初二數(shù)學(xué)一次函數(shù)經(jīng)典考題匯編引言一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要基石，它不僅是對(duì)代數(shù)式與方程知識(shí)的深化，更是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)。其圖像與性質(zhì)的應(yīng)用廣泛，貫穿于整個(gè)中學(xué)階段乃至更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。掌握一次函數(shù)，關(guān)鍵在于理解其核心概念、把握?qǐng)D像特征，并能靈活運(yùn)用其性質(zhì)解決實(shí)際問題。本文匯集了一次函數(shù)的經(jīng)典考題，旨在幫助同學(xué)們梳理知識(shí)脈絡(luò)，鞏固所學(xué)，提升解題能力。一、夯實(shí)基礎(chǔ)，理解概念一次函數(shù)的基礎(chǔ)概念是學(xué)好這部分內(nèi)容的前提，準(zhǔn)確理解定義、解析式的構(gòu)成以及函數(shù)值的意義至關(guān)重要。（一）一次函數(shù)的定義與辨析考題一：下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)\(y=3x-2\)(2)\(y=\frac{1}{x}\)(3)\(y=x^2+1\)(4)\(y=-0.5x\)(5)\(y=2\)思路點(diǎn)撥：緊扣一次函數(shù)的一般形式\(y=kx+b\)（其中\(zhòng)(k\)、\(b\)為常數(shù)，且\(k\neq0\)）。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，即\(b=0\)的情況。解答：(1)是一次函數(shù)，因?yàn)榉蟎(y=kx+b\)的形式，\(k=3\)，\(b=-2\)，且\(k\neq0\)。(2)不是一次函數(shù)，其形式為反比例函數(shù)。(3)不是一次函數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2。(4)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)，因?yàn)閈(b=0\)，\(k=-0.5\neq0\)。(5)不是一次函數(shù)，它是常數(shù)函數(shù)，可看作\(y=0x+2\)，但\(k=0\)，不符合一次函數(shù)定義中\(zhòng)(k\neq0\)的條件。（二）一次函數(shù)解析式的確定考題二：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(1,3)\)和點(diǎn)\(B(-1,-1)\)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。思路點(diǎn)撥：確定一次函數(shù)解析式，通常采用待定系數(shù)法。設(shè)出函數(shù)的一般形式\(y=kx+b\)，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于\(k\)、\(b\)的方程組，解方程組即可求出\(k\)、\(b\)的值。解答：設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(1,3)\)和點(diǎn)\(B(-1,-1)\)，所以將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式可得：\[\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\]解這個(gè)方程組：將兩個(gè)方程相加，得\(2b=2\)，解得\(b=1\)。將\(b=1\)代入第一個(gè)方程，得\(k+1=3\)，解得\(k=2\)。所以，這個(gè)一次函數(shù)的解析式為\(y=2x+1\)。考題三：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)，當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=5\)；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(y=-1\)。求此函數(shù)的解析式，并求出當(dāng)\(x=0\)時(shí)的函數(shù)值。思路點(diǎn)撥：與考題二類似，依舊是利用待定系數(shù)法。得到解析式后，將\(x=0\)代入即可求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。解答：由題意，得：\[\begin{cases}2k+b=5\\-k+b=-1\end{cases}\]用第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程，得\(3k=6\)，解得\(k=2\)。將\(k=2\)代入第二個(gè)方程，得\(-2+b=-1\)，解得\(b=1\)。所以，函數(shù)解析式為\(y=2x+1\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=2\times0+1=1\)。二、圖像性質(zhì)，靈活運(yùn)用一次函數(shù)的圖像是一條直線，其位置和增減性由系數(shù)\(k\)和\(b\)決定。理解并運(yùn)用這些性質(zhì)是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。（一）根據(jù)解析式判斷圖像及性質(zhì)考題四：一次函數(shù)\(y=-3x+2\)的圖像不經(jīng)過哪個(gè)象限？它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？y隨x的增大如何變化？思路點(diǎn)撥：根據(jù)\(k\)和\(b\)的符號(hào)判斷函數(shù)圖像經(jīng)過的象限。\(k>0\)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；\(k<0\)，y隨x的增大而減小。與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。解答：對(duì)于函數(shù)\(y=-3x+2\)，\(k=-3<0\)，\(b=2>0\)。因?yàn)閈(k<0\)，\(b>0\)，所以函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限。y隨x的增大而減小。令\(y=0\)，則\(-3x+2=0\)，解得\(x=\frac{2}{3}\)。所以與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是\((\frac{2}{3},0)\)。（二）根據(jù)圖像確定解析式或系數(shù)符號(hào)考題五：如圖（此處假設(shè)有一圖像，直線經(jīng)過第一、二、三象限，與y軸交于正半軸），是某一次函數(shù)的圖像，則該函數(shù)的解析式可能是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=-2x+1\)C.\(y=2x+1\)D.\(y=-2x-1\)思路點(diǎn)撥：觀察圖像經(jīng)過的象限，從而判斷\(k\)和\(b\)的符號(hào)。圖像經(jīng)過第一、二、三象限，說明\(k>0\)，\(b>0\)。解答：分析各選項(xiàng)：A.\(k=2>0\)，\(b=-1<0\)，圖像過一、三、四象限。B.\(k=-2<0\)，\(b=1>0\)，圖像過一、二、四象限。C.\(k=2>0\)，\(b=1>0\)，圖像過一、二、三象限。D.\(k=-2<0\)，\(b=-1<0\)，圖像過二、三、四象限。故正確答案為C。（三）一次函數(shù)圖像的平移考題六：將直線\(y=2x-3\)向上平移2個(gè)單位長度后，所得直線的解析式是什么？若將原直線向右平移1個(gè)單位長度，所得直線的解析式又是什么？思路點(diǎn)撥：直線\(y=kx+b\)平移規(guī)律：上加下減（在\(b\)上），左加右減（在\(x\)上）。向上平移\(m\)個(gè)單位，變?yōu)閈(y=kx+b+m\)；向下平移\(m\)個(gè)單位，變?yōu)閈(y=kx+b-m\)。向左平移\(n\)個(gè)單位，變?yōu)閈(y=k(x+n)+b\)；向右平移\(n\)個(gè)單位，變?yōu)閈(y=k(x-n)+b\)。解答：將直線\(y=2x-3\)向上平移2個(gè)單位長度，所得直線解析式為：\(y=2x-3+2=2x-1\)。將原直線向右平移1個(gè)單位長度，所得直線解析式為：\(y=2(x-1)-3=2x-2-3=2x-5\)。三、綜合應(yīng)用，提升能力一次函數(shù)的應(yīng)用是其價(jià)值所在，常與方程、不等式結(jié)合，或解決實(shí)際生活中的問題。（一）一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系考題七：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((1,3)\)和\((0,1)\)。(1)求此一次函數(shù)的解析式。(2)當(dāng)\(x\)為何值時(shí)，\(y=0\)？(3)當(dāng)\(x>2\)時(shí)，求\(y\)的取值范圍。思路點(diǎn)撥：第(1)問用待定系數(shù)法。第(2)問求\(y=0\)時(shí)的\(x\)值，即求函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是方程\(kx+b=0\)的解。第(3)問可先判斷函數(shù)的增減性，再代入\(x=2\)求出對(duì)應(yīng)\(y\)值，進(jìn)而確定范圍。解答：(1)將點(diǎn)\((1,3)\)和\((0,1)\)代入\(y=kx+b\)，得：\[\begin{cases}k+b=3\\b=1\end{cases}\]解得\(k=2\)，\(b=1\)。所以函數(shù)解析式為\(y=2x+1\)。(2)令\(y=0\)，則\(2x+1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)。(3)因?yàn)閈(k=2>0\)，所以y隨x的增大而增大。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=2\times2+1=5\)。所以當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(y>5\)。（二）一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考題八：小明家準(zhǔn)備裝修新房，需要購買一批地板磚。市場上有兩種型號(hào)的地板磚可供選擇：A型磚每塊價(jià)格15元，鋪設(shè)每平方米需8塊；B型磚每塊價(jià)格20元，鋪設(shè)每平方米需6塊。設(shè)鋪設(shè)面積為\(x\)平方米，購買A型磚的總費(fèi)用為\(y_A\)元，購買B型磚的總費(fèi)用為\(y_B\)元。(1)分別寫出\(y_A\)、\(y_B\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)若小明家需要鋪設(shè)的面積為50平方米，選用哪種型號(hào)的地板磚更省錢？思路點(diǎn)撥：總費(fèi)用=每塊磚價(jià)格×每平方米所需塊數(shù)×面積。根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再代入具體數(shù)值比較大小。解答：(1)對(duì)于A型磚：\(y_A=15\times8\timesx=120x\)。對(duì)于B型磚：\(y_B=20\times6\timesx=120x\)。(2)當(dāng)\(x=50\)時(shí)，\(y_A=120\times50=6000\)元，\(y_B=120\times50=6000\)元。所以，兩種型號(hào)的地板磚費(fèi)用相同。考題九：某商店銷售一種商品，每件成本為40元。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量\(y\)（件）與銷售單價(jià)\(x\)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：銷售單價(jià)\(x\)（元）506070-----------------------------------日銷售量\(y\)（件）1008060(1)求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)若商店按銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于80元銷售，那么當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店每日銷售這種商品所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=（銷售單價(jià)-成本單價(jià)）×銷售量）思路點(diǎn)撥：第(1)問，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式。第(2)問，根據(jù)利潤公式列出關(guān)于\(x\)的二次函數(shù)（此處為一次函數(shù)與一次式相乘，結(jié)果為二次函數(shù)），再根據(jù)\(x\)的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值。但由于是初二內(nèi)容，也可觀察一次函數(shù)的增減性來判斷（若利潤函數(shù)是一次函數(shù)）。解答：(1)設(shè)\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式為\(y=kx+b\)。將\((50,100)\)，\((60,80)\)代入，得：\[\begin{cases}50k+b=100\\60k+b=80\end{cases}\]解得\(k=-2\)，\(b=200\)。所以，函數(shù)關(guān)系式為\(y=-2x+200\)。(2)設(shè)每日銷售利潤為\(w\)元。則\(w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2x^2+280x-8000\)。因?yàn)閈(a=-2<0\)，所以拋物線開口向下，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{280}{2\times(-2)}=70\)。又因?yàn)閈(40\leqx\leq80\)，對(duì)稱軸\(x=70\)在這個(gè)范圍內(nèi)。所以當(dāng)\(x=70\)時(shí)，\(w\)有最大值。\(w_{最大}=-2\tim