1、向量空間的概念2、向量空間的基與維數(shù)3、向量的坐標(biāo)教學(xué)要求：*(1)了解n維向量空間的概念，了解Rn

的基底、子空間及其維數(shù)的概念，了解向量在不同基底下的坐標(biāo)變換。(2)了解n維向量內(nèi)積的概念，會用施密特(Schmidt)方法將線性無關(guān)向量組標(biāo)準正交化。(3)了解正交矩陣的概念及其性質(zhì)。1、向量空間的定義定義4.1

設(shè)V

為數(shù)域R上的n維向量的非空集合，且滿足：①對加法封閉：若α∈V，β∈V，則α+β∈V；②對數(shù)乘封閉：若α∈V，k∈R，則

kα

∈V；那么就稱向量集合V為數(shù)域R上的向量空間（VectorSpace），簡稱向量空間．說明：（1）由定義，V中存在零向量。V中任一向量的負向量也在V中。O=0α

∈V，α=(-1)α

∈V（2）一般情況下，向量空間中有無限多個向量。（3）加法及乘數(shù)兩種運算統(tǒng)稱為線性運算，因而向量空間也可理解為關(guān)于線性運算封閉的非空集合?！纠?.1】全體3維向量構(gòu)成的集合｛α

=(a1,a2,a3)T|ai

∈R(i=1,2,3)｝是一個向量空間,記為R3

，即R3=｛α

=(a1,a2,a3)T|ai

∈R(i=1,2,3)｝?！纠?.2】

全體n維實向量構(gòu)成的集合｛α

=(a1,a2,…,an)T

|ai

∈R(i=1,2,…,n)｝是一個向量空間,記為Rn,即Rn

=｛α

=(a1,a2,…,an)T

|ai

∈R(i=1,2,…,n)｝?！纠?.3】集合因為，若所以，集合V

對加法與數(shù)乘運算封閉！因此V是一個向量空間。是一個向量空間，其中V中的每個向量的第一個分量為零。則即V對加法運算封閉!即V對數(shù)乘運算封閉!【例4.4】集合即集合V對數(shù)乘運算不封閉！故V不是一個向量空間。不是一個向量空間，其中V中的每個向量的第一個分量為常數(shù)“1”。因為，若取常數(shù)k=2,則（第1個分量為2，不等于1）【例4.5】由兩已知向量α,β

的全體線性組合構(gòu)成的集合是一個向量空間。事實上，因為V中任意兩個向量這個向量空間V稱為由α,β

生成的向量空間，記作L(α,β).所以，集合V

對加法與數(shù)乘運算封閉！則即V對加法運算封閉；即V對數(shù)乘運算封閉，一般地，由向量組α1,α2,…,αm所生成的向量空間記為例如：由基本單位向量組ε1,ε2,…,εn所生成的向量空間為Rn,即Rn={α=(a1,a2,…,an)T

|α=a1ε1+a2ε2

+…+anεn,ai

∈R(i=1,2,…,n)

}【例4.6】齊次線性方程組的解集是一個向量空間(稱為齊次線性方程組的解空間)。事實上：若齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為

1,

2,…,

n-r

，則通解集合為即解集S可以看成是

1,

2,…,

n-r

生成的向量空間。若向量α∈V1,則α可由α1,α2,…,αm線性表示，又因α1,α2,…,αm與β1,β2,…,βt

等價，故α也可由β1,β2,…,βt線性表示，所以α∈V2

，即V1

V2.同理，若向量β∈V2

，則β∈V1，即V2

V1

。因此V1=V2，即等價的向量組生成的向量空間相同?！咀C】設(shè)向量組α1,α2,…,αm與β1,β2,…,βt

等價，記它們生成空間為【補例1】證明：等價的向量組生成的向量空間是相同的。

向量空間的維數(shù)定義4.2

如果向量空間V中有r個線性無關(guān)的向量，且V中任意r+1個向量均線性相關(guān)，則稱V為維向量空間，或者說V的維數(shù)是r，記為dim(V)=r。注：(1)由定義，只有零向量的向量空間的維數(shù)規(guī)定為0，即

dim{O}=0.(3)對于向量空間Rn，由于n維基本單位向量組ε1,ε2,…,εn線性無關(guān)，且n維向量都可由其線性表示，所以dim{Rn}=n.(4)空間的維數(shù)是空間的重要數(shù)字特征，這一點在以后的學(xué)習(xí)中可逐步體會到。(2)空間的維數(shù)與向量的維數(shù)是不同的概念，二者不能混淆。向量的維數(shù)是指向量的分量個數(shù)。

例如，（1）任何由n維向量所組成的向量空間V

，總有所以這樣的向量空間總是Rn

的子空間。定義4.3設(shè)V是一個向量空間，V1

非空

且V1

V,若V1對于加法及乘數(shù)運算也是封閉的，則稱V1是V的子空間。

子空間注：（1）由定義，只有零向量的空間{0}是Rn的子空間，稱為零子空間；向量空間Rn也是Rn的子空間，稱為平凡子空間。生成的空間是Rn的子空間。（3）容易證明：若V1是V的子空間，則dim(V1)

dim(V)

，即子空間的維數(shù)小于等于空間的維數(shù)。（2）由s個n維向量

（2）n元齊次齊次線性方程組Ax=0的解向量空間S

，總有所以解向量空間S=｛x|Ax=0

｝是Rn

的子空間。2、基與坐標(biāo)定義4.4若向量空間V的維數(shù)為r,則在V中的個線性無關(guān)的向量組就稱為V的一個基或基底。又設(shè)α1,α2,…,αr

為向量空間V的一個基，則V中任一向量

可唯一地表示為α=x1α1+x2α2+…+xrαr

，數(shù)組x1,x2,…,xr稱為α

在基α1,α2,…,αr

中的坐標(biāo)，記作(x1,x2,…,xr).注:(1)如果V

是0維向量空間，即只含一個0向量，那么V沒有基。(2)若把向量空間V看作向量組，則向量空間V的基就是向量組的極大無關(guān)組，向量空間V的維數(shù)就是向量組的秩。(3)由于極大無關(guān)組不唯一，因此向量空間V的基不唯一。（4）引入向量在確定基中的坐標(biāo)，從方法論上來說，對向量空間V的研究可以轉(zhuǎn)化為對n維向量的研究。V中的向量

是n維的，而

在基中的坐標(biāo)是r維的向量，r

n，這也達到了降為的目的。例如：（1）在向量空間Rn中，由于n維基本單位向量組ε1,ε2,…,εn線性無關(guān)，且任意向量α

都由其線性表示，所以ε1,ε2,…,εn是Rn的一個基（稱為自然基）,且dim(Rn)=n,即Rn是n維空間。（2）設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0

的解向量空間

S={x|Ax=0}，那么Ax=0的基礎(chǔ)解系

1,

2,…,

n-r是S的一組基，S

的維數(shù)為n-r,即dim(S)=n-r.即解向量空間的維數(shù)為n-r。以下，我們主要研究向量空間Rn

及其子空間V。（3）由定義,在向量空間Rn中，求向量α=(a1,a2,…,an)T

在基

1,

2,…,

n中的坐標(biāo)，等價于解線性方程組記矩陣A=(1,

2,…,

n),α

的坐標(biāo)為x=(x1,x2,…,xn)T,則

X滿足方程組Ax=α把矩陣(A,α

)中的A變成單位矩陣E，則α

即變成了x=A-1α

.在基【例4.7】設(shè)R3的一個基為【解】設(shè)向量求向量中的坐標(biāo)。中的坐標(biāo)為在基由已知,得方程組即用初等行變換求解此方程，得所以

在中的坐標(biāo)為【補例2

】在空間R4

中，求向量α=(4,3,2,1)T在基η1,η2,η3

,η4下的坐標(biāo),其中x1η1+x2η2+x3η3+x4η4=α解:

求向量α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)等價于解線性方程組即故α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3,

x4)T=(1,1,1,1)T.作初等行變換，解線性方程組Ax=α，得故α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3,

x4)T=(1,1,1,1)T,也即

α=x1η1+x2η2+x3η3+x4η4

=1η1+1η2+1η3+1η4或者，解得：故α在基η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3,

x4)T=(1,1,1,1)T,也即

α=x1η1+x2η2+x3η3+x4η4

=1η1+1η2+1η3+1η42.設(shè)是R3一組基,1.設(shè)問V1,V2是不是向量空間？為什么？

求α=(2,0,0)T在這組基下的坐標(biāo).練習(xí)END1、基變換與過渡矩陣2、坐標(biāo)變換公式教學(xué)要求：了解n維向量空間的概念，了解Rn的基底、子空間及其維數(shù)的概念，了解向量在不同基底下的坐標(biāo)變換。

向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，向量空間作為無窮多個向量組成的向量組，它的基也不是唯一的，那么不同的兩組基之間關(guān)系如何？【引入基變換與過度矩陣概念?。?！】同一向量在不同的基下的坐標(biāo)是不同的，那么，不同基下的坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系呢？【引入坐標(biāo)變換公式?。。　?、基變換與過渡矩陣定義4.5(基變換公式)設(shè)

1,

2,…,

n與

1,

2,…,

n是空間Rn中的兩組基，且存在如下線性關(guān)系

其中pij(i,j=1,2,…,n)為常數(shù)，則稱（4.1）為基

1,

2,…,

n到基

1,

2,…,

n的基變換公式。稱P為由基

1,

2,…,

n到基

1,

2,…,

n的過渡矩陣。記矩陣例如,在Rn中的兩組基與顯然有基變換公式所以由基到基的過渡矩陣利用分塊矩陣的乘法，（4.1）式可表示為記矩陣A=(

1,

2,…,

n

),B=(

1,

2,…,

n

)，稱A,B

為基矩陣，由（4.2），顯然矩陣A，B，P

滿足等式：B=AP.又由于

1,

2,…,

n與

1,

2,…,

n都是基向量組，故兩個向量組都是線性無關(guān)組，所以基矩陣A,B都可逆，因此P=(pij)

也可逆，且

P=A-1B.即過渡矩陣P是滿足矩陣方程AX=B的解。根據(jù)矩陣方程AX=B的求解方法，可得求過渡矩陣P的方法，即用初等行變換求過渡矩陣P：P2、坐標(biāo)變換公式定理4.1設(shè)Rn中的向量

在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(x1,x2,…,xn)T,在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(y1,y2,…,yn)T,且基

1,

2,…,

n

到基

1,

2,…,

n的過渡矩陣為P，則坐標(biāo)變換公式：或者稱為坐標(biāo)變換公式。證明：因為α在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(x1,x2,…,xn)T,所以又因為α在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(y1,y2,…,yn)T,所以于是，得出而基

1,

2,…,

n與基

1,

2,…,

n下之間有關(guān)系式的唯一性，于是或者由坐標(biāo)表示證畢(1)求基到基(2)求

關(guān)于這兩個基的坐標(biāo)。

設(shè)R3的兩個基為【例4.8】和以及向量的過渡矩陣；【解】(1)記對矩陣(A,B)作初等行變換，。所以，由基到基的過渡矩陣：(2)求向量在基中的坐標(biāo)，即設(shè)之下的坐標(biāo)為所以

在用初等行變換求解方程，下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為

在又由(1)的過渡矩陣P以及坐標(biāo)變換公式得之下的坐標(biāo)為即

在

在【補例4】在向量空間R3中，取兩組基α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,3,2)T,β1=(2,4,3)T,β2=(3,6,6)T,β3=(2,5,5)T,

求α1,α2,α3

到β1,

β2,β3的過渡矩陣與基變換公式。解求過渡矩陣（初等行變換法）P所以由基α1,α2,α3

到基β1,

β2,β3的變換公式為P所以過渡矩陣其逆矩陣【補例5】在向量空間R

3中，取兩組基α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,3,2)T,β1=(2,4,3)T,β2=(3,6,6)T,β3=(2,5,5)T,求α=(7,9,11)T分別在兩組基下的坐標(biāo)?！窘狻肯惹筮^渡矩陣（初等行變換法）所以過渡矩陣其逆矩陣方法一：分別求α

在基α1,α2,α3

及β1,β2,β3下的坐標(biāo),用初等行變換所以α

在基α1,α2,α3

下的坐標(biāo)為(5,2,0)T.所以α

在基β1,

β2,β3下的坐標(biāo)為(-2,7,-5)T.方法二：用坐標(biāo)變換公式求

在基

1,

2,

3

的下的坐標(biāo)。已知

在基

1,

2,

3下的坐標(biāo)為(5,2,0)T

，且基

1,

2,

3

到基

1,

2,

3設(shè)

在基

1,

2,

3

下的坐標(biāo)為(y1,y2,y3)T

，由坐標(biāo)變換公式，則其逆矩陣的過渡矩陣為【補例5

】

設(shè)解

要驗證

1,

2,

3是R3的一個基，只要證

1,

2,

3線性無關(guān)。驗證

1,

2,

3是R3

的一個基，并把

1,

2

用該組基線性表示。設(shè)記作AX=B。則其矩陣表示為對矩陣(A,B)施行初等行變換，若A

能變成E，則α1,α2,α3是R3

的一個基，且當(dāng)A

變成E

時，同時B

就變?yōu)閄=A-1B.這是矩陣方程，求解這個矩陣方程：

所以即把

1,

2

用

1,

2,

3表示為解畢。1.求基α1,α2,…,αn到基αn,αn-1,…,α2,α1的過渡矩陣。2.在R3中，取兩組基α1=(1,2,1)T,

α2=(2,3,3)T,

α3=(3,7,1)T以及β1

=

(3,1,4)T,β2=(5,2,1)T,β3=

(1,1,-6)T,（1）求α1,α2,α3

到β1,

β2,β3的過渡矩陣;（2）求α=(3,6,2)T分別在兩組基下的坐標(biāo)。練習(xí)END2、向量的長度與夾角1、內(nèi)積的定義和性質(zhì)3、正交向量組教學(xué)要求：了解n維向量內(nèi)積的概念，會用施密特(Schmidt)方法將線性無關(guān)向量組標(biāo)準正交化。了解正交矩陣的概念及其性質(zhì)。1、內(nèi)積的定義定義4.6

設(shè)n維實向量

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,稱實數(shù)a1b1+a2

b2+…+anbn為向量α與β的內(nèi)積，記作[

,

],即[

,

]=a1b1+a2b2+…+anbn

.說明：由定義，向量的內(nèi)積是標(biāo)量數(shù)值，因此有些教材將內(nèi)積也稱為數(shù)量積。(2)由定義，內(nèi)積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有或者因此，向量的內(nèi)積又可記成：

T

或者

T

用矩陣形式表示，有例如，已知

=(1,2,0,4)T,

=(-1,2,5,-2)T,則它們的內(nèi)積或者用矩陣形式表示，有注：可見，向量的內(nèi)積為常數(shù)，該常數(shù)可正，可負，可為零.例如，已知則它們的內(nèi)積內(nèi)積運算的性質(zhì)：（1）對稱性：[

,

]=[

,

]；（2）分配律：[

,

+

]=[

,

]+[

,

];（4）非負性：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于任何向量

=(a1,a2,…,an)T

,[

,

]=（3）結(jié)合律：[k

,

]=k[

,

];當(dāng)且僅當(dāng)

=0時[

,

]=0.給定向量

，

，

，以及常數(shù)k,則內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：【解】由內(nèi)積定義【例4.9】設(shè)計算2、向量的長度與單位化為向量

的長度(模或范數(shù))。當(dāng)||

||=１時，稱向量

稱為單位向量.定義4.7

設(shè)n維向量

=(a1,a2,…,an)T,稱注：由定義，基本單位向量組ε1,ε2,…,εn中每個向量是單位向量，這因為這也是基本單位向量名稱的由來??！說明：①當(dāng)

≠0時，稱是

的單位化向量.②由非零向量

得到單位向量的過程稱為

的單位化。設(shè)所以

的單位化向量為則向量

的長度例如：因為故

不是單位向量，而

是單位向量?！纠?.10】

檢驗向量是否為單位向量?！窘狻恳驗橄蛄块L度的運算性質(zhì)（1）正定性：||

||≥0,當(dāng)且僅當(dāng)

=0時||

||=0.（2）齊次性：||k

||=|k|||

||.（3）三角不等式：||

+

||≤||

||+||

||.（4）柯西－施瓦茲（Cauchy－Schwarz）不等式:當(dāng)且僅當(dāng)

與

的線性相關(guān)時，等號成立.施瓦茲不等式的證明如下：1）若

,

線性相關(guān)，可設(shè)

=k，于是，于是2）若

,

線性無關(guān)，則可設(shè)等號成立綜上1）和2），總有這是關(guān)于k的二次三項式，判別式應(yīng)小于0,即所以成立。證畢3、向量的夾角定義4.8

設(shè)

與

為n維空間的兩個非零向量，

與

的夾角θ的余弦定義為

與

的夾角θ為例如：設(shè)

=(1,2,2,3)T,

=(3,1,5,1)T,

則定義4.9

對于向量

,

，若[

,

]=0，則稱

與

正交，記為

⊥

。例如，向量這因為則它們正交。說明：①若

=O,則

與任何向量都正交.②

⊥

當(dāng)且僅當(dāng)

=0。③對于非零向量

與

，因為[

,O]=0因為[α

,α

]=0【補例6】在向量空間Rn中，證明等式：||

+

||2=||

||2+||

||2成立的充要條件是向量

與

正交.解：因為所以||

+

||2=||

||2+||

||2成立的充要條件是[

,

]=0,即

與

正交.||

+

||2=[

+

,

+

]=[

,

]+[

,

]+2[

,

]=||

||2+||

||2+2[

,

]勾股定理推廣?。?、正交向量組

則稱為正交向量組。定義4.10如果非零向量兩兩正交，即由定義，正交向量組中的向量必須是非零向量。正交向量組具有下面的性質(zhì)。定理4.2

設(shè)是正交向量組，則必線性無關(guān)?！咀C】設(shè)有數(shù)使得左乘上式兩端得用又因為，所以有因此，向量組線性無關(guān)。而，所以性質(zhì)1（線性無關(guān)性）非零正交向量組必是線性無關(guān)組。證明：設(shè)α1,α2,…,αr

(r>0)是非零正交向量組，存在數(shù)k1,k2,…,kr

，使得以左乘上式兩端得又因為所以有而所以因此，由線性無關(guān)的定義，向量組α1,α2,…,αr線性無關(guān)。說明：(1)該性質(zhì)的逆命題是不成立的.即線性無關(guān)組未必是正交向量組。性質(zhì)2（組合正交性）若向量β與α1,α2,…,αs中每個向量都正交，則β

與α1,α2,…,αs的任一線性組合也正交.證明因為β

與α1,α2,…,αs中每個向量都正交，即[β,αi]=0(i=1,2,…,s)又設(shè)k1,k2,…,ks為任意常數(shù)，由內(nèi)積的性質(zhì)[β,k1α1+k2α2+…+ksαs

]=k1[β,α1]+k2[β,α2]+…+ks[β,αs

]=0,即β

與α1,α2,…,αs

的任一線性組合正交.說明：若向量空間的基是正交向量組，稱該基為向量空間的正交基。在向量空間中,通常選用標(biāo)準正交基,這樣便于對向量空間問題的深入研究.注:(1)定理表明，正交向量組是線性無關(guān)組。但反之不一定成立，即定理的逆命題是不成立的.這說明正交向量組是線性無關(guān)組中的特例。在一個向量空間中，若一個基(當(dāng)然是線性無關(guān)組)是正交向量組，稱該基為向量空間的正交基。我們研究向量空間時,通常選用正交基,這樣更便于對問題的深入研究.以下我們主要研究向量空間Rn的正交基問題。2.設(shè)

=(1,1,1,1)T,

=(1,0,1,0)T,求

與

的夾角余弦。1.若求[

,

].3.設(shè)

=(1,1,1,1)T,

=(1,-1,1,-1)T,求與

，

都正交的向量

。練習(xí)END2、標(biāo)準正交基1、正交向量組3、施密特正交化方法教學(xué)要求：了解n維向量內(nèi)積的概念，會用施密特(Schmidt)方法將線性無關(guān)向量組標(biāo)準正交化。了解正交矩陣的概念及其性質(zhì)。

定義4.10

若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組。由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準正交組.1、正交組與標(biāo)準正交組由定義，基本單位向量組ε1,ε2,…,εn

是標(biāo)準正交組.正交向量組具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1（線性無關(guān)性）非零正交向量組必是線性無關(guān)組。性質(zhì)2（組合正交性）若向量

與α1,α2,…,αs中每個向量都正交，則

與α1,α2,…,αs的任一線性組合也正交.性質(zhì)1（線性無關(guān)性）非零正交向量組必是線性無關(guān)組。證明：設(shè)α1,α2,…,αr

(r>0)是非零正交向量組，存在數(shù)k1,k2,…,kr

，使得以左乘上式兩端得又因為所以有而所以因此，由線性無關(guān)的定義，向量組α1,α2,…,αr線性無關(guān)。說明：(1)該性質(zhì)的逆命題是不成立的.即線性無關(guān)組未必是正交向量組。性質(zhì)2（組合正交性）若向量

與α1,α2,…,αs中每個向量都正交，則

與α1,α2,…,αs的任一線性組合也正交.證明因為

與α1,α2,…,αs中每個向量都正交，即[

,αi]=0(i=1,2,…,s)又設(shè)k1,k2,…,ks為任意常數(shù)，由內(nèi)積的性質(zhì)[

,k1α1+k2α2+…+ksαs

]=k1[

,α1]+k2[

,α2]+…+ks[

,αs

]=0,即

與α1,α2,…,αs

的任一線性組合正交.說明：若向量空間的基是正交向量組，稱該基為向量空間的正交基。在向量空間中,通常選用標(biāo)準正交基,這樣便于對向量空間問題的深入研究.2.標(biāo)準正交基定義4.11

若正交向量組

1,

2,…,

n是Rn上的一個基，則稱該基為正交基.若

1,

2,…,

n

還是標(biāo)準正交向量組，則稱

1,

2,…,

n為空間Rn上的一個標(biāo)準正交基.例如：在向量空間Rn中，n維基本單位向量組是Rn的一個基（稱為自然基）。它也是Rn的一個標(biāo)準正交基。設(shè)

1,

2,…,

n是Rn的一個標(biāo)準正交基，向量α∈Rn在該組標(biāo)準正交基中的坐標(biāo)為(x1,x2,…,xn)T,則有所以由內(nèi)積性質(zhì)，有下面討論任一向量在標(biāo)準正交基下的坐標(biāo)的求法。所以由內(nèi)積性質(zhì)，有又因為，所以這表明，向量在標(biāo)準正交基下的坐標(biāo)有很簡潔的計算表達式。即由此知，找出向量空間的標(biāo)準正交基是很有意義的。由向量空間的一個基構(gòu)造出向量空間的一個正交基的方法也稱為基的正交化。那么如何從向量空間的一個基出發(fā)，構(gòu)造出向量空間的一個標(biāo)準正交基呢？前人作了深入研究，得到一些方法，在這里我們不加證明地給出施密特方法。3、施密特（Schmidt）正交化法設(shè)

1,

2,…,

n是Rn的一個基，求Rn的一個標(biāo)準正交基

1,

2,…,

n

，使

1,

2,…,

n與

1,

2,…,

n等價，此過程稱為基

1,

2,…,

n的標(biāo)準正交化.

1,

2,…,

n的標(biāo)準正交化步驟.第一步，用施密特正交化方法求正交基；第二步，將正交基單位化得標(biāo)準正交基。第一步：（Schmidt）正交化令第二步：標(biāo)準化令則向量組

1,

2,…,

n就是Rn

的一組標(biāo)準正交基.可以證明：對任意的k(1≤k≤n)

向量組

1,

2,…,

k與

1,

2,…,

k,以及

1,

2,…,

k三者是等價的。(k=1,2,…,n).【例4.11】

設(shè)是向量空間R3的一個基，試求R3的一個標(biāo)準正交基?！窘狻浚?）將

1,

2,

3

正交化。令令（2）再將向量

1,

2,

3單位化。因為所以

1,

2,

3的單位化向量組為

1,

2,

3：所以向量組為

1,

2,

3

即為R3的一個標(biāo)準正交基。【例4.12】已知

1=(1,1,1)T,求非零向量

2,

3都與

1

正交,并求R3的一個標(biāo)準正交基。解：設(shè)非零向量x=(x1

,x2

,x3)T

與

1

正交，即[x,

1]=0,因此得方程或其基礎(chǔ)解系為

2=(-1,0,1)T，

3=(-1,1,0)T，則

2

,

3即為所求非零向量.再將向量組

1,

2,

3正交單位化即得R3的一個標(biāo)準正交基。這是只含一個方程的方程組,將x2

,x3視為自由未知量,得【解】設(shè)

3=(x1,x2,x3)T≠0,依題意，

3應(yīng)滿足:得方程組【補例6】已知在R3中，正交，試求向量α3，使得向量組

1,

2,

3為R3中的一個正交基.[

1,

3]=0,[

2,

3]=0得方程組解該方程組得其基礎(chǔ)解系向量可取作(x3是自由未知量)(注：向量α3不是唯一的！)施密特正交化方法也可用矩陣的初等變換法實現(xiàn)，不加證明地給出矩陣的初等變換法求標(biāo)準正交基的步驟：第二步：作矩陣第一步：設(shè)

1,

2,…,

n是Rn的一組基，作矩陣A=(

1,

2,…,

n),并求積ATA；第三步：對矩陣只作倍加初等列變換，當(dāng)把ATA化為其中P表示若干初等矩陣的乘積。當(dāng)把ATA化為下三角形矩陣時，同時把A化為矩陣B，即

第四步：記B=AP=(

1,

2,…,

n)，令，則

1,

2,…,

n是標(biāo)準正交基以上可見，該方法比施密特正交化方法簡化了計算，方法是貫穿線性代數(shù)學(xué)始終的初等變換，易記易用。因為所以作矩陣【例4.13】運用用初等變換法求解例4.12。【解】記對其作倍加初等列變換，化ATA為下三角形矩陣，同時將A化為B，即

故注：和施密特正交化方法得到同樣一組標(biāo)準正交基。

因此，所求標(biāo)準正交基為定義4.12

如果n階矩陣A滿足：ATA=E,則稱A為正交矩陣.則ATA=E（2）在定義中，若A按列分塊表示為A＝2、正交矩陣與正交變換說明：（1）由定義，單位矩陣一定是正交矩陣，這因為ETE=E;亦即這說明向量組

1,

2,…,

n是兩兩正交的單位向量組。因此，方陣A是正交矩陣等價于A的列向量組

1,

2,…,

n是兩兩正交的單位向量組。同理，對方陣A按行分塊為A=

(

1,

2,…,

n)T，則方陣A的是正交矩陣等價行向量組

1T,

2T,…,

nT是兩兩正交的單位向