(diǎn)，Lmax(10)=37(萬元).于是,總利潤函數(shù)即每天生產(chǎn)10萬元時,獲得最大利潤,即167

例.

設(shè)某種商品每天生產(chǎn)x

單位時固定成本為20元,邊際成本函數(shù)為(元單位),求總成本C(x).如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元,且產(chǎn)品可以全部出售,求總利潤函數(shù)L(x),并問每天生產(chǎn)多少單位時才能獲得最大利潤.解:

注意到C(0)=20,故設(shè)收益函數(shù)為R(x),則R(x)=18x,168L(x)=R(x)

C(x)=18x(0.2x2+2x+20)=0.2x2+16x

20,L

(x)=0.4x+16.令L

(x)=0,得x

=40,又L

(40)=0.4<0,所以,每天生產(chǎn)40單位時,獲得最大利潤,即Lmax(40)=300(元).于是,利潤函數(shù)結(jié)論:n

為偶數(shù)n

為奇數(shù)169例1.

設(shè)由曲線，及

圍成平面圖形

繞軸,軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解:(一)求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

取為積分變量,如圖,170(二)求繞

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積取為積分變量,如圖,171例2.

求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:

設(shè)拋物線上切點(diǎn)為則該點(diǎn)處的切線方程為它與x,y

軸的交點(diǎn)分別為所指面積172且為最小點(diǎn).故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點(diǎn)173例3.

設(shè)非負(fù)函數(shù)曲線與直線及坐標(biāo)軸所圍圖形(1)求函數(shù)(2)

a

為何值時,所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解:(1)由方程得面積為2,體積最小