八年級數(shù)學正比例函數(shù)習題與解析正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特殊形式，是我們初中階段接觸的第一種基本初等函數(shù)，也是后續(xù)學習更復雜函數(shù)的基礎。掌握正比例函數(shù)的概念、圖像和性質，以及運用它們解決實際問題，對同學們的數(shù)學思維培養(yǎng)至關重要。本文將通過一系列典型習題的解析，幫助大家鞏固所學知識，提升解題能力。一、正比例函數(shù)核心要點回顧在開始習題演練之前，我們先簡要回顧一下正比例函數(shù)的核心知識：1.定義：一般地，形如\(y=kx\)（其中\(zhòng)(k\)是常數(shù)，且\(k\neq0\)）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)。這里，\(k\)叫做比例系數(shù)。*關鍵點：等號右邊是關于\(x\)的一次單項式，且\(x\)的次數(shù)為1，系數(shù)\(k\)不能為0。2.圖像：正比例函數(shù)\(y=kx\)的圖像是一條經(jīng)過原點\((0,0)\)的直線。因此，畫正比例函數(shù)圖像時，只需再確定一個點（通常取\(x=1\)時的點\((1,k)\)），即可畫出其圖像。3.性質：*當\(k>0\)時，直線\(y=kx\)經(jīng)過第一、三象限，\(y\)隨\(x\)的增大而增大（即函數(shù)為增函數(shù)）。*當\(k<0\)時，直線\(y=kx\)經(jīng)過第二、四象限，\(y\)隨\(x\)的增大而減?。春瘮?shù)為減函數(shù)）。*\(|k|\)的大小決定了直線的傾斜程度，\(|k|\)越大，直線越靠近\(y\)軸，即傾斜角越大；\(|k|\)越小，直線越靠近\(x\)軸，即傾斜角越小。二、典型習題與詳細解析（一）基礎概念辨析與表達式確定例題1：判斷下列函數(shù)是否為正比例函數(shù)，如果是，請指出其比例系數(shù)\(k\)。(1)\(y=3x\)(2)\(y=-0.5x\)(3)\(y=2x+1\)(4)\(y=\frac{x}{2}\)(5)\(y=x^2\)(6)\(y=0\timesx\)解析：判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)，嚴格依據(jù)定義：形如\(y=kx\)（\(k\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）。(1)\(y=3x\)：符合定義，是正比例函數(shù)，比例系數(shù)\(k=3\)。(2)\(y=-0.5x\)：符合定義，是正比例函數(shù)，比例系數(shù)\(k=-0.5\)。(3)\(y=2x+1\)：此函數(shù)多了常數(shù)項“+1”，不符合\(y=kx\)的形式，不是正比例函數(shù)（它是一次函數(shù)）。(4)\(y=\frac{x}{2}\)：可變形為\(y=\frac{1}{2}x\)，符合定義，是正比例函數(shù)，比例系數(shù)\(k=\frac{1}{2}\)。(5)\(y=x^2\)：自變量\(x\)的次數(shù)是2，不是1，不符合定義，不是正比例函數(shù)。(6)\(y=0\timesx\)：雖然形式上接近，但\(k=0\)，不符合\(k\neq0\)的條件（此時函數(shù)為\(y=0\)，是一個常函數(shù)），不是正比例函數(shù)。例題2：已知\(y\)與\(x\)成正比例，且當\(x=2\)時，\(y=6\)。(1)求\(y\)關于\(x\)的函數(shù)表達式；(2)當\(x=-3\)時，求\(y\)的值；(3)當\(y=-9\)時，求\(x\)的值。解析：“\(y\)與\(x\)成正比例”是正比例函數(shù)中非常常見的表述方式，它直接告訴我們\(y=kx\)（\(k\neq0\)）。(1)設\(y=kx\)（\(k\neq0\)）。因為當\(x=2\)時，\(y=6\)，所以將\(x=2\)，\(y=6\)代入\(y=kx\)，得：\(6=k\times2\)解得：\(k=3\)因此，\(y\)關于\(x\)的函數(shù)表達式為\(y=3x\)。(2)當\(x=-3\)時，代入\(y=3x\)，得：\(y=3\times(-3)=-9\)。(3)當\(y=-9\)時，代入\(y=3x\)，得：\(-9=3x\)解得：\(x=-3\)。例題3：若函數(shù)\(y=(m-1)x^{|m|}\)是正比例函數(shù)，求\(m\)的值。解析：要使函數(shù)\(y=(m-1)x^{|m|}\)是正比例函數(shù)，需同時滿足以下兩個條件：1.自變量\(x\)的次數(shù)為1，即\(|m|=1\)；2.比例系數(shù)不為0，即\(m-1\neq0\)。由\(|m|=1\)，可得\(m=1\)或\(m=-1\)。由\(m-1\neq0\)，可得\(m\neq1\)。綜上，\(m=-1\)。（二）圖像性質的理解與應用例題4：正比例函數(shù)\(y=kx\)的圖像經(jīng)過點\(A(1,-2)\)。(1)求這個正比例函數(shù)的表達式；(2)判斷點\(B(-2,4)\)、點\(C(2,3)\)是否在這個函數(shù)的圖像上；(3)說明這個函數(shù)的圖像經(jīng)過哪些象限，函數(shù)值\(y\)隨自變量\(x\)的增大如何變化。解析：(1)因為正比例函數(shù)\(y=kx\)的圖像經(jīng)過點\(A(1,-2)\)，所以將\(x=1\)，\(y=-2\)代入函數(shù)表達式，得：\(-2=k\times1\)，即\(k=-2\)。所以，這個正比例函數(shù)的表達式為\(y=-2x\)。(2)判斷一個點是否在函數(shù)圖像上，只需將點的坐標代入函數(shù)表達式，看等式是否成立。對于點\(B(-2,4)\)：當\(x=-2\)時，\(y=-2\times(-2)=4\)，與點\(B\)的縱坐標相等，所以點\(B\)在函數(shù)圖像上。對于點\(C(2,3)\)：當\(x=2\)時，\(y=-2\times2=-4\neq3\)，所以點\(C\)不在函數(shù)圖像上。(3)由(1)知\(k=-2\)，因為\(k=-2<0\)，所以：這個函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限。函數(shù)值\(y\)隨自變量\(x\)的增大而減小。例題5：在正比例函數(shù)\(y=-kx\)中，\(y\)隨\(x\)的增大而增大，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k>0\)B.\(k<0\)C.\(k\geq0\)D.\(k\leq0\)解析：題目給出的函數(shù)是\(y=-kx\)，我們可以將其看作\(y=(-k)x\)。因為\(y\)隨\(x\)的增大而增大，根據(jù)正比例函數(shù)的性質，可知其比例系數(shù)（即\(-k\)）必須大于0。所以：\(-k>0\)不等式兩邊同時乘以-1（注意不等號方向改變），得：\(k<0\)。因此，正確答案是B。例題6：已知正比例函數(shù)\(y=k_1x\)與\(y=k_2x\)的圖像如圖所示（圖略，假設一條經(jīng)過一、三象限且較陡，一條經(jīng)過二、四象限），試比較\(k_1\)、\(k_2\)、0的大小關系。解析：雖然沒有圖像，但根據(jù)題目描述和正比例函數(shù)圖像性質進行分析：*正比例函數(shù)\(y=kx\)，當\(k>0\)時，圖像經(jīng)過第一、三象限；當\(k<0\)時，圖像經(jīng)過第二、四象限。*假設“經(jīng)過一、三象限且較陡”的是\(y=k_1x\)，那么\(k_1>0\)?！拜^陡”意味著\(|k_1|\)較大。*另一條“經(jīng)過二、四象限”的是\(y=k_2x\)，那么\(k_2<0\)。因此，大小關系為：\(k_2<0<k_1\)。（若圖像中一、三象限的直線較平緩，則\(k_1\)仍大于0，但\(|k_1|\)較小，不影響與\(k_2\)和0的大小關系排序。）（三）實際應用與綜合運用例題7：小明騎自行車從家到學校，路程\(s\)（千米）與騎行時間\(t\)（小時）成正比例關系。已知他騎了0.5小時，走了3千米。(1)求\(s\)與\(t\)之間的函數(shù)關系式；(2)小明從家到學校一共用了20分鐘，他家到學校的路程是多少千米？解析：(1)因為路程\(s\)與騎行時間\(t\)成正比例關系，所以可設\(s=kt\)（\(k\neq0\)），其中\(zhòng)(k\)為小明騎自行車的速度（千米/小時）。已知當\(t=0.5\)小時時，\(s=3\)千米，代入上式得：\(3=k\times0.5\)解得：\(k=3\div0.5=6\)所以，\(s\)與\(t\)之間的函數(shù)關系式為\(s=6t\)。(2)題目中給出的時間是20分鐘，需要先將其單位轉換為小時，因為速度\(k\)的單位是千米/小時。20分鐘=\(\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\)小時。將\(t=\frac{1}{3}\)代入\(s=6t\)，得：\(s=6\times\frac{1}{3}=2\)（千米）答：他家到學校的路程是2千米。例題8：已知正比例函數(shù)\(y=(2m-3)x\)的圖像上兩點\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，當\(x_1<x_2\)時，有\(zhòng)(y_1>y_2\)，求\(m\)的取值范圍。解析：在正比例函數(shù)圖像上，如果當\(x_1<x_2\)時，對應的\(y_1>y_2\)，這說明\(y\)隨\(x\)的增大而減小。根據(jù)正比例函數(shù)的性質，當\(y\)隨\(x\)的增大而減小時，其比例系數(shù)\(k<0\)。所以，對于函數(shù)\(y=(2m-3)x\)，有：\(2m-3<0\)解這個不等式：\(2m<3\)\(m<\frac{3}{2}\)因此，\(m\)的取值范圍是\(m<\frac{3}{2}\)。三、學習建議與總結正比例函數(shù)看似簡單，但它是函數(shù)學習的起點，對后續(xù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)乃至高中階段更復雜的函數(shù)學習都有著深遠的影響。同學們在學習過程中，應注意以下幾點：1.深刻理解概念：不僅僅是記住\(y=kx\)的形式，更要理解“正比例”的含義，以及比例系數(shù)\(k\)的幾何意義和代數(shù)意義。2.重視數(shù)形結合：函數(shù)的圖像是函數(shù)性質的直觀體現(xiàn)。畫好函數(shù)圖像，觀察圖像的位置、走向、經(jīng)過的點，能幫助我們更好地理解