高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面梳理函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是解決實(shí)際問題的重要工具。高一階段對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，主要側(cè)重于概念的建立、基本性質(zhì)的理解以及幾類簡(jiǎn)單初等函數(shù)的掌握。本文將對(duì)高一數(shù)學(xué)中函數(shù)的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行一次系統(tǒng)性的梳理，希望能為同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)提供幫助。一、函數(shù)的概念與要素1.函數(shù)的定義在一個(gè)變化過程中，設(shè)有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量。x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。這里的核心在于“兩個(gè)非空數(shù)集”和“唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系”。需要深刻理解，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都只能有一個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，這是判斷是否為函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵。2.函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。*定義域：自變量x的取值范圍。在研究函數(shù)時(shí)，首先要考慮定義域，它是函數(shù)存在的前提。求定義域時(shí)，通常要考慮分式的分母不為零、偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零等基本情形，同時(shí)也要注意實(shí)際問題中的自變量取值限制。*對(duì)應(yīng)關(guān)系：即函數(shù)表達(dá)式中所體現(xiàn)的x與y之間的映射規(guī)則，通常用f來表示。例如f(x)=2x+1，這里的f就是將自變量x先乘以2再加上1的對(duì)應(yīng)關(guān)系。*值域：函數(shù)值y的集合，由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同決定。求值域的方法多樣，如觀察法、配方法、換元法、利用函數(shù)單調(diào)性等，需根據(jù)具體函數(shù)形式靈活選擇。判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，必須同時(shí)滿足定義域相同、對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同（至于表示自變量的字母用什么無關(guān)緊要），此時(shí)值域必然相同。二、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法是溝通函數(shù)三要素的橋梁，常見的有解析法、列表法和圖像法。1.解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式（解析式）來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是最常用也是最精確的表示方法。例如f(x)=ax+b(a≠0)，g(x)=x2等。解析法的優(yōu)點(diǎn)是便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。2.列表法通過列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表等。其優(yōu)點(diǎn)是直觀明了，可直接查得函數(shù)值，但通常只能表示有限個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。3.圖像法用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示函數(shù)關(guān)系，即把自變量x和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y作為點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)，在坐標(biāo)系內(nèi)描出這些點(diǎn)，若為連續(xù)函數(shù)，則這些點(diǎn)會(huì)構(gòu)成一條曲線（或直線）。圖像法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）。掌握函數(shù)圖像的畫法（如描點(diǎn)法）以及圖像的識(shí)讀，是學(xué)好函數(shù)的重要技能。數(shù)形結(jié)合思想在這里體現(xiàn)得淋漓盡致。三、函數(shù)的基本性質(zhì)研究函數(shù)的性質(zhì)，是為了更好地把握函數(shù)的行為特征，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容。1.單調(diào)性（增減性）函數(shù)的單調(diào)性是描述函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨著自變量的增大，函數(shù)值是增大還是減小的性質(zhì)。*增函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?,x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。*減函數(shù)：類似地，如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?,x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，我們就說函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法主要有：定義法（取值、作差/作商、變形、定號(hào)、下結(jié)論）和圖像法（觀察圖像的上升與下降）。利用已知函數(shù)的單調(diào)性判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性也是重要的方法。2.奇偶性函數(shù)的奇偶性是描述函數(shù)圖像對(duì)稱性的性質(zhì)，是針對(duì)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)而言的。*奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。*偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若對(duì)稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。3.周期性（初步了解）對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。（高一階段對(duì)周期性的要求不高，主要在三角函數(shù)部分深入學(xué)習(xí)）四、基本初等函數(shù)高一階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)主要包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)。1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)*正比例函數(shù)：形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)。其圖像是過原點(diǎn)的一條直線，k叫做比例系數(shù)，決定直線的傾斜程度。當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在R上是減函數(shù)。*一次函數(shù)：形如y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其圖像是一條直線，k是斜率，b是直線在y軸上的截距（即直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)）。當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)即為正比例函數(shù)。一次函數(shù)的定義域和值域均為R。單調(diào)性由k的符號(hào)決定，與正比例函數(shù)類似。2.反比例函數(shù)形如y=k/x(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其定義域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}。圖像是雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（是奇函數(shù)）。當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。3.二次函數(shù)二次函數(shù)是高一函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要投入較多精力掌握。*定義：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。*圖像：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。a決定拋物線的開口方向和開口大?。篴>0時(shí)，開口向上；a<0時(shí)，開口向下。|a|越大，拋物線開口越窄；|a|越小，拋物線開口越寬。*性質(zhì)：*頂點(diǎn)：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)（當(dāng)a<0時(shí)）或最低點(diǎn)（當(dāng)a>0時(shí)）。*對(duì)稱軸：直線x=-b/(2a)。拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。*單調(diào)性：當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)（x<-b/(2a)），函數(shù)單調(diào)遞減；在對(duì)稱軸右側(cè)（x>-b/(2a)），函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)a<0時(shí)，情況相反。*最值：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)有最小值，y_min=(4ac-b2)/(4a)；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)有最大值，y_max=(4ac-b2)/(4a)。*二次函數(shù)的解析式：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)*頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。*交點(diǎn)式（兩根式）：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?,x?是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根）。*二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系：這三者緊密相連，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合。通過二次函數(shù)的圖像，可以直觀地理解一元二次方程的根（圖像與x軸交點(diǎn)）和一元二次不等式的解集（圖像在x軸上方或下方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍）。4.冪函數(shù)（初步認(rèn)識(shí)）*定義：形如y=x^α(α為常數(shù))的函數(shù)，叫做冪函數(shù)。其中x是自變量，α是常數(shù)。*常見的冪函數(shù)：如y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2)(即y=√x),y=x^(-1)(即y=1/x)等。*圖像與性質(zhì)：冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)與指數(shù)α的取值密切相關(guān)。高一階段主要通過幾個(gè)具體的冪函數(shù)（如α=1,2,3,1/2,-1）來認(rèn)識(shí)其圖像特征和基本性質(zhì)（定義域、奇偶性、單調(diào)性等）。五、函數(shù)學(xué)習(xí)的總結(jié)與建議函數(shù)的學(xué)習(xí)，概念是基礎(chǔ)，圖像是關(guān)鍵，性質(zhì)是核心，應(yīng)用是目的。1.深刻理解概念：對(duì)于函數(shù)的定義、三要素、單調(diào)性、奇偶性等基本概念，要反復(fù)琢磨，不僅要記住文字表述，更要理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)和幾何意義。2.重視函數(shù)圖像：“數(shù)形結(jié)合”是學(xué)習(xí)函數(shù)最重要的思想方法。要養(yǎng)成畫圖、識(shí)圖、用圖的習(xí)慣，通過圖像來理解和記憶函數(shù)的性質(zhì)，解決函數(shù)問題。3.掌握研究方法：學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)，通常從定義入手，然后研究其定義域、值域、圖像、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，最后是簡(jiǎn)單應(yīng)用。這種研究方法具有普遍性。4.多做練習(xí)，注重反思：通過適量的練習(xí)來鞏固知識(shí)，提高解題能力。但練習(xí)不是目的，關(guān)鍵在于通過練習(xí)總結(jié)規(guī)律，反思解題思路，提升數(shù)學(xué)思維能力。