教學(xué)內(nèi)容：1、特征值與特征向量的概念2、特征值與特征向量的求法3、特征值的和以及乘積性質(zhì)4、特征值與特征向量的性質(zhì)5、屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)性質(zhì)教學(xué)要求：理解矩陣的特征值、特征向量的概念及有關(guān)性質(zhì),會求矩陣的特征值和特征向量.了解矩陣相似的概念和性質(zhì),了解矩陣可相似對角化的充要條件和對角化的方法.會求實對稱矩陣的相似對角形矩陣.

=3

【引例5.1】設(shè)1、特征值與特征向量的概念計算A

與

.

=3，【解】換句話說,用矩陣A左乘列向量

相當(dāng)于用常數(shù)

去乘

,這個常數(shù)不一般,我們引入特征值的概念.顯然,A

=

,成立，則稱

為方陣A

的特征值，稱

為A

的對應(yīng)于特征值

的特征向量。定義5.1

已知A為n

階方陣，

為常數(shù)，

為n

維非零列向量，如果A

=

(5.1)由定義,【引例5.1】中

=3是矩陣A的一個特征值,是A的對應(yīng)于

=3的特征向量.例如，設(shè)方陣，向量則有所以

=4是A的一個特征值，是A的對應(yīng)（屬）于

=4的特征向量。

注：

(1)

特征向量必須是非零向量，且屬于同一個特征值

的特征向量不止一個！它有無限多個！

①若

為A

的對應(yīng)于特征值

的特征向量，則kα

也是特征向量。(k≠0為常數(shù))

這因為：由A

=

,得A(k

)=kA

=k(

)=

(k

)(k≠0為常數(shù))，所以kα

也是A

的對應(yīng)于特征值

的特征向量。②若

1,

2

為A

的對應(yīng)于特征值

的特征向量，k1

1+k2

2

(≠0

)也是A

的對應(yīng)于特征值

的特征向量(k1,k2為常數(shù))。這因為：

由A

1=

1,A

2=

2，得A(k1

1+k2

2

)=

(k1

1+k2

2)所以k1

1+k2

2也是A

的對應(yīng)于特征值

的特征向量。思考：屬于特征值

的全部特征向量能否構(gòu)成向量空間？（否）(2)可以證明n階矩陣A的特征值至多有n個.

n(n>1)階矩陣的特征值往往也不止一個，但一個特征向量只能屬于某一個特征值。2、矩陣的特征值與特征向量的求法（1）矩陣A的屬于特征值

的全部特征向量

是齊次線性方程組

(

E

A)X=0的非零解。事實上：由于A

=

可以寫成如下形式：

(

E

A)

=0,

因此，特征向量

是齊次線性方程組(

E

A)X=0的非零解。思考：矩陣A的屬于特征值

的全部特征向量可由(

E

A)x=0基礎(chǔ)解系表示！事實上，n階方陣A的特征值，就是使齊次線性方程組(

E

A)x=0

有非零解的

值。因為齊次線性方程組(

E

A)x=0有非零解的充要條件是系數(shù)行列式det(

E

A)等于零，所以方陣A的特征值

是滿足方程

|

E

A|=0的解。(2)方陣A的特征值

是滿足方程

|

E

A|=0的解。為了方便,設(shè)A=(aij)n,稱矩陣(

E

A)為A的特征矩陣，即

記f(

)=|

E

A|,它是

的n次多項式，稱為A

的特征多項式。以

為未知數(shù)的n次方程f(

)=|

E

A|=0稱為矩陣A的特征方程.即由說明(2)可知:①矩陣A

的特征值就是特征方程|

E

A|=0的解；②由多項式理論知，特征方程f(

)=|

E

A|=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一定有

n個根（重根按重數(shù)計算）。因此，n階方陣A有

n

個特征值

。注:實矩陣的特征值不一定是實數(shù)。若是復(fù)數(shù)特征值，那么復(fù)數(shù)特征值是共軛成對出現(xiàn)。例如，矩陣A=的特征值在實數(shù)范圍內(nèi)不存在！事實上：總結(jié)以上分析，可得求特征值與特征向量的步驟：第一步,計算A的特征多項式f(

)=|

E

A|,

并解特征方程|

E

A|=0,

得A的全部特征值

1,

2,…,

n.第二步,對于A的每個特征值

i

,解齊次線性方程組(

iE

A)x=0,得基礎(chǔ)解系

1,

2,…,

s（1≤s≤ni

≤n,

ni

為重根

i的重數(shù)!）第三步,由基礎(chǔ)解系寫出對應(yīng)于特征值

i

的全部特征向量

i

=k1

1+k2

2+…+ks

s,其中k1,k2,…,ks是不全為零的任意常數(shù).解：因為A

的特征方程：，求由A

的特征值與特征值向量。解得A

的特征值

1=2,

2=4.【例5.1】已知A

的特征值

1=2,

2=4.(1)對于特征值

1=2，解齊次線性方程組:(2E

A)x=0,此時,對方程組的系數(shù)矩陣(2E

A)作初等行變換，即可得方程組(2E

A)x=0的基礎(chǔ)解系為得同解方程組：x1=x2（x2為自由未知量）,令自由未知量x2=1，(2)對于特征值

2=4，解齊次線性方程組:(4E

A)x=0,

此時,對方程組的系數(shù)矩陣(4E

A)作初等行變換，即可得齊次線性方程組(4E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為得同解方程組：x1=

x2,（x2為自由未知量）,令自由未知量

x2=1，故對應(yīng)于特征值

2=4的全部特征向量為k2η2(k2≠0為任意常數(shù))

.的特征值和特征向量。所以A的特征值是

1=2,

2=

3=1(二重根).【例5.2】

求矩陣解:

因為A

的特征方程(1)對于特征值

1=2，解齊次線性方程組:(2E

A)x=0,即得同解方程組（x3為自由未知量）令自由未知量

x3=1，可得方程組(2E

A)x=0的基礎(chǔ)解系為故對應(yīng)于特征值

1=2的全部特征向量為k1

1(k1≠0為任意常數(shù))

.(2)對于特征值

2=

3=1(二重根），解齊次線性方程組(1E

A)x=0,對方程組的系數(shù)矩陣(1E

A)作初等行變換，得同解方程組（x3為自由未知量）令自由未知量

x3=1,可得方程組(E

A)x=0的基礎(chǔ)解系為故對應(yīng)于特征值

2=

3=1的全部特征向量為k2

2(k2≠0為任意常數(shù))

.【例5.3】求矩陣的特征值和特征向量.所以A的特征值為(二重根).解因為(1)對于特征值

1=

2，解齊次線性方程組(

2E

A)x=0,即對方程組的系數(shù)矩陣(

2E

A)作初等行變換，即得同解方程組（x3為自由未知量）令自由未知量

x3=1，可得方程組(

2E

A)x=0的基礎(chǔ)解系為故對應(yīng)于特征值

1=

2的全部特征向量為k1

1(k1≠0為任意常數(shù))

.(2)對于特征值

2=

3=1(二重根)，解齊次線性方程組(1E

A)x=0,對方程組的系數(shù)矩陣(1E

A)作初等行變換，即得同解方程組（x2

,x3為自由未知量）令(x2,x3)=(1,0)或(0,1),可得方程組(1E

A)x=0的基礎(chǔ)解系的兩個解向量為故對應(yīng)于

2=

3=1

的特征向量為k2

2+k3

3(k2,k3為不全為0的常數(shù))

.說明：比較【例5.2】、【例5.3

】，對于二重根

i,線性方程組(

iE

A)x=0

的基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)的特征向量個數(shù)不同，【例5.2】只有一個(小于重根的重數(shù)2)，【例5.3】恰有2個(等于重根的重數(shù)2)，這一點在下面的矩陣對角化中有進(jìn)一步的結(jié)論!!【例5.4】求對角矩陣的特征值與特征向量.【解】因為所以A的全部特征值為對于所以，A的屬于所對應(yīng)的特征向量為其中是基本單位向量。ki(i=1,2,…,n)為非零常數(shù).顯然，

A

i=ai

i

(i=1,2,…,n)ki

i

(i=1,2,…,n)例題表明：對角矩陣的全部特征值就是其主對角線上的全部元素.同理,上(下)三角形矩陣的全部特征值也是其主對角線上全部元素.【例5.5】設(shè)

是矩陣A的特征值,證明

2是A2的特征值,且與A的特征向量相同.【證】設(shè)

是A的對應(yīng)于

的特征向量,因為A

=

,則A2

=A(A

)=A(

)=

(A

)=

2

,所以,由定義5.1知

2是A2的特征值,且A2的特征向量與A的特征向量相同.證畢.

【例5.6】設(shè)A為n階矩陣,若有正整數(shù)k,,使Ak=O,則稱A為冪零矩陣.證明冪零矩陣的特征值只能等于0.【證】設(shè)

是A的特征值,

是A的對應(yīng)于

的特征向量，因為A=

,則又因為Ak=O,所以Ak

=O

=0,所以

k=0，又

0，故

k=0，即

=0。證畢【例5.7】設(shè)A為階矩陣,使A2=A,則稱A為冪等矩陣.證明冪等矩陣的特征值只能等于0或1.【證】設(shè)

是A的特征值,

是A的對應(yīng)于

的特征向量,因為A

=

,則

=A

=A2

=A(

)=

A

=

2

所以,

2

=0,即

(

1)

=0，由于α≠0,

故

(

1)=0,因而

=0或

=1,即特征值只能等于0或1.證畢.性質(zhì)1（轉(zhuǎn)置性質(zhì)）n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置AT具有相同的特征值.證明：只要證明A

與AT

有相同的特征多項式即可。因為所以A與AT有相同的特征多項式，從而它們有相同的特征值。注：雖然A與AT具有相同的特征值，但特征值所對應(yīng)的特征向量卻不一定相同。|

E

A|=|(

E

A)T

|=|

E

AT

|3、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)2

矩陣不同特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).【證】（僅對兩個不同特征值證明）設(shè)矩陣A的兩個不同特征值分別為

1，2

(

1

2)，,對應(yīng)的特征向量分別為

1，

2，反證!假設(shè)

1，

2線性相關(guān),不妨設(shè)

1=k

2（k≠0）,那么因此此得,所以得

1=2，但已知

1

2,矛盾！因此

1，

2線性無關(guān).由于特征向量故,即又因為證畢例如，矩陣的特征值(二重根).對應(yīng)于特征值

1=

2，

2=

3=1

的特征向量分別為那么，特征向量

1，

2，

3

線性無關(guān)。性質(zhì)2’(特征向量線性無關(guān)性）如果

1,2,…,m是n階方陣A的m(m≤n)個不同的特征值,

1,

2,…,

m是對應(yīng)的特征向量，那么

1,

2,…,

m線性無關(guān)?！咀C】已知

1,2,…,m是n階方陣A的m(m≤n)個不同的特征值,

1,

2,…,

m是對應(yīng)的特征向量，若有常數(shù)x1,

x2,…,

xm

,使得x1

1+x2

2+…+xm

m=0,x1

1+x2

2+…+xm

m=0,上式兩邊同左乘A,得x1A

1+x2A

2+…+xmA

m=0,因為A

i=

i

i

,所以

1x1

1+

2x2

2+…+

mxm

m=0,同理，左乘Ak,得寫成矩陣的形式，得上式等號左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式：即上式等號左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式，當(dāng)

i各不相等時，該行列式不等于0，從而該矩陣可逆。于是有(x1

1,x2

2,…,xm

m)=(0,0,…,0),即

xi

i=0(i=1,2,…,m),但

i≠0,故xi=0(i=1,2,…,m),所以向量組

1,

2,…,

m線性無關(guān)。注：屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。注：

n階矩陣A=(aij)n

的主對角線元素之和稱為A的跡(trace),記為tr(A)，即tr(A)=a11+a22+…+ann.性質(zhì)3

若

A=(aij)n的全部特征值為

1,2,…,n(重根要重復(fù)計算)，則(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann.即

n個特征值之和等于A的跡(2)

1×2×

…×n=det(A).即n個特征值之積等于A的行列式.的特征值是

1=2,

2=

3=1(二重根)，例如，

矩陣特征值的和：

1+2+3=2+1+1=4，與矩陣的跡tr(A)=a11+a22+a33=(

1)+3+2=4.相等！矩陣的行列式再如，若三階方陣A的三個特征值為1,2,3，則|A|=1×2×3=6.推論若

A=(aij)n的全部特征值為

1,2,…,n(重根要重復(fù)計算),則(1)det(A)=1×2×

…×n≠0<=>

1,2,…,n均不等于零;(2)數(shù)“0”是A的一個特征值當(dāng)且僅當(dāng)A的行列式|A|=0.(3)n階矩陣A可逆

<=>A的全部特征值都不等于零;(4)n階矩陣A不可逆

<=>A的一個特征值等于零;【證】根據(jù)性質(zhì)2以及可逆矩陣的性質(zhì)，立即得證。的一個特征值是

1=12,【補例1】設(shè)矩陣解：因為

1=12是A的特征值，所以|1E

A|=|12E

A|=0，即求常數(shù)a及矩陣A的其余特征值。

解得

a=

4.

又設(shè)A的其余特征值為

2

,3，那么

1+2+3=7+7+4=18，（1）

1×

2×

3=|A|=108.（2）將

1=12代入（1）、（2）得

2+3=6；

2×

3=9解得

2=3=3.解畢。性質(zhì)4

（數(shù)乘性質(zhì)）若

為矩陣A的特征值，

是A的屬于特征值

的特征向量，則c

是cA

的一個特征值(c為任意常數(shù))，且cA與A有相同的特征向量

。證明：因為A

=

，所以(cA)

=c(A

)=(c)

，即c

是cA

的一個特征值，且cA與A有相同的特征向量

。證明：因為A=

，所以

(A+cE)

=A

+cE

=

+c

=(+c)

;

即(+c)

是(A+cE)

的一個特征值(c為任意常數(shù))，且(A+cE

)與A有相同的特征向量

。性質(zhì)5

（平移性質(zhì)）若

是矩陣A的特征值，

是A的屬于特征值

的特征向量，則+c是A+cE

的一個特征值(c為任意常數(shù))，且A+cE與A有相同的特征向量

。性質(zhì)6

（方冪性質(zhì)）若

是矩陣A的特征值,

是A的與特征值

相對應(yīng)的特征向量,則

k是Ak的特征值(k為整數(shù)),且Ak與A有相同的特征向量

。證明：因為A

=

，所以Ak

=Ak-1(A

)=Ak-1

=…=

k-1A

=

k

;

即

k是Ak的特征值(k為整數(shù)),且A與Ak有相同的特征向量

。性質(zhì)7

（可逆性質(zhì)）若

是矩陣A的特征值，

是A的與特征值

相對應(yīng)的特征向量，且A可逆，則

1是

A

1

的特征值，并且A

1與A有相同特征向量

。證明：因為A

=

，且A可逆，所以≠0,且故

1是A

1的特征值，并且A

1與A有相同的特征向量

。所以推論（伴隨矩陣特征值）:若數(shù)

為可逆陣的A的特征值，則|A|

1為A*

的特征值。證明

:因為A*=|A|A

1,所以由性質(zhì)2與性質(zhì)5得|A|

1為A*的特征值．【例如】

若

＝2為可逆陣A的特征值，則3(A2)

1的一個特征值為

3/4

?！纠纭咳A方陣A的三個特征值為1,2,0，則(2E+3A)的三個特征值為2+3×1=5、2+3×2=8、2+3×0=2

；

所以

|2E+3A|=5×8×2=80稱f(A)為矩陣A的k次多項式，其中a0,a1,a2,…,ak為常數(shù).定義5.4

設(shè)x的k次多項式A是一個n階矩陣,定義性質(zhì)8(矩陣多項式的特征值

)若

是矩陣A的特征值，

是A的屬于特征值

的特征向量，則f(

)是A的矩陣多項式f(A)的特征值，且f(A)與A有對應(yīng)的相同特征向量

?！咀C】因為A

=

，所以由性質(zhì)5,6,7可得f(A)

=f(

)

;

即f(

)是f(A)

的特征值,且f(A)與A有相同的特征向量

。【例5.8】設(shè)3階方陣A的三個特征值分別為1，2，3，求|A*+3A

2E|.解

:依題意，A的行列式|A|=1×2×3=6,故A

1的行列式|A

1|=1/6.|A*+3A

2E|=||A|A-1+3A

2E|=|6A

1+3A

2E|=|A

1||6E+3A2

2A|=(1/6)|3A2

2A+6E|令f(A)=3A2-2A+6E,則f(A)的特征值為f(1)=7,f(2)=14,f(3)=27,所以

|f(A)|=7×14×27=2646,所以|A*+3A

2E|=(1/6)|f(A)|=|=(1/6)2646=441.【例5.9】若n階矩陣A滿足r(A+E)+r(A

E)=n,且A≠E,證明

=1是A的特征值.【證】因為A≠E,所以A

E≠O,即r(A

E)≠0,于是

r(A+E)=n

r(A

E)<n,故|A+E|=0,

方法一：

|A+E|=|

(

A

E)|=(

1)n|(

1)E

A|=0,所以|(

1)E

A|=0,即

=

1是A的特征值.方法二：因|A+E|=0,

所以A+E的特征值為0；又若A的特征值為,則

+1是A+E的特征值，所以

+1=0，即

=1。1.已知

=(1,a,1)T是矩陣練習(xí)2.設(shè)三階方陣A不可逆,且|E+A|=0,|2E+A|=0,求A的特征值.的特征向量,求常數(shù)a.3.求下列矩陣的特征值與特征向量4.設(shè)A2

3A+2E=0,證明A的特征值只能為1或2。6.

已知三階矩陣A的特征值為1,2,-1,求|A3

5A2+6A|與|A*

3A+2A-1|.

5.設(shè)矩陣A=(1)求A的特征值與特征向量;(2)求E+A

1與A2+2A+3E的特征值與特征向量.7.

(2008數(shù)學(xué)三)已知三階矩陣A的特征值為1,2,2,則|4A-1

E|=(

).

考研真題1.設(shè)A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且(1)求A的全部特征值與特征向量;(2)求矩陣A。(2011數(shù)學(xué)三)2.

設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為

1=1,

2

=2,

3=

2,

1=(1,

1,1)T是A的屬于

1的一個特征向量。記B=A5

4A3+E，其中E為三階單位矩陣。(1)驗證

1是B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(2)求矩陣B。(2007數(shù)學(xué)三)3.（2006數(shù)學(xué)三）設(shè)三階實對稱矩陣A的各行元素之和為3，向量

1=(

1,2,

1)T,2=(0,

1,1)T都是齊次線性方程組AX=0的解

,求A的特征值與特征向量。4.（2020數(shù)學(xué)三）設(shè)A為三階矩陣，

1,

2為A的特征值1對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量，

3為A的特征值(

1)的特征向量，若存在可逆矩陣P，使得P

1AP=diag(1,

1,1),則P可為

。(A)[

1+

3,

2,

3];(B)[

1+

2,

2,

3];(C)[

1+

3,

3,

2];(D)[

1+

2,

3,

2];END1、相似矩陣2、相似矩陣的性質(zhì)3、矩陣對角化概念4、矩陣可對角化的充要條件5、矩陣可對角化的秩判定定理教學(xué)要求：了解矩陣相似的概念和性質(zhì),了解矩陣可相似對角化的充要條件和對角化的方法.會求實對稱矩陣的相似對角形矩陣.對角陣是矩陣中最簡單的矩陣類型，本節(jié)通過引入相似變換的概念，討論什么樣類型的矩陣能夠和對角矩陣相似，即矩陣的相似對角化問題。將給出矩陣能夠相似對角化的條件。定義5.2

設(shè)A

,B

都是

n

階方陣，若存在可逆方陣

P，使P

1AP=B，則稱矩陣B是

A

的相似矩陣。或者說矩陣

A

與矩陣B

相似。對矩陣A進(jìn)行如下的運算P

1AP

，稱為A

的相似變換，P

稱為把A

變成B

的相似變換陣。1、相似矩陣與相似變換說明:(1)當(dāng)A

,B

是相似矩陣時，存在可逆矩陣P，以下式子是等價的P

1AP=B<=>AP=PB<=>A=PBP

1(2)由定義，相似矩陣一定是等價矩陣。A

與B

相似記為AB。(3)由定義，可逆矩陣P不是唯一的。事實上：當(dāng)A

,B

是相似矩陣時，存在可逆矩陣P，P

1AP=B

那么

(kP)

1A(kP)=B(k為非零常數(shù)！)例如,對于矩陣與,存在可逆矩陣使得所以即A

與B

相似.相似矩陣的性質(zhì)①反身性：A

A

；②對稱性：A

B，則B

A；③傳遞性：A

B，B

C，則A

C.（基本性質(zhì)）證明：①反身性：對任意階矩陣A,存在可逆矩陣P=E,使得P

1AP=E

1AE=A,即A與A相似.②對稱性。因為A與B相似,即存在可逆矩陣P,使得P

1AP=B,所以存在可逆矩陣P1=P

1,使得所以B與A相似。③傳遞性。因為A與B相似，且B與C相似,即存在可逆矩陣P1,P2,所以A與C相似。使得所以存在可逆矩陣P=P1P2,使得

說明：（1）相似矩陣除上面的三條基本性質(zhì)外，還有以下一些性質(zhì)，對這些性質(zhì)的理解，更有助于我們對矩陣某種意義下進(jìn)行分類。（2）以下證明：相似矩陣有相同的特征多項式和相同特征值，從而有相同的行列式、相同的跡、相同的秩等?！咀C】

因A

與B

相似，即有P，使P

1AP=B。故性質(zhì)1

相似矩陣有相同的行列式。即若A

與B

相似，則|A|=|B|。|B|=|P

1AP|=|P

1|

|

A|

|P|=|P

1|

|P|

|

A|

=|

A|

【證】因A

與B

相似，即有P，使P

1AP=B。故性質(zhì)2

相似矩陣有相同的特征多項式。即若n

階方陣

A

與B

相似，則|

E

A|=|

E

B|。由特征值性質(zhì)知：若A

與B

相似，則A

與B有相同特征值、相同的跡、相同的秩等?！咀C】因為A

與B

相似，即存在可逆P，使P

1AP=B。性質(zhì)3

相似矩陣有相同的秩。即若A

與B

相似，則r(A)=r(B).所以由矩陣秩的性質(zhì)知，A

與B有相同的秩。性質(zhì)4

相似可逆矩陣的逆矩陣也相似.

即若A與B相似且A可逆,則B也可逆,且A

1與B

1相似.【證】因為A與B相似,因而存在可逆矩陣P,使得P

1AP=B,且A可逆,所以(P

1AP)

1=B

1,即P

1A

1P=B

1所以A

1與B

1相似.性質(zhì)5

相似矩陣的冪是相似矩陣。即若A與B相似,則Ak與Bk相似(其中k為任意正整數(shù))?！咀C】因為A與B相似,因而存在可逆矩陣P,使得P

1AP=B兩邊同時求k次冪,有(P

1AP)k=Bk,即(P

1AP)(P

1AP)…(P

1AP)=Bk,注意到矩陣乘法的結(jié)合律，有

P

1A(PP

1)A(PP

1)…(PP

1)AP=Bk,注意到矩陣乘法的結(jié)合律，有

P

1A(PP

1)A(PP

1)…(PP

1)AP=Bk,且PP

1=E,所以，存在可逆矩陣P,使得P

1AkP=Bk,即Ak與Bk相似.性質(zhì)6

相似矩陣的數(shù)乘矩陣仍然相似。即若A與B相似，則cA與cB相似(c為常數(shù))?！咀C】因為A與B相似，存在可逆矩陣P,使得P

1AP=B，所以P

1(cA)P=(cB)

，即cA與cB相似(c為常數(shù))性質(zhì)7

相似矩陣的矩陣多項式相似。即若A與B相似，則矩陣多項式f(A)與f(B)相似。(其中

f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak-1x+ak)?！咀C】因為A與B相似,因而存在可逆矩陣P,使P

1AP=B由性質(zhì)3、4得，

P

1f(A)P=f(B),

即f(A)與f(B)相似。推論若n

階方陣A與對角矩陣

=diag(

1,

2,…,

n)相似，則存在可逆矩陣P，使得其中k=1,2,…推論可以幫助人們簡化計算:Ak.

推論若n

階方陣A與對角矩陣

=diag(

1,

2,…,

n)相似，則存在可逆矩陣P，使得(其中

f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak-1x+ak)。推論可以幫助人們簡化計算f(A)?！纠?.8】若矩陣與相似，求x與y.

【解】已知A與B相似,由相似矩陣的性質(zhì)，則A與B有相同的行列式與相同的跡,即|A|=|B|,tr(A)=tr(B).所以,|B|=y=|A|=

1,故y=

1,另一方面，tr(A)=tr(B),即tr(A)=x+1=y+2=tr(B),故x=y+1,代入y=

1得x=0，所以當(dāng)A與B相似時，有x=0,y=

1.由于相似的矩陣有不少共同的性質(zhì)，對于給定的n階方陣A，自然希望找一個既簡單又便于計算的與A相似的矩陣，這樣只要研究這個形狀簡單的矩陣，就可了解到A的不少性質(zhì)。對角矩陣可以認(rèn)為是矩陣中最簡單的一種，那么是否任一個矩陣A都能相似于一個對角矩陣，或者說具有什么性質(zhì)的矩陣和對角矩陣相似呢？3、矩陣可對角化條件

如果方陣A與同階對角矩陣

相似，則稱A可對角化。對n階方陣A，求相似變換矩陣P,使P

1AP=

，稱此過程為矩陣A的對角化．【證】（必要性）設(shè)A與對角陣

相似,即存在P可逆，使得P

1AP=

,即

AP=P

,將矩陣P按列向量分塊為P=(

1,

2,…,

n),則有

i≠0(i=1,2,…,n)，且

1,

2,…,

n線性無關(guān)。定理5.1（矩陣可對角化的充要條件）n階方陣A與對角陣

相似的充分必要條件是

A

有

n個線性無關(guān)的特征向量。于是有A

i=

i

i

(i=1,2,…,n)所以，

i是A的特征值，

i是對應(yīng)于

i的特征向量(i=1,2,…,n)，于是

1,

2,…,

n是A的n個線性無關(guān)的特征向量。必要性證畢。(A

1,A

2,…,A

n

)

=(

1

1,

2

2,…,

n

n

),即于是(充分性)若A有n個線性無關(guān)的特征向量

1,

2,…,

n，即A

i=

i

i

(i=1,2,…,n)設(shè)P=(

1,

2,…,

n),則P可逆，則AP=

(A

1,A

2,…,A

n)=(

1

1,

2

2,…,

n

n

)所以P

1AP=

，即A與對角矩陣

相似。說明：（1）對于可對角化的方陣A，定理的證明過程也是求逆矩陣P的過程，其實質(zhì)就是求A的全部特征值

1,

2,…,

n以及對應(yīng)的n個線性無關(guān)的特征向量為

1,

2,…,

n。（2）以

1,

2,…,

n為列的矩陣P=(

1,

2,…,

n)是所求的可逆矩陣。注意P中的列向量的排列順序要與

1,

2,…,

n的順序一致．（3）因為

i是(

iE

A)x=0的基礎(chǔ)解系中的解向量，故

i的取法不是唯一的，因此矩陣P也是不唯一的。（4）又|

E

A|=0的根只有n個（重根按重數(shù)計算）,如果不計

的排列順序，則

是唯一的.推論1

若n

階方陣A與對角矩陣

=diag{

1,

2,…,

n

}相似，則A的n個特征值為

1,

2,…,

n?！咀C】因為A與對角矩陣

相似，而對角矩陣

的特征值就是對角線上的元素

1,

2,…,

n，由性質(zhì)，所以

1,

2,…,

n

也是A的n個特征值。推論2

如果n階方陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似。【證】因為不同的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，當(dāng)A有n個互不相等的特征值，那么A一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而A一定能對角化。,得A的特征值為由齊次線性方程組(

2E

A)x=0求得A的屬于的一個特征向量為【例5.10】求A=的相似對角矩陣

,并寫出可逆矩陣P.【解】矩陣A的特征多項式令由齊次線性方程組(7E

A)x=0，求得A的屬于的一個特征向量為,于是,以為列得可逆矩陣,以及對角矩陣使得,得A的特征值為（二重根）

【例5.11】設(shè)矩陣,求可逆矩陣P與對角形矩陣

,【解】由于令使P

1

AP=

,并計算P10.,解齊次線性方程組(5E

A)x=0,得A的屬于特征值（二重根）,解齊次線性方程組(

1EA)x=0,的兩個特征向量為對于的一個特征向量為對于得A的屬于二重特征值為列得可逆矩陣A的相似對角形矩陣為于是,以可以驗證因為,所以所以說明：(1)當(dāng)A的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關(guān)的特征向量,從而不一定能對角化。(2)例如上節(jié)例5.2中A的特征方程有重根，確定找不到3個線性無關(guān)的特征向量，因此這個矩陣A不可對角化；(3)而上節(jié)例5.3中A

的特征方程也有重根，但卻能找到3個線性無關(guān)的特征向量，因此這個矩陣A

能對角化。推論3

（對角化的秩判定定理）n

階矩陣A

與對角矩陣相似的充要條件是A

的每一個k重特征值

對應(yīng)有k個線性無關(guān)的特征向量，

即特征矩陣(

E

A

)的秩r(

E

A

)=n

k?！咀C】設(shè)A

的每一個k重特征值

對應(yīng)有k個線性無關(guān)的特征向量，即齊次線性方程組(

E

A)x=0的基礎(chǔ)解系有k個線性無關(guān)的解向量，由基礎(chǔ)解系的存在定理得，k=n

r(

E

A)

，所以r(

E

A)=n

k.注

矩陣的階數(shù)n,重根的重數(shù)k,特征矩陣的秩r(

E

A)，r=n

k.【補例3】

判斷矩陣是否與對角陣相似?！窘狻坑捎贏的特征方程所以A的特征值為

1=2=1(二重根),3=

2.對于二重根

1=2=1,所以r(E

A)=2≠3

2=1，由推論3知A不可以對角化。因為矩陣【補例4】設(shè)A≠O,Ak=O(k為正整數(shù)),證明A不能與對角矩陣相似?？傻?/p>

1=0,2=0,…,n=0，因而A=P

1OP=O，這與A≠O矛盾！所以A不能與對角矩陣相似.【證】矩陣A能與對角矩陣

=diag(1,2,…,n)相似,則存在可逆矩陣P，使得A=P

1

P，【補例5】

已知矩陣的一個特征向量是試求a,b的值以及

所對應(yīng)的特征值

，并討論A是否與對角陣相似。【解】由題意，(E

A)

=0，即解得a=

3,b=0，=

1。于是矩陣由，|E

A|=0，即故=

1是A的3重特征根。而r(

E

A)=2≠3-3=0,由推論3知A不與對角陣相似。解畢。再求A的全部特征值

，【補例6】

設(shè)矩陣(1)將A

相似對角化；解：由于A的特征方程(2)求相似對角化變換矩陣P

；(3)求A100.所以，A的特征值為當(dāng)

1=

2時，解線性方程組(

2E

A)x=0,由得基礎(chǔ)解系即特征向量當(dāng)

2=3=1時，解線性方程組(E

A)x=0,由得基礎(chǔ)解系即特征向量(1)顯然，A

有3個線性無關(guān)的特征向量

1,

2,

3，所以A與對角矩陣相似。(2)以向量

1,

2,

3為列作相似變換矩陣P，并且有(3)因為所以又由得所以注：例題表明對角化可以簡化計算?！狙a例6】設(shè)A=(aij)n為上三角矩陣，主對角線上元素aii=a(常數(shù))(i=1,2,…,n),且存在aij≠0(i<j)，問A是否可以對角化。解：由于|

E

A

|=(

a)n=0,所以

=a(n重根)，又因為存在

aij

≠0(i<j)，所以

E

A=aE

A≠O,故r(aE

A)≥1,這樣方程組(aE

A)x=0基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)小于等于（n1）,即n

r(aE

A)≤n

1。所以，A的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)小于n1,故A不與對角矩陣相似，即A不可對角化。2.設(shè)A,B都是n階矩陣,且A可逆,證明AB與BA相似.1.若求P

1AP，A10.練習(xí)4.設(shè)矩陣A=問當(dāng)k為何值時,存在可逆矩陣P,使得P

1AP為對角矩陣.3.將下列矩陣相似對角化,并求可逆陣P,使P

1AP=

.1.下列矩陣中，與矩陣相似的是(A).(2018數(shù)學(xué)三)考研真題2.設(shè)A,B是n階可逆矩陣,且A與B相似，則下列結(jié)論錯誤的是(C).(A)

AT與BT相似;(B)A

1與B

1相似;(C)A+AT與B+BT相似;(D)A+A

1與B+B

1相似(2016數(shù)學(xué)三)(A)

A與C相似，B與C相似;(B)A與C相似，B與C不相似;(C)A與C不相似，B與C相似;(D)

A與C不相似，B與C不相似3.已知矩陣則(B).(2017數(shù)學(xué)3)4.設(shè)A為四階實對稱矩陣，且A2+A=O，若A的秩為3，則相似于(D)(2010數(shù)學(xué)三)5.矩陣相似的充分必要條件為()。與(A)

a=0,b=2;(B)a=0,b

為任意常數(shù);(C)a=2,b=0;(D)a=2,b

為任意常數(shù)(2013數(shù)學(xué)三)6.(2014數(shù)學(xué)3)證明n階矩陣相似。7.(2009數(shù)學(xué)3)設(shè)

=(1,1,1)T,

=(1,0,k)T,若矩陣

T相似于則k=

。8.(2004數(shù)學(xué)3)設(shè)n階矩陣(1)求A的特征值與特征向量。(2)求可逆矩陣P，使P

1AP為對角矩陣。9.設(shè)A為二階矩陣，P=(,A

),其中

是非零向量且不是A的特征向量。(1)證明P為可逆陣；(2)若A2

+A

6

=0，求P

1AP，并判斷A是否相似于對角矩陣。(2020數(shù)學(xué)三)若A相似于對角矩陣，求a,b

的值，并求可逆矩陣P,

使P-1AP為對角矩陣。(2021數(shù)學(xué)三)10.已知矩陣僅有兩個不同的特征值，求a,b

的值，并求可逆矩陣P,

使P-1AP為對角矩陣。(2015數(shù)學(xué)三)11.設(shè)矩陣A相似于矩陣（2）求可逆矩陣P,

使P

1AP=B。(2019數(shù)學(xué)三)12.若矩陣與（1）求x與y；相似，7.(2017數(shù)學(xué)三)設(shè)三階矩陣A=[

1,

2,

3]有三個不同的特征向量，且

3=

1+2

2.

(1)證明秩(A)=2;(2)若b=

1+

2+

3,求方程組Ax=b的解。END1、實對稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)2、實對稱矩陣的對角化方法教學(xué)要求：了解矩陣相似的概念和性質(zhì),了解矩陣可相似對角化的充要條件和對角化的方法.會求實對稱矩陣的相似對角形矩陣.在一些經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型中,經(jīng)常遇到實對稱矩陣.實對稱矩陣和對角矩陣相似嗎?下面將證明：實對稱矩陣都相似于對角矩陣,即任何實對稱矩陣都可對角化.定理5.3

實對稱矩陣的特征值是實數(shù),相應(yīng)的特征向量為實向量。1、實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)定理5.3

實對稱陣的特征值是實數(shù),相應(yīng)的特征向量為實向量。【證】設(shè)A為實對稱矩陣,=a+bi

(a,b為實數(shù),i為虛數(shù)單位)是A的一個復(fù)特征值,

A的屬于

的特征向量為(

+

i)(

,

為實向量，且至少一個為非零向量

),則A(

+

i)=(a+bi)(

+

i),即A

+(A

)i=(a

b

)+(a

+b

)i，等式兩端實部向量與虛部向量分別相等,所以A=a

b

,A

=a

+b

成立，于是

TA=

T(a

b

)=a

T

b

T

(1)

TA

=T(a

+b

)=a

T

+b

T

(2)又因為

A=AT，所以

TA=

TAT=(A

)T=TA

,

T=T

,所以(1)-(2)得

b(

T

+

T

)=0,又

,

為實向量，且至少一個為非零向量,所以

T

+

T

≠0，故b=0，所以

=a,即A的特征值是實數(shù)，相應(yīng)的特征向量為實向量

或

.定理5.4實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.【證】設(shè)

1,2是實對稱陣A的兩個不同特征值，

1,2是對應(yīng)的特征向量，則A1=

1

1,A2=

2

2,

1≠

2所以

2TA1=

1

2T

1,（1）

2TA1=

2T

AT

1=(A2)T

1=

2

2T

1（2）由（1）、（2）得

1

2T

1=

2

2T

1，即(

1

2)

2T

1=0，因為

1≠

2，故

2T

1=0，即

1,2正交。定理5.5

設(shè)A為

n

階實對稱陣，

是

A

的特征方程的k

重根，則方陣

(

E

A)的秩

r(

E

A)=n

k。推論：設(shè)A為

n

階對稱矩陣，

是

A

的特征方程的k重根，則A

的屬于特征值

的特征向量有

k個線性無關(guān)的向量。說明：定理與推論都表明實對稱矩陣可對角化。不僅如此，還有更進(jìn)一步的結(jié)論如下。定理5.6（主軸定理）設(shè)A

為n

階實對稱陣，則必有正交陣Q，使

Q-1AQ=QTAQ=

,其中

是以A的n個特征值為對角元素的對角陣?！咀C】設(shè)A

的互不相等的特征值為

1,

2,…,

s,它們的重數(shù)依次是

k1,k2,…,ks

(k1+k2+…+ks

=n).根據(jù)定理5.5知，對應(yīng)特征值i(i=1,2,…,s),恰有ki

個線性無關(guān)的實特征向量，把它們正交并單位化，即得ki個單位正交的特征向量，由(k1+k2+…+ks

=n),知這樣的特征向量共可得n

個。按定理5.4知，對應(yīng)于不同的特征值的特征向量正交，故這n

個單位特征向量兩兩正交。于是以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成的矩陣Q是正交矩陣，并有其中對角矩陣

的對角元素含

k1

個

1

,k2

個

2

,…,ks

個

s,恰是

的

n

個特征值。定理表明：實對稱矩陣可通過正交相似變換Q-1AQ化為對角矩陣。Q-1AQ=QTAQ=

,綜上分析，求正交矩陣Q

，使Q-1AQ

為對角矩陣的具體步驟如下：(1)求A

的特征值；(2)求A

的特征值對應(yīng)的n個線性無關(guān)的特征向量

1,2,…,

n

；(3)將全部特征向量

1,2,…,

n正交單位化得p1,p2,…,

pn；(4)以這些正交單位化的特征向量為列向量構(gòu)成正交矩陣Q=(p1,p2,…,

pn

)，且有2、實對稱矩陣對角化的方法

對于n階實對稱矩陣A,正交矩陣Q的求法可按以下步驟進(jìn)行第一步,由特征方程|

E

A|=0求出A的全部特征根且其重數(shù)分別為第二步,對于A