平面向量綜合習(xí)題解析平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其工具性作用在幾何、代數(shù)乃至物理問題中均有體現(xiàn)。掌握向量的基本概念、運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用技巧，是解決綜合問題的關(guān)鍵。本文將通過若干典型例題的深度剖析，梳理解題思路，提煉方法規(guī)律，助力讀者提升對平面向量的綜合運(yùn)用能力。一、向量的線性運(yùn)算與基本定理應(yīng)用向量的線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）是基礎(chǔ)，而平面向量基本定理則是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁。理解基底思想，靈活運(yùn)用線性表示，是解決此類問題的核心。例1已知在$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$為$BC$邊的中點(diǎn)，點(diǎn)$E$在$AC$上，且$AE=2EC$，$AD$與$BE$相交于點(diǎn)$O$。若$\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf$，試用基底$\{\mathbf{a},\mathbf\}$表示向量$\overrightarrow{AO}$。分析與解答：欲求$\overrightarrow{AO}$，需利用$A$、$O$、$D$三點(diǎn)共線及$B$、$O$、$E$三點(diǎn)共線的條件，設(shè)出參數(shù)，再根據(jù)向量相等求解。因?yàn)?D$是$BC$中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf$。由于$A$、$O$、$D$三點(diǎn)共線，可設(shè)$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AD}=\frac{\lambda}{2}\mathbf{a}+\frac{\lambda}{2}\mathbf$，其中$\lambda\in\mathbb{R}$。又因?yàn)?E$在$AC$上，且$AE=2EC$，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\mathbf$。則$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\mathbf-\mathbf{a}$。同樣，因?yàn)?B$、$O$、$E$三點(diǎn)共線，可設(shè)$\overrightarrow{BO}=\mu\overrightarrow{BE}=-\mu\mathbf{a}+\frac{2\mu}{3}\mathbf$，其中$\mu\in\mathbb{R}$。而$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\mathbf{a}+(-\mu\mathbf{a}+\frac{2\mu}{3}\mathbf)=(1-\mu)\mathbf{a}+\frac{2\mu}{3}\mathbf$?，F(xiàn)在，我們有兩個關(guān)于$\overrightarrow{AO}$的表達(dá)式：$\frac{\lambda}{2}\mathbf{a}+\frac{\lambda}{2}\mathbf=(1-\mu)\mathbf{a}+\frac{2\mu}{3}\mathbf$由于$\mathbf{a}$與$\mathbf$不共線，根據(jù)平面向量基本定理，對應(yīng)系數(shù)相等，可得方程組：$\begin{cases}\frac{\lambda}{2}=1-\mu\\\frac{\lambda}{2}=\frac{2\mu}{3}\end{cases}$解此方程組，由第二個方程得$\lambda=\frac{4\mu}{3}$，代入第一個方程：$\frac{2\mu}{3}=1-\mu$，解得$\mu=\frac{3}{5}$，進(jìn)而$\lambda=\frac{4}{5}$。因此，$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{5}\mathbf{a}+\frac{2}{5}\mathbf$。小結(jié)：本題充分利用了“三點(diǎn)共線”這一常見條件，將共線向量用參數(shù)表示，再借助向量相等建立方程求解?；追ㄊ墙鉀Q此類幾何問題的常用手段，關(guān)鍵在于選擇合適的基底，并能用基底線性表示相關(guān)向量。二、向量的數(shù)量積及其應(yīng)用向量的數(shù)量積是向量運(yùn)算的核心，它將向量的模、夾角聯(lián)系起來，在處理長度、角度、垂直等問題時具有無可替代的作用。例2已知向量$\mathbf{a}$，$\mathbf$滿足$|\mathbf{a}|=3$，$|\mathbf|=2$，且$\mathbf{a}$與$\mathbf$的夾角為$\theta$。(1)若$\mathbf{a}\perp(\mathbf{a}+\mathbf)$，求$\cos\theta$的值；(2)若$|\mathbf{a}-\mathbf|=\sqrt{7}$，求$\theta$的值。分析與解答：(1)由$\mathbf{a}\perp(\mathbf{a}+\mathbf)$可知，它們的數(shù)量積為零，即$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}+\mathbf)=0$。展開得：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}+\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$。因?yàn)?\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^2=3^2=9$，$\mathbf{a}\cdot\mathbf=|\mathbf{a}||\mathbf|\cos\theta=3\times2\times\cos\theta=6\cos\theta$。所以$9+6\cos\theta=0$，解得$\cos\theta=-\frac{3}{2}$。這里需要注意，$|\cos\theta|\leq1$，而$-\frac{3}{2}<-1$，這說明什么？這表明題目所給條件是否可能？哦，不，這里是我計(jì)算失誤。$|\mathbf{a}|=3$，$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=9$是對的。$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}+\mathbf)=0$，則$\mathbf{a}^2+\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$，即$9+6\cos\theta=0$，解得$\cos\theta=-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}$。顯然，這超出了余弦函數(shù)的值域，這說明在給定的模長下，$\mathbf{a}$不可能垂直于$\mathbf{a}+\mathbf$。這提示我們在解題時，不僅要關(guān)注計(jì)算，也要關(guān)注結(jié)果的合理性，以及對題目條件的審視。如果這是一個實(shí)際問題，那么可能需要檢查題目是否有誤，或者是否存在我理解上的偏差。假設(shè)題目數(shù)據(jù)無誤，那么此題無解，或者說不存在這樣的夾角$\theta$使得$\mathbf{a}\perp(\mathbf{a}+\mathbf)$。(2)已知$|\mathbf{a}-\mathbf|=\sqrt{7}$，我們可以對等式兩邊平方來利用數(shù)量積運(yùn)算。$|\mathbf{a}-\mathbf|^2=(\mathbf{a}-\mathbf)^2=\mathbf{a}^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf+\mathbf^2$。代入已知數(shù)據(jù)：$(\sqrt{7})^2=3^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf+2^2$。即$7=9-2\mathbf{a}\cdot\mathbf+4$，化簡得$7=13-2\mathbf{a}\cdot\mathbf$。移項(xiàng)得$2\mathbf{a}\cdot\mathbf=13-7=6$，所以$\mathbf{a}\cdot\mathbf=3$。又因?yàn)?\mathbf{a}\cdot\mathbf=|\mathbf{a}||\mathbf|\cos\theta=6\cos\theta$，所以$6\cos\theta=3$，解得$\cos\theta=\frac{1}{2}$。因?yàn)?\theta\in[0,\pi]$，所以$\theta=\frac{\pi}{3}$。小結(jié)：數(shù)量積的運(yùn)算律，特別是$|\mathbf{v}|^2=\mathbf{v}^2$這一性質(zhì)，在解決模長問題時經(jīng)常用到。對于垂直問題，數(shù)量積為零是核心判定條件。同時，要注意數(shù)量積公式中夾角的取值范圍以及余弦函數(shù)的值域，以檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。例3已知$\triangleABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$D$是邊$BC$的中點(diǎn)，求$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$的值。分析與解答：本題可以考慮用基底法或坐標(biāo)法求解。方法一（基底法）：選擇$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$作為基底。因?yàn)?D$是$BC$的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。而$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。則$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{AC})^2-(\overrightarrow{AB})^2]$。因?yàn)?(\overrightarrow{AC})^2=|\overrightarrow{AC}|^2=3^2=9$，$(\overrightarrow{AB})^2=|\overrightarrow{AB}|^2=4^2=16$。所以原式$=\frac{1}{2}(9-16)=\frac{1}{2}(-7)=-\frac{7}{2}$。方法二（坐標(biāo)法）：建立平面直角坐標(biāo)系，以$A$為原點(diǎn)，$AB$所在直線為$x$軸。則$A(0,0)$，$B(4,0)$。設(shè)$C(x,y)$，因?yàn)?AC=3$，所以$\sqrt{x^2+y^2}=3$，即$x^2+y^2=9$。$D$是$BC$中點(diǎn)，所以$D$點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{4+x}{2},\frac{0+y}{2})=(\frac{x+4}{2},\frac{y}{2})$。$\overrightarrow{AD}=(\frac{x+4}{2},\frac{y}{2})$，$\overrightarrow{BC}=(x-4,y-0)=(x-4,y)$。$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{x+4}{2}\cdot(x-4)+\frac{y}{2}\cdoty=\frac{(x^2-16)+y^2}{2}=\frac{(x^2+y^2)-16}{2}$。因?yàn)?x^2+y^2=9$，所以原式$=\frac{9-16}{2}=-\frac{7}{2}$。小結(jié)：基底法和坐標(biāo)法是解決向量數(shù)量積問題的兩大主流方法?；追ǜ蕾囉趲缀侮P(guān)系的轉(zhuǎn)化，而坐標(biāo)法則將問題代數(shù)化，更具操作性。在具體問題中，可根據(jù)已知條件靈活選擇。本題中，基底法顯得更為簡潔。三、向量的坐標(biāo)表示與綜合應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，為解決幾何問題提供了有力工具。利用坐標(biāo)，可以將位置關(guān)系、長度、角度等問題轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題求解。例4在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$。(1)求向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角；(2)若點(diǎn)$P$是線段$BC$上的動點(diǎn)，求$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}$的取值范圍。分析與解答：(1)首先，求出向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)。$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,4-2)=(2,2)$。$\overrightarrow{AC}=C-A=(5-1,0-2)=(4,-2)$。設(shè)$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為$\theta$，則$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$。計(jì)算分子：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+2\times(-2)=8-4=4$。計(jì)算$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。所以$\cos\theta=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{5}}=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。因此，夾角$\theta=\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$。(2)因?yàn)辄c(diǎn)$P$是線段$BC$上的動點(diǎn)，我們可以用參數(shù)法表示點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。先求線段$BC$的參數(shù)方程。已知$B(3,4)$，$C(5,0)$。設(shè)$P$點(diǎn)坐標(biāo)為$(x,y)$，參數(shù)$t\in[0,1]$，則$\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}$。$\overrightarrow{BC}=(5-3,0-4)=(2,-4)$。所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=(3,4)+t(2,-4)=(3+2t,4-4t)$，其中$t\in[0,1]$。則$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(3+2t-1,4-4t-2)=(2+2t,2-4t)$。已知$\overrightarrow{AC}=(4,-2)$。所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=(2+2t)\times4+(2-4t)\times(-2)=8+8t-4+8t=(8-4)+(8t+8t)=4+16t$。因?yàn)?t\in[0,1]$，所以$16t\in[0,16]$，則$4+16t\in[4,20]$。故$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}$的取值范圍是$[4,20]$。小結(jié)：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可以將幾何中的動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)問題（如本題中的參數(shù)$t$的函數(shù)），從而利用函數(shù)的性質(zhì)求解取值范圍。參數(shù)法是表示動點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法。四、向量與三角函數(shù)、不等式的綜合向量有時會與三角函數(shù)、不等式等知識結(jié)合，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的