第12章線性系統(tǒng)的校正

所謂系統(tǒng)的校正，就是為了達到一定的控制效果，在調(diào)整放大器增益后，仍然不能全面滿足設(shè)計要求的性能指標(biāo)的情況下，在原系統(tǒng)特性的基礎(chǔ)上加入一些可以根據(jù)需要而改變參數(shù)的機構(gòu)或裝置，將原特性加以修正，使系統(tǒng)整個特性發(fā)生變化，以達到設(shè)計要求。使用MATLAB，不僅可以解決控制系統(tǒng)的分析問題，還能解決控制系統(tǒng)的設(shè)計問題，在控制分析的基礎(chǔ)上對系統(tǒng)性能進行校正改善，并使設(shè)計過程大大簡化，大大提高設(shè)計效率。本章主要介紹基于bode圖的系統(tǒng)串聯(lián)校正設(shè)計方法。12.1相位校正的原理在給定受控對象數(shù)學(xué)模型和系統(tǒng)性能指標(biāo)的條件下，設(shè)計一個能夠達到給定性能指標(biāo)的控制器，又稱為校正器或者調(diào)節(jié)器，也就是確定控制器的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。受控對象的數(shù)學(xué)模型主要是指傳遞函數(shù)形式或狀態(tài)空間表達式，本章是指傳遞函數(shù)形式。在MATLAB中，校正前系統(tǒng)的截止頻率（即剪切頻率wc）用Wp1表示，校正后系統(tǒng)期望的截止頻率（即剪切頻率wc’）用Wp2表示。校正前、后的相角裕度g和g’用Pm1、Pm2表示。系統(tǒng)性能指標(biāo)主要包括頻域指標(biāo)：增益裕量Gm、相位裕量Pm、-180°相位穿越頻率Wg和剪切頻率Wp等；時域指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差、靜態(tài)誤差系數(shù)K、超調(diào)量、峰值時間、調(diào)節(jié)時間等。12.1.1系統(tǒng)校正的概念所謂的校正（或稱補償），就是在原系統(tǒng)中加入一些可以根據(jù)需要而改變參數(shù)的、具有某種典型環(huán)節(jié)特性的電子網(wǎng)絡(luò)機構(gòu)或裝置等，靠這些機構(gòu)或裝置的配置來有效地改善整個系統(tǒng)的控制性能，使整個系統(tǒng)特性滿足給定的各項性能指標(biāo)。這一附加的裝置稱為校正元件或校正裝置，它們通常是一些無源或有源微積分電路，以及速度、加速度傳感器等。加入校正裝置后使原來未校正系統(tǒng)的缺陷得到補償，這就是校正的作用。常用的校正方式有串聯(lián)校正、反饋校正、前饋校正和復(fù)合校正四種。在線性控制系統(tǒng)設(shè)計中，常用的校正方式為串聯(lián)校正和反饋校正兩種。究竟選用哪種校正方式，取決于系統(tǒng)中的信號性質(zhì)、技術(shù)實現(xiàn)的方便性、可供選用的元件、抗擾性要求、經(jīng)濟性要求、環(huán)境使用條件以及設(shè)計者的經(jīng)驗等因素。它們的特點如下：串聯(lián)校正：串聯(lián)校正裝置一般接在系統(tǒng)誤差測量點之后和放大器之前，串接于系統(tǒng)前向通道之中。裝置簡單，調(diào)整靈活，成本低。反饋校正：反饋校正裝置接在系統(tǒng)局部反饋通道之中。其輸入信號直接取自輸出信號，校正裝置費用高，調(diào)整不方便，但是可以獲得高靈敏度與高穩(wěn)定度。12.1.2設(shè)計方法在線性控制系統(tǒng)中，常用的校正裝置設(shè)計方法有時域分析法、根軌跡設(shè)計方法和頻率特性設(shè)計方法。

1.時域分析法

時域分析法有分析法和綜合法兩種：分析法又稱試探法。用分析法設(shè)計校正裝置比較直觀，在物理上易于實現(xiàn)，但要求設(shè)計者有一定的工程設(shè)計經(jīng)驗，設(shè)計過程帶有試探性。綜合法又稱期望特性法。這種設(shè)計方法從閉環(huán)系統(tǒng)性能與開環(huán)系統(tǒng)特性密切相關(guān)這一概念出發(fā)，根據(jù)性能指標(biāo)要求確定出希望開環(huán)特性的形狀，然后與系統(tǒng)原有開環(huán)特性相比較，從而確定校正方式、校正裝置的形式和參數(shù)。綜合法有廣泛的理論意義，但希望的校正裝置傳輸函數(shù)可能相當(dāng)復(fù)雜，在物理上難以實現(xiàn)。應(yīng)當(dāng)指出，不論是分析法或綜合法，其設(shè)計過程一般僅適用于最小相位系統(tǒng)。時域分析法的缺點是不能直觀顯示出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)與性能之間的關(guān)系，顯然用時域法去設(shè)計校正裝置是困難的。2.根軌跡設(shè)計方法

根軌跡設(shè)計方法分析系統(tǒng)很方便，因為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已定，但設(shè)計的盲目性很大。主要問題是采用何種控制規(guī)律的選擇和分析過程較復(fù)雜。3.頻率特性設(shè)計方法頻率特性設(shè)計方法是基于bode圖的設(shè)計方法，是一種間接設(shè)計方法，因為設(shè)計結(jié)果滿足的是頻域指標(biāo)，而不是時域指標(biāo)。然而，在頻域內(nèi)進行設(shè)計又是一種簡便的方法，在bode圖上雖然不能嚴(yán)格定量地給出系統(tǒng)的動態(tài)性能，但卻能方便地根據(jù)頻域指標(biāo)確定校正裝置的參數(shù)，特別是對已校正系統(tǒng)的高頻特性有要求時，采用頻域法校正較其它方法更為簡便。按照傳統(tǒng)方法，改變原系統(tǒng)的bode圖使之成為希望的形狀，即滿足要求的性能指標(biāo)就屬于控制系統(tǒng)的頻域校正內(nèi)容。頻率特性設(shè)計方法具有以下特點：當(dāng)采用串聯(lián)校正時，校正后系統(tǒng)的Bode圖即為原有系統(tǒng)Bode圖和校正裝置的Bode圖直接相加。頻率特性圖可以清楚表明系統(tǒng)改變性能指標(biāo)的方向。對于某些數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)起來比較困難的元件，如液壓和氣動元件等，通?？梢酝ㄟ^頻率響應(yīng)實驗來獲得其Bode圖。頻域設(shè)計通常通過Bode圖進行，處理起來十分簡單，是一種最常用的方法。在涉及到高頻噪聲時，頻域設(shè)計法的優(yōu)勢更明顯，比其他方法更為方便。12.1.3頻域的串聯(lián)校正原理

基于bode圖的系統(tǒng)校正方法（即頻域校正法）主要有3種：相位“超前”校正和相位“滯后”校正，這兩種校正方法都是在系統(tǒng)串聯(lián)校正的基礎(chǔ)上實現(xiàn)的。還有一種相位“滯后-超前”校正是基于相位“超前”校正和相位“滯后”校正的基礎(chǔ)上實現(xiàn)的?！俺啊?、“滯后”和“滯后-超前”校正器的Bode圖設(shè)計，主要就是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G、剪切頻率Wp及其相位裕量Pm、-180°相位穿越頻率Wg及其增益裕量Gm來進行設(shè)計。單位負反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖12-1-1所示，控制器G(s)就是要設(shè)計的控制器的傳遞函數(shù)，它可以是超前、滯后校正器或者是PID控制器，H(s)就是要被控制設(shè)備的傳遞函數(shù)。串聯(lián)校正原理就是將校正器G(s)串聯(lián)到被控制設(shè)備的網(wǎng)絡(luò)中，串聯(lián)連接的系統(tǒng)函數(shù)相當(dāng)于兩個傳遞函數(shù)直接相乘G(s)H(s)，根據(jù)系統(tǒng)要求設(shè)計G(s)的形式，使G(s)H(s)滿足系統(tǒng)要求。12.1.4控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)分析在設(shè)計之前，首先要對原系統(tǒng)進行性能分析：一個系統(tǒng)，根據(jù)給定的元部件參數(shù)，分析它能達到什么指標(biāo)，能否滿足所要求的各項性能指標(biāo)；然后進行校正分析：若系統(tǒng)不能全面地滿足所要求的性能指標(biāo)，就要考慮對原系統(tǒng)增加些必要的元件或環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)能夠全面地滿足所要求的性能指標(biāo)。最后對校正后的系統(tǒng)綜合分析，能否滿足所要求的各項性能指標(biāo)和實際性能。1.控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的時域穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)主要是誤差ess和開環(huán)增益K，以及系統(tǒng)的型別（0型、I型或II型）等。2.控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)包括：（1）以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為基礎(chǔ)的時域性能指標(biāo)：上升時間tr、超調(diào)量Mp、調(diào)節(jié)時間ts和峰值時間tp。（2）以系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為基礎(chǔ)的頻域性能指標(biāo)：諧振峰值Mr、諧振頻率wr、帶寬（閉環(huán)截止頻率）wb。（3）以系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為基礎(chǔ)的頻域性能指標(biāo)：系統(tǒng)開環(huán)伯德圖的剪切頻率wc，系統(tǒng)的增益裕度Gm、相角裕度g。3.相角裕度γ與各頻段參量的關(guān)系、期望的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

期望的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性，如圖12-1-2所示。（1）開環(huán)頻率特性的低頻段：第一個轉(zhuǎn)折頻率w1之前的頻段，表征了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。因此要求低頻段增益充分大，以保證穩(wěn)態(tài)誤差要求，但要注意不要影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在Bode圖上，低頻段斜率越大，則相角裕度g減小越多，w1離wc越遠，影響越小。低頻段和高頻段都可以有更大的斜率，低頻段斜率大，可提高穩(wěn)態(tài)性能。

wc的大小取決于系統(tǒng)的快速性要求。wc大快速性好，但抗擾能力下降。（2）開環(huán)頻率特性的中頻段：w1~w4，表征了閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能。中頻段斜率：–60dB/dec：肯定不穩(wěn)定；–40dB/dec：可能穩(wěn)定，但穩(wěn)定裕量g較??；–20dB/dec：一般穩(wěn)定，且穩(wěn)定裕量g較大。因此在Bode圖上，中頻段的斜率以-20dB為宜；但中頻段必須有足夠的帶寬以保證系的相位裕量，帶寬B=w3/w2越大，相位裕量g越大。（3）開環(huán)頻率特性的高頻段：w4（取10wc）以后的頻段，表征了閉環(huán)系統(tǒng)的復(fù)雜性和噪聲抑制性能，影響系統(tǒng)抗干擾性。高頻增益要盡快減小，以削弱噪聲的影響。因此，在Bode圖上高頻段斜率大，排除干擾能力強。但高頻段有較大的斜率，同樣會導(dǎo)致相角裕度g減小，w3離wc越遠，影響越小。4.控制系統(tǒng)的帶寬頻率的確定控制系統(tǒng)的帶寬受很多因素影響，對系統(tǒng)性能有重要影響。系統(tǒng)帶寬與帶寬頻率，如圖12-1-3所示。（1）信號復(fù)現(xiàn)能力和噪聲干擾?？紤]的主要問題是盡可能無失真地復(fù)現(xiàn)有用信號，減少干擾。確定方法：有用信號帶寬：干擾信號帶寬：（2）機械諧振頻率的限制?？紤]的主要問題是避免激起機械振蕩，甚至共振。確定方法：注意：wb和wm數(shù)值靠得比較近時會降低相對穩(wěn)定性，開環(huán)伯德圖的剪切頻率和距離盡可能遠些。其中：wb為自然頻率，wm為機械系統(tǒng)的諧振頻率。5.期望頻率特性的確定

基于頻率響應(yīng)法（頻率法）對系統(tǒng)進行校正的基本思路是：通過所加校正裝置，改變系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的形狀，即要求校正后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有如下特點：（1）低頻段的增益滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求；由穩(wěn)態(tài)特性確定K和積分環(huán)節(jié)個數(shù)，由此確定低頻段。（2）中頻段的幅頻特性的斜率為-20dB/dec，并具有較寬的頻帶，以便系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能：按給定的時域頻性能指標(biāo)確定剪切頻率wc；過wc點作-20dB/dec的直線；確定中頻漸近線的長度，或w2起點和終點w3

。（3）高頻段要求幅值迅速衰減，以減少噪聲的影響。所以，用頻率法設(shè)計控制系統(tǒng)的實質(zhì)，就是在系統(tǒng)中加入頻率特性形狀合適的校正裝置，以使開環(huán)系統(tǒng)頻率特性形狀變成所期望的形狀。需要注意的是，上述性能指標(biāo)并不是完全各自獨立的，有些指標(biāo)相互之間有一定的關(guān)系，這些指標(biāo)可以混合使用，但不能互相矛盾!12.2相位滯后無源校正網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)滯后校正應(yīng)用于對系統(tǒng)響應(yīng)速度要求不高而抑制噪聲電平性能要求較高的場合。12.2.1相位滯后無源校正的原理相位滯后校正，通過壓縮頻帶寬度使校正系統(tǒng)獲得希望的相位裕度。滯后校正器的等效RC網(wǎng)絡(luò)圖如圖12-2-1所示。滯后校正器實際是一個低通濾波器，基本原理主要是利用其滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻衰減特性，以降低系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率，從而使已校正系統(tǒng)獲得足夠的相角裕度。滯后校正器的基本特性，是相頻曲線具有負相移（滯后相位角）。實際設(shè)計中不是使用校正裝置的相頻特性，而是利用其高頻衰減特性。因此無源滯后網(wǎng)絡(luò)一般不放在中頻段，否則對穩(wěn)定性不利，主要利用其高頻幅值衰減的特性，對高頻噪聲起削弱作用，同時降低系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率，提高系統(tǒng)的相角裕度。（1）最大滯后角，發(fā)生在交接頻率的幾何中心，該點對應(yīng)的頻率稱為最大滯后角頻率：，如圖12-2-2所示。零極點分布如圖12-2-3所示，極點總是位于零點之右，二者的距離由常數(shù)b決定。（2）滯后網(wǎng)絡(luò)對信號的影響：滯后網(wǎng)絡(luò)在時，對信號沒有衰減作用。在時，對信號有積分作用，呈滯后特性。在時，對信號衰減作用為，其b值越大，高頻衰減越厲害。

（3）滯后校正器傳遞函數(shù)中的T。根據(jù)自動控制理論，距離剪切頻率越遠，滯后校正器的滯后特性對系統(tǒng)影響越小，所以1/T選得越小越好；但如果1/T太小，滯后校正器對剪切頻率的相位滯后量的影響又不大。因此，在設(shè)計中力求避免最大滯后角發(fā)生在已校系統(tǒng)開環(huán)截止頻率附近。這一點與超前校正不同，超前校正是把截止頻率選在最大超前相角處。選擇滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)時，通常使網(wǎng)絡(luò)的交接頻率1/T遠小于，一般選擇1/T為（12.2.5）此時，遲后網(wǎng)絡(luò)在處產(chǎn)生的相角遲后角為

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。（4）求滯后校正器傳遞函數(shù)中的b。因為經(jīng)串聯(lián)滯后校正后的系統(tǒng)在剪切頻率處的對數(shù)幅值等于0，即：（12.2.6）是校正前的系統(tǒng)，是校正系統(tǒng)，是校正后的系統(tǒng)

由于分度系數(shù)b總是大于1，>>1，故根據(jù)（12.2.4）式，（12.2.7）而，故：即未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性在剪切頻率處的幅值為：由此得：（12.2.8）因此求出剪切頻率wp2，即可根據(jù)原系統(tǒng)函數(shù)確定b，求出b和T后，根據(jù)即可求出串聯(lián)滯后校正系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。如圖12-2-4所示，串聯(lián)滯后校正后對系統(tǒng)性能的影響如下：（1）低頻段重合，校正后對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差沒有影響。（2）中頻段：<（即

c<

c），Pm2>Pm1，校正后系統(tǒng)平穩(wěn)性好，響應(yīng)速度慢。（3）高頻段向下平移，校正后高頻濾波性能好。12.2.2相位滯后校正器的設(shè)計相位滯后校正器設(shè)計的關(guān)鍵技術(shù)是選擇參數(shù)b和T以及校正裝置放置的位置。（1）根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。（2）根據(jù)已確定的開環(huán)增益，畫出待校正系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線，并計算待校正系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度（增益裕量Gm1、相位裕量Pm1）和截止頻率Wp1。（3）根據(jù)期望的相角裕度Pm2選擇已校正系統(tǒng)的截止頻率Wp2。要考慮滯后網(wǎng)絡(luò)在新的截止頻率Wp2處會產(chǎn)生一定的相角滯后，即（12.2.9）式中，是指標(biāo)要求值，是待校正系統(tǒng)的相位裕量，是滯后的相角，一般在確定Wp2前可取為

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。于是，可求出相應(yīng)的Wp2值。（4）根據(jù)下述關(guān)系式確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T：，（12.2.10）（5）由b和T求出校正器的函數(shù)形式，并驗證已校正系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度是否滿足要求。例12-2-1滯后校正器的Bode圖設(shè)計已知單位負反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為：，試設(shè)計系統(tǒng)的滯后校正器G(s)，使之滿足：（1）在斜坡信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤0.02v0；（2）校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：43°～50°。（3）校正后系統(tǒng)的剪切頻率Wp2≥3.6rad/s。解：滯后校正器的Bode圖設(shè)計步驟如下：1.根據(jù)參數(shù)分析受控對象在給出受控對象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量或者剪切頻率的要求下，超前校正器的Bode圖設(shè)計步驟如下：（1）根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益K。由于要求系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：ess=v0/K≤0.02v0所以系統(tǒng)開環(huán)增益：K≥50，取K=50。則被控對象的傳遞函數(shù)為：（2）根據(jù)求得的開環(huán)增益K，畫出系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率Wp1。檢驗這些性能指標(biāo)是否符合要求。程序如下：

s=tf('s');H=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));

[Gm1,Pm1,Wg1,Wp1]=margin(H)上述程序運行后，得到校正前系統(tǒng)的參數(shù)為：增益裕量Gm1=2.1000（即6.44dB）。相位裕量Pm1=9.3528°。剪切頻率Wp1=15.3274rad/s。顯然校正前系統(tǒng)的相位裕量Pm1=9.3528°＜43°，不滿足系統(tǒng)要求。繪制開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖和單位階躍響應(yīng)曲線：

s=tf('s');H=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));figure(1);margin(H);figure(2);step(feedback(H,1));開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖，如圖12-2-5所示。校正前閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，如圖12-2-6所示，系統(tǒng)在動態(tài)響應(yīng)中不穩(wěn)定，處于振蕩衰減狀態(tài)。圖12-2-5滯后校正前的Bode圖圖12-2-6滯后校正前的單位階躍響應(yīng)曲線2.計算校正參數(shù)

由于原系統(tǒng)不穩(wěn)定，要對系統(tǒng)進行滯后校正。根據(jù)（12.2.1）式可知，求滯后校正器的傳遞函數(shù)，需求出T和b。（1）根據(jù)對滯后校正后系統(tǒng)的期望相位裕量Pm2，確定一個新的剪切頻率wp2。先由期望相位裕量Pm2（單位：角度），計算進行校正前原系統(tǒng)在處的相位角wp2，即（12.2.11）式中，Pm2是校正后期望的相位裕量，5°～10°是在校正后剪切頻率的移動所帶來的原系統(tǒng)相位的滯后量。校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm2范圍為：43°～50°，取=46°。（2）確定系統(tǒng)滯后校正后的剪切頻率wp2。確定新的剪切頻率wp2的一般方法可形象理解為：在原系統(tǒng)的Bode圖上，將原剪切頻率wp1向左移，移到使相位裕量Pm達到期望的相位裕量Pm2，這時的剪切頻率便是新的剪切頻率wp2。根據(jù)該剪切頻率，可設(shè)計合適的滯后校正器，使校正后的系統(tǒng)達到期望的相位裕量，從而使系統(tǒng)控制性能更好。根據(jù)校正系統(tǒng)的相位角計算出對應(yīng)的頻率，就是要求的期望剪切頻率的值。即在原系統(tǒng)的Bode圖上，求出相頻關(guān)系，在處的頻率，就是要求的期望剪切頻率wp2的值。求剪切頻率可采用MATLAB中的插值函數(shù)spline()來計算。即Wp=spline(phi,w,max(phi))找出相位角函數(shù)在自己最大值發(fā)生處的值w，即。其MATLAB程序如下：phim=-180+P0+5;[mu,phi,w]=bode(H);Wp2=spline(phi,w,phim);（3）根據(jù)（12.2.5）式，一般選擇：（4）求滯后校正器傳遞函數(shù)中的b。根據(jù)（12.2.8）式，選擇：（5）求滯后校正器的傳遞函數(shù)。滯后校正器的傳遞函數(shù)為：按滯后校正器設(shè)計步驟，編寫的MATLAB程序如下：s=tf('s');K=50;H=K/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));Pm2=46;phim=-180+Pm2+5;[mu,pu,w]=bode(H);Wp2=spline(pu,w,phim);Hw=K/(j*Wp2*(0.2*j*Wp2+1)*(0.01*j*Wp2+1));b=abs(Hw)%頻率特性的幅值T=10/Wp2G=tf([T1],[b*T1])上述程序運行后，得到滯后校正器的參數(shù)b=10.6678，T=2.6682，傳遞函數(shù)G(s)：下列程序繪制出該滯后校正器的Bode圖，如圖12-2-7所示，和零極點圖如圖12-2-8所示。num1=[2.6681];den1=[28.461];bode(num1,den1);gridon;figure[p,z]=pzmap(num1,den1)pzmap(num1,den1);該滯后校正器的零極點值為：p=-0.0351，z=-0.3748

圖12-2-7該滯后校正器的Bode圖圖12-2-8該滯后校正器的零極點圖3.檢驗滯后校正結(jié)果校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，根據(jù)該開環(huán)傳遞函數(shù)繪制Bode圖，其MATLAB程序如下：figure(1);margin(G*H);holdon;margin(H);holdoff;h=legend('(a)','(b)',2,'Location','NorthEast');set(h,'Interpreter','none');figure(2)step(feedback(G*H,1))[Gm2,Pm2,Wg2,Wp2]=margin(G*H)

程序運行后，比較校正前后系統(tǒng)的Bode圖，如圖12-2-9所示?？梢?，采用滯后校正器，原剪切頻率左移，將使校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前小，系統(tǒng)的快速性能變差，但穩(wěn)定性能得以提高，這意味著滯后校正是以犧牲系統(tǒng)的快速性來換取系統(tǒng)穩(wěn)定性的。如果滯后校正器采用RC無源網(wǎng)絡(luò)，雖無增益損失，但有負載效應(yīng)之弊，故工程上常采用由集成運算放大器構(gòu)成的有源滯后校正器。

Gm2=20.8022，Pm2=45.7385，Wg2=21.5476，Wp2=3.7613校正后系統(tǒng)的相位裕量由Pm1=9.3528提高為Pm2=45.74，滿足校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為43°～50°的設(shè)計要求。剪切頻率為Wp2=3.7613，滿足校正后系統(tǒng)的剪切頻率Wp2≥3.6rad/s的設(shè)計要求。校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖12-2-10所示，經(jīng)過滯后校正后系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖12-2-9滯后校正前后系統(tǒng)的Bode圖圖12-2-10滯后校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

12.3相位超前無源校正網(wǎng)絡(luò)相位超前校正網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用：一般用于穩(wěn)態(tài)精度基本滿足要求，但動態(tài)性能較差的系統(tǒng)。12.3.1相位超前校正的原理和方法相位超前校正，通過超前校正裝置的相位超前特性使校正系統(tǒng)獲得希望的相位裕度。超前校正器，實際上是利用了RC微分電路的高通特性進行超前校正的，其等效電路如圖12-3-1所示。該電路的傳遞函數(shù)為：式中，為分度系數(shù)，可見a總是小于1；阻抗。時間常數(shù)：。

由于采用無源超前網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正時，整個系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降a倍，這樣就滿足不了穩(wěn)態(tài)誤差的要求，因此需要提高放大器增益1/a倍加以補償?，F(xiàn)假設(shè)網(wǎng)絡(luò)對開環(huán)放大系數(shù)的衰減已由提高放大器增益所補償，則相位超前無源校正器的傳遞函數(shù)可寫為：（12.3.1）相位超前校正器的幅頻特性為：（12.3.2）幅值取常用對數(shù)再乘以20，得到對數(shù)幅頻特性（單位用分貝dB表示）為：（12.3.3）相頻特性為：（12.3.4）因a總是小于1，則總是大于0，所以為超前網(wǎng)絡(luò)。對（12.3.4）式求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于0，得最大超前角處的頻率為：（12.3.5）相位超前校正網(wǎng)絡(luò)的2個交接頻率為一個極點和一個零點：，，（12.3.6）相位超前校正網(wǎng)絡(luò)的零極點分布，如圖12-3-2所示。零點總是位于極點之右，二者的距離由常數(shù)a決定。零點的作用大于極點，故為超前網(wǎng)絡(luò)。由（12.3.3）式和（12.3.5）式得：（12.3.7）用頻率法對系統(tǒng)進行超前校正的基本原理，是利用超前校正網(wǎng)絡(luò)的相位超前特性來增大系統(tǒng)的相位裕量，以達到改善系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的目點。為此，要求校正網(wǎng)絡(luò)最大的相位超前角出現(xiàn)在系統(tǒng)期望的截止頻率（剪切頻率）處，即“最大超前角頻率等于要求的系統(tǒng)截止頻率，即：”。當(dāng)時，原系統(tǒng)被超前網(wǎng)絡(luò)完全補償，如圖12-3-3所示。完全補償成立的條件是系統(tǒng)在該點的幅頻特性值為0。即：（12.3.8）式中，Adb是補償后系統(tǒng)的幅頻特性，Ahdb是原系統(tǒng)的幅頻特性，Acdb是超前補償器的幅頻特性。在頻率范圍內(nèi)的輸入信號有明顯的微分作用，在該頻率范圍內(nèi)輸出信號相角比輸入信號相角超前，所以把該校正器稱為相位超前校正器。在最大超前角頻率wm處具有最大超前角：（12.3.9）上式表明，fm僅與a有關(guān)。1/a值選得越大，則超前網(wǎng)絡(luò)的微分作用越強。但為了保持較高的系統(tǒng)信噪比，實際選用的1/a值一般不大于20。

fm正好處于頻率的幾何中心，該點頻率為最大超前角頻率，如圖12-3-4所示。

圖12-3-3原系統(tǒng)被超前網(wǎng)絡(luò)完全補償圖12-3-4最大超前角最大超前角可根據(jù)期望的相位裕量求出：（12.3.10）式中，Pm2是校正后期望的相位裕量，Pm1是校正前的相位裕量，求出Pm1即可求出。另外增加補償量5°～10°，補償系統(tǒng)在校正后剪切頻率的移動所帶來的原系統(tǒng)相位的滯后量。根據(jù)（12.3.7）式，得：

（12.3.11）相位超前校正的基本原理總結(jié)如下：利用超前網(wǎng)絡(luò)或PD控制器的相角超前特性，將超前網(wǎng)絡(luò)的交接頻率1/aT和1/T位于待校正系統(tǒng)截止頻率的兩旁。用fm來補償系統(tǒng)的相位裕度。超前校正后對系統(tǒng)性能的影響：（1）低頻段重合，校正后對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差沒有影響。（2）中頻段：

m>

c

，Pm2>Pm1，校正后系統(tǒng)平穩(wěn)性好，響應(yīng)速度快。（3）高頻段抬高，校正后高頻濾波性能差。12.3.2相位超前校正器的設(shè)計相位超前校正器設(shè)計的任務(wù)是求出超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T，然后求出轉(zhuǎn)移函數(shù)?；静襟E如下：（1）設(shè)計指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差與相角裕度g

（或截止頻率wp2）。根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。（2）根據(jù)已確定的開環(huán)增益，畫出待校正系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線，并計算穩(wěn)定裕度和截止頻率；（3）超前校正原則是將超前校正網(wǎng)絡(luò)的最大超前角頻率wm正好位于校正后系統(tǒng)的截止頻率wp2處。根據(jù)截止頻率的要求，計算超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T。

因此在本步驟中，關(guān)鍵是選擇最大超前角頻率等于要求的系統(tǒng)截止頻率，即，以保證系統(tǒng)的響應(yīng)速度，并充分利用網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性。此時，原系統(tǒng)被超前網(wǎng)絡(luò)完全補償。顯然，根據(jù)（12.3.6）和（12.3.7）式，得：（12.3.12）由此可求得a。

如果系統(tǒng)指標(biāo)沒有給出截止頻率wp2，而給出相角裕度g

（即Pm），可根據(jù)（12.3.10）式和（12.3.11）式求出a。

根據(jù)（12.3.5）式得：由此即可求出串聯(lián)超前校正的系統(tǒng)函數(shù)。（4）驗證已校正系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度是否滿足要求。下面以2個實例介紹超前校正器的Bode圖設(shè)計法步驟。例12-3-1設(shè)計超前校正器1已知單位負反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為設(shè)計系統(tǒng)的超前校正器Gc(s)，使之滿足：（1）在斜坡信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤0.001v0；（2）校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：43°～50°。解：1.根據(jù)參數(shù)分析受控對象:在給出受控對象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量的要求下，超前校正器的Bode圖設(shè)計步驟如下：（1）根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益K。由于要求系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：ess=v0/K≤0.001v0所以系統(tǒng)開環(huán)增益：K≥1000，取K=1000。則被控對象的傳遞函數(shù)為：（2）根據(jù)求得的開環(huán)增益K，畫出系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm1、相位裕量Pm1、剪切頻率Wp1。檢驗這些性能指標(biāo)是否符合要求。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖：

s=tf('s');

H=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));margin(H)

[Gm1,Pm1,Wg1,Wp1]=margin(H)Gm1=0.5005，Pm1=-1.2771，Wg1=15.8114，Wp1=22.3459校正前的增益裕量Gm1=0.5005，即20lg(0.5005)=-6dB、相位裕量Pm1約-1.28°，開環(huán)系統(tǒng)的增益裕量Gm1和相位裕量Pm1圖12-3-5系統(tǒng)校正前的Bode圖圖12-3-6系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線均為負值，顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)校正前的Bode圖如圖12-3-5所示。2.計算校正參數(shù)由于原系統(tǒng)不穩(wěn)定，要對系統(tǒng)進行超前校正。根據(jù)（12.3.1）式可知，求超前校正器的傳遞函數(shù)，需求出T和a。（1）校正后系統(tǒng)的相位裕度范圍為：43°～50°，取=45°。根據(jù)（12.3.8）式，計算需要增加的最大相位超前量,根據(jù)求出的Pm1即可求出：（2）在系統(tǒng)中串聯(lián)一個增益為的放大器，可補償超前校正器引入帶來的增益損失。由最大相位超前量，根據(jù)（12.3.9）式，求超前校正器中的a：（3）確定系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率wp2。在Bode圖中，校正后的剪切頻率wp2就是對應(yīng)產(chǎn)生期望相位裕量Pm2的頻率wm。由于wp2在處的增加量為10lga，或者說未校正系統(tǒng)在wp2處增加量為10lga時系統(tǒng)為0dB，即。所以wp2應(yīng)該選在未校正系統(tǒng)的處，當(dāng)被a補償后，則。也就是說，在未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的對數(shù)幅值為10lga處所對應(yīng)的頻率，就是系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率wp2。求剪切頻率可采用MATLAB中的插值函數(shù)spline()來計算。即Wp=spline(Adb,w,max(Adb))找出在自己最大值發(fā)生處的值，即wp2。（4）根據(jù)（12.3.5）式，求超前校正器傳遞函數(shù)中的T，即

（5）求超前校正器的傳遞函數(shù)。超前校正器的傳遞函數(shù)為：根據(jù)上述步驟，設(shè)計該超前校正器的程序如下：

s=tf('s');H=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));[mag,phase,w]=bode(H);[Gm1,Pm1]=margin(H);Pm2=45;phim=Pm2-Pm1+5;phim=phim*pi/180;a=(1-sin(phim))/(1+sin(phim))Adb=20*log10(mag);Adbmax=10*log10(a);Wp2=spline(Adb,w,Adbmax);T=1/(Wp2*sqrt(a))Gc=tf([T1],[a*T1])上述程序運行后，得到a=0.1235，T=0.0756，超前校正器的傳遞函數(shù)Gc：3.檢驗超前校正結(jié)果校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，根據(jù)該開環(huán)傳遞函數(shù)繪制Bode圖，其MATLAB程序如下：s=tf('s');H=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);margin(Gc*H)

[Gm2,Pm2,Wg2,Wp2]=margin(Gc*H)Gm2=13.7526，Pm2=47.7297，Wg2=214.1555，Wp2=37.6654由此結(jié)果可知，校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm2為47.73°，滿足本題目相位裕量Pm范圍為43°～50°的設(shè)計要求。12.4相位“滯后-超前”無源校正網(wǎng)絡(luò)采用“滯后-超前”復(fù)合校正方法比單獨使用超前或滯后校正方法能滿足更多的性能要求?！皽?超前”校正器不僅能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，還可以減少超調(diào)量、加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。12.4.1相位“滯后-超前”校正器的原理

串聯(lián)滯后與串聯(lián)超前校正兩種方法的不同點有：（1）超前校正是利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性，滯后校正是利用滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻幅值衰減特性。（2）為滿足穩(wěn)態(tài)性要求，采用無源校正網(wǎng)絡(luò)時，超前校正一定的附加增益1/a，而滯后校正一般不需要附加增益。（3）對于同一系統(tǒng)，超前校正系統(tǒng)帶寬大于滯后校正的系統(tǒng)的系統(tǒng)帶寬。從提高響應(yīng)速度方面看，帶寬越大越好，但帶寬越大，則系統(tǒng)越易受噪聲干擾影響，因此如果系統(tǒng)輸入噪聲電平高，不宜選用超前。（4）超前網(wǎng)絡(luò)校正使系統(tǒng)的截止頻率增大，滯后校正使系統(tǒng)的截止頻率減小。（5）串聯(lián)超前校正的特點和局限性：超前校正利用其PD網(wǎng)絡(luò)的相位超前特性，可以增大系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，提高動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性；超前校正對提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度作用不大，系統(tǒng)抗干擾能力有所下降（一般用于穩(wěn)態(tài)精度已基本滿足要求，但動態(tài)性能差的系統(tǒng)）；若在未校正系統(tǒng)的截止頻率附近相位下降迅速，導(dǎo)致單個超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前量不足以補償?shù)揭蟮臄?shù)值時（一般：）。閉環(huán)帶寬要求。由于串聯(lián)超前網(wǎng)絡(luò)會使截止頻率比原先增大，當(dāng)需補償相角超前量過大時，會使1/a取的很大，截止頻率過高，對于有些系統(tǒng)克服高頻噪聲不利。若采用兩個超前網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)，會使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，同時進一步降低了抗干擾能力，此時可考慮采用串聯(lián)滯后校正或其它校正裝置。對于固有系統(tǒng)頻率特性在截止頻率附近相角迅速減小系統(tǒng)，不宜用串聯(lián)超前校正。（6）串聯(lián)滯后校正器的應(yīng)用：串聯(lián)滯后校正基本原理主要是利用其PI網(wǎng)絡(luò)相位滯后的高頻衰減特性，以降低系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率，從而使已校正系統(tǒng)獲得足夠的相角裕度。用于對系統(tǒng)響應(yīng)速度要求不高而抑制噪聲電平性能要求較高的場合。若待校正系統(tǒng)已具備滿意的動態(tài)特性，而穩(wěn)態(tài)性能不滿足指標(biāo)要求，也可采用串聯(lián)滯后校正來提高穩(wěn)態(tài)精度，同時保持其動態(tài)特性基本不變?！皽?超前”校正“滯后-超前”校正包含PI和PD這兩種控制，其對系統(tǒng)性能的影響是上述兩種控制對系統(tǒng)作用的綜合，這種校正方法兼有滯后校正和超前校正的優(yōu)點，因此可以取長補短，進行合理的應(yīng)用以期取得更好的校正效果?！皽?超前”校正裝置一般用在校正響應(yīng)慢且穩(wěn)態(tài)精度低的系統(tǒng)中。即已校正系統(tǒng)響應(yīng)速度快，超調(diào)量小，抑制高頻噪聲的性能也較好。當(dāng)未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且對校正后的系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能（響應(yīng)速度、相位裕度和穩(wěn)態(tài)誤差）均有較高要求時，顯然僅采用上述超前校正或滯后校正，均難以達到預(yù)期的校正效果。此時宜采用串聯(lián)“滯后-超前”校正?！皽?超前”校正利用超前部分增加系統(tǒng)相角裕度，PD部分發(fā)生在中頻段，以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。利用滯后部分改善穩(wěn)態(tài)性能，應(yīng)使PI部分發(fā)生在低頻段，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。因此相位“滯后-超前”校正器（PID）是PI和PD校正器組成，既有“滯后”又有“超前”校正作用的校正器，兩者分工明確，相輔相成。如圖12-4-1所示。“滯后-超前”校正器的傳遞函數(shù)為：（12.4.1）

式中，，，a=1/b、b＞1、a＜1。分別為超前和滯后校正器傳遞函數(shù)。

圖12-4-1無源“滯后-超前”網(wǎng)絡(luò)“滯后-超前”校正器Bode圖，如圖12-4-2所示。“滯后-超前”校正后的幅頻特性曲線，如圖12-4-3所示。在校正后的系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率Wp2處，“滯后-超前”網(wǎng)絡(luò)的最大幅值衰減量：（12.4.2）圖12-4-2“滯后-超前”校正器Bode圖圖12-4-3“滯后-超前”校正前后的幅頻特性曲線12.4.2“滯后-超前”校正器的設(shè)計“滯后-超前”校正器的Bode圖設(shè)計方法和步驟，是先計算滯后校正器的參數(shù)，然后計算超前校正器的參數(shù)，最后繪制原系統(tǒng)與“滯后-超前”校正器串聯(lián)后的開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖，以及構(gòu)成單位負反饋控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。串聯(lián)“滯后-超前”校正的設(shè)計步驟如下：（1）根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，確定開環(huán)增益K；（2）繪制未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，求出未校正系統(tǒng)的截止頻率Wp1、相位裕度Pm1及幅值裕度Gm1。（3）根據(jù)系統(tǒng)對相角裕度要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率Wb。（4）對于“滯后-超前”校正裝置而言，要將滯后效應(yīng)設(shè)置在低頻段，超前效應(yīng)設(shè)置在中頻段，以發(fā)揮滯后校正和超前校正的優(yōu)勢，從而全面提高系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度。使中頻段斜率為-20dB/dec，確定Wa。

通常，在未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性上，選擇斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率Wa。這種選法可以降低已校正系統(tǒng)的階次，且可保證中頻區(qū)斜率為-20dB/dec，并占據(jù)較寬的頻帶。（5）根據(jù)響應(yīng)速度要求，選擇校正后系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率Wp2。（6）根據(jù)等式求出衰減因子1/a。（7）校驗已校正系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)。例12-4-1“滯后-超前”校正器的Bode圖設(shè)計已知單位負反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為：設(shè)計系統(tǒng)的“滯后-超前”校正器，使之滿足：（1）在斜坡信號作用下，v0=1，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kv=10s-1；（2）校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：50°～60°。（3）校正后系統(tǒng)的剪切頻率Wp2≥1rad/s。解：1.求出系統(tǒng)開環(huán)增益、檢驗原系統(tǒng)性能指標(biāo)（1）給出受控對象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量或者剪切頻率。根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益K。由速度誤差系數(shù)Kv定義并有：所以，原系統(tǒng)開環(huán)增益K=10。則被控對象的傳遞函數(shù)為（2）根據(jù)求得的開環(huán)增益K，畫出系統(tǒng)校正前的Bode圖和階躍響應(yīng)曲線，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm1、相位裕量Pm1、剪切頻率Wp1。檢驗這些性能指標(biāo)是否符合要求。程序見課本。

程序運行后，得到系統(tǒng)校正前的Bode圖，如圖12-4-3所示。計算結(jié)果為：Gm1=0.2917，Pm1=-29.5911，Wg1=1.4434，Wp1=2.4922校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm1=0.2917（即-10.7dB）、相位裕量Pm1=-29.59°、剪切頻率Wp1=2.49rad/s。系統(tǒng)的增益裕量Gm1和相位裕量Pm1均為負值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，階躍響應(yīng)曲線也是發(fā)散的。閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖12-4-4所示。圖12-4-3校正前的Bode圖圖12-4-4閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線在bode圖上，根據(jù)系統(tǒng)期望相位裕量Pm2的要求值求出期望剪切頻率Wp2。求剪切頻率可采用MATLAB中的插值函數(shù)spline()來計算。其MATLAB程序如下：Pm2=55;phim=-180+Pm2+5;[mu,phi,w]=bode(H);Wp2=spline(phi,w,phim);Wp2=2*Wp2;T1=10/Wp2由于超前網(wǎng)絡(luò)校正使系統(tǒng)的截止頻率增大，滯后校正使系統(tǒng)的截止頻率減小。由滯后網(wǎng)絡(luò)求出的剪切頻率往往偏小，不能滿足超前網(wǎng)絡(luò)的要求。因此剪切頻率Wp2是一個可調(diào)整參數(shù)，在許多實例中往往采用湊試法，調(diào)節(jié)Wp2的值，直到滿足系統(tǒng)要求的性能指標(biāo)為止。在此例中Wp2的值增加1.6～2倍，可以同時滿足超前和滯后環(huán)節(jié)的要求。（3）求b和滯后校正器傳遞函數(shù)在原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正后再串聯(lián)超前校正。若原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正器后的幅頻分貝值為G1（dB），那么在經(jīng)過“滯后-超前”校正后的期望剪切頻率Wp2處，應(yīng)該滿足（12.2.7）式：即由此可求出滯后校正器傳遞函數(shù)，其MATLAB程序如下：Hw=K/(j*Wp2*(0.8*j*Wp2+1)*(0.6*j*Wp2+1));b=abs(Hw)G1=tf([T11],[b*T11])3.求超前校正器的傳遞函數(shù)超前校正器傳遞函數(shù)參數(shù)的確定。超前校正器傳遞函數(shù)為，a＜1在原系統(tǒng)被串聯(lián)滯后校正后的傳遞函數(shù)上按照超前校正器的設(shè)計步驟，求出超前校正器傳遞函數(shù)，即先求出被串聯(lián)滯后校正后傳遞函數(shù)的幅頻關(guān)系，根據(jù)（12.3.12）式采用MATLAB中的插值函數(shù)spline()來計算Adb(w)在自己最大值10lga發(fā)生處的值w，即wm。利用關(guān)系求超前校正器傳遞函數(shù)中的T2，MATLAB程序如下：Gc1=H*G1;[mu,pu,w]=bode(Gc1);[mag,phase,w]=bode(Gc1);a=1/b;Adb=20*log10(mag);Adbmax=10*log10(a);Wm=spline(Adb,w,Adbmax);T2=1/(Wm*sqrt(a))G2=tf([T21],[a*T21])4.求“滯后-超前”校正器的傳遞函數(shù)根據(jù)求出的“滯后”和“超前”校正器的傳遞函數(shù)，即可求出“滯后-超前”校正器的傳遞函數(shù)，其完整的MATLAB程序參閱課本程序計算結(jié)果為：Gm0=4.0542，Pm0=50.2706，wg0=3.5011，wp0=1.4995。即校正后系統(tǒng)的增益裕量Gm0=12.3146dB、相位裕量Pm0=51.4825°、剪切頻率wp0=1.4976rad/s，均滿足題目設(shè)計要求，系統(tǒng)在20s后趨于穩(wěn)定?！皽蟆毙Ｕ鞯膫鬟f函數(shù)為，“超前”校正器的傳遞函數(shù)為，“滯后-超前”校正器的傳遞函數(shù)為：繪制出經(jīng)“滯后-超前”校正后的Bode圖，如圖12-4-5所示。單位階躍響應(yīng)曲線，如圖12-4-6所示?！皽?超前”校正器的Bode圖，如圖12-4-7所示。圖12-4-5“滯后-超前”校正后的Bode圖圖12-4-6單位階躍響應(yīng)曲線圖12-4-7“滯后-超前”校正器的Bode圖12.5控制系統(tǒng)的基本環(huán)節(jié)無源校正網(wǎng)絡(luò)常因負載效應(yīng)的影響而削弱了校正的作用，或使網(wǎng)絡(luò)參數(shù)難以選擇，故目前在實際控制系統(tǒng)中，多采用以運算放大器組成的有源校正部件組成控制環(huán)節(jié)。最常見的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例（P）、積分（I）、微分（D）控制，比例積分（PI）、比例微分（PD）和PID控制器。12.5.1比例環(huán)節(jié)比例（P：Proportion）控制是一種最簡單的控制方式。其控制器的輸出與輸入誤差信號成比例關(guān)系，即輸入誤差信號乘以一個固定的比例系數(shù)（可以是正或負）就是輸出的控制信號。當(dāng)系統(tǒng)中僅有比例控制時系統(tǒng)輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差（Steady-stateerror）。比例控制環(huán)節(jié)實際就是一個線性放大器，比例系數(shù)就是放大器的放大倍數(shù)，其原理圖和方框圖如圖12-5-1所示。系統(tǒng)函數(shù)為：（12.5.1）當(dāng)反相輸入單位階躍信號，即=-1時，則，所以輸出響應(yīng)為：。即輸出為K倍的階躍信號。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是一個常數(shù)K，特點是輸出與輸入成比例K，無失真和時間延遲，二者形狀相同。對于一個單回路調(diào)節(jié)系統(tǒng)，在單純的比例環(huán)節(jié)作用下，被調(diào)量變化多少，輸出的調(diào)節(jié)變化量就是被調(diào)量變化量的K倍，輸出的波形與被調(diào)量的波形完全相似。由于K可正可負，其調(diào)節(jié)作用就有正調(diào)節(jié)或負調(diào)節(jié)：（1）對于正作用的調(diào)節(jié)系統(tǒng)（K>0），頂點、谷底均發(fā)生在同一時刻。被調(diào)量的曲線上升，輸出曲線就上升；被調(diào)量曲線下降，輸出曲線就下降，兩者趨勢完全一樣。（2）對于負作用的調(diào)節(jié)系統(tǒng)（K<0），被調(diào)量的頂點就是輸出的谷底，被調(diào)量的谷底就是輸出的頂點。被調(diào)量曲線和輸出曲線相對應(yīng)，波動周期完全一致，波動方向相反。如圖12-5-2所示。（3）比例環(huán)節(jié)的作用是放大誤差的幅值，只要被調(diào)量變化，輸出就隨著變化；如果被調(diào)量不變化，不管靜態(tài)偏差有多大，輸出也不會變化。具有比例控制規(guī)律的，或者說具有比例環(huán)節(jié)的控制器稱為比例控制器，簡稱為P控制器，K是控制器的增益。在串聯(lián)校正系統(tǒng)中，增大K的值，可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度。但會降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至可以造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此，在系統(tǒng)校正中一般很少單獨使用P控制。

圖12-5-1比例環(huán)節(jié)原理圖和方框圖圖12-5-2比例環(huán)節(jié)輸入輸出波形12.5.2慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的特點是，當(dāng)輸入信號ui(t)作階躍變化時，輸出uo(t)不能立刻達到穩(wěn)態(tài)值，瞬態(tài)輸出以指數(shù)規(guī)律變化。慣性環(huán)節(jié)的原理圖如圖12-5-3所示。其傳遞函數(shù)為：（12.5.2）式中，K=R2/R1，T=R2*C框圖如圖12-5-4（a）所示。當(dāng)反相輸入單位階躍信號，即時，，則，所以輸出響應(yīng)為：。其輸出波形如圖12-5-4(b)所示。例12-5-1慣性環(huán)節(jié)的一階單位階躍響應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)求單位階躍響應(yīng)。解：>>num=[0,1];>>den=[0.5,1];>>step(num,den)一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)的輸出波形如圖12-5-5所示。圖12-5-3慣性環(huán)節(jié)原理圖圖12-5-4慣性環(huán)節(jié)框圖和輸出波形圖12-5-5一階慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)12.5.3積分環(huán)節(jié)與比例積分環(huán)節(jié)1.積分環(huán)節(jié)在積分（I：integration）控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號的積分成正比關(guān)系。積分環(huán)節(jié)原理圖如圖12-5-6（a）所示。當(dāng)輸入為單位階躍信號時，輸出波形為輸入對時間的積分，輸出隨時間呈直線增長。其傳遞函數(shù)為：

，T=R1*C（12.5.3）當(dāng)輸入為單位階躍信號，輸出響應(yīng)為。在系統(tǒng)校正中一般很少單獨使用積分控制。2.比例積分（PI）環(huán)節(jié)對一個自動控制系統(tǒng)，在進入穩(wěn)態(tài)后如果存在穩(wěn)態(tài)誤差，則稱這個控制系統(tǒng)是有穩(wěn)態(tài)誤差的或簡稱有差系統(tǒng)。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入“積分項”。積分項對誤差取決于時間的積分，隨著時間的增加，積分項會增大。這樣，即便誤差很小，積分項也會隨著時間的增加而加大，它推動控制器的輸出增大使穩(wěn)態(tài)誤差進一步減小，直到等于零。比例積分（PI）控制，即“比例（P）+積分（I）”控制器，可以使系統(tǒng)在進入穩(wěn)態(tài)后無穩(wěn)態(tài)誤差。比例積分環(huán)節(jié)原理圖如圖12-5-7（a）所示。傳遞函數(shù)為：其中，K=R2/R1，T=R2*C（12.5.4）當(dāng)輸入為單位階躍信號時，