第7章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析

本章將研究連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析（激勵(lì)與響應(yīng)）和在頻域（包括復(fù)頻域即s域）中的關(guān)系及其應(yīng)用。時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。頻域、復(fù)頻域分析法在線性連續(xù)系統(tǒng)分析中也具有獨(dú)特用途和優(yōu)勢；系統(tǒng)的頻域分析主要包括求表征系統(tǒng)頻率特性的頻率響應(yīng)特征量和在頻域求解系統(tǒng)輸出兩方面內(nèi)容。本章介紹的連續(xù)系統(tǒng)分析對于研究系統(tǒng)性質(zhì)、系統(tǒng)對信號的傳輸、處理能力和系統(tǒng)設(shè)計(jì)有重要意義。7.1信號通過線性系統(tǒng)

系統(tǒng)可以看作是一個(gè)信號處理器，當(dāng)信號通過線性系統(tǒng)時(shí)，會產(chǎn)生兩種結(jié)果：輸出信號失真和不失真。系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是波形變換。因此對系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：無失真?zhèn)鬏?；利用失真進(jìn)行波形變換（如濾波）。7.1.1信號作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)1.基本信號作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：。

在頻域分析中，信號的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=-∞時(shí)總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號時(shí)，其響應(yīng)是信號與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積：（7.1.1）

而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j

)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。即：（7.1.2）反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位，代表了系統(tǒng)對信號的處理結(jié)果。2.一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)同樣，一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)輸出的響應(yīng)在時(shí)域是該信號與系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)的卷積，因此在頻域是信號的頻譜函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)的頻譜函數(shù)（沖激響應(yīng)）的乘積，LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系如圖7-1-1所示。7.1.2無失真?zhèn)鬏斁€性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面的因素造成：幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時(shí)間軸上的相對位置產(chǎn)生變化，但不產(chǎn)生新的頻率成分。而非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的非線性失真將產(chǎn)生新的頻率成分。時(shí)域無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件：無失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出響應(yīng)的波形與輸入激勵(lì)的波形完全相同，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后可以不同，而沒有波形上的變化，如圖7-1-2所示。即：（7.1.3）頻域無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件：對上述公式取傅里葉變換，并利用時(shí)移特性，可得其頻譜關(guān)系為：（7.1.4）所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：，即頻域無失真?zhèn)鬏敆l件為：

（7.1.5）系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)H(j

)的要求是：要求幅度是與頻率無關(guān)的常數(shù)K，系統(tǒng)的通頻帶為無限寬。相位特性與成正比，是一條過原點(diǎn)的負(fù)斜率直線。如圖7-1-3所示。不失真的線性系統(tǒng)其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)。即，對h(t)的要求：h(t)=K

(t–t0)

上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號時(shí)，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。引出系統(tǒng)的重要意義在于研究信號傳輸?shù)幕咎匦?，是一個(gè)加權(quán)函數(shù)，對各頻率分量進(jìn)行加權(quán)：信號的幅度由加權(quán)，信號的相位由修正。7.1.3理想低通濾波器

無失真?zhèn)鬏斠髠鬏斝盘枙r(shí)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。具有如圖7-1-4所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器，

c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：（7.1.6）它可以看作是寬度為2的門函數(shù)：（7.1.7）（1）沖激響應(yīng)：，根據(jù)傅立葉變換得：（7.1.8）這是一個(gè)非因果函數(shù)，可見理想低通濾波器實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。（2）階躍響應(yīng)經(jīng)推導(dǎo)，可得（7.1.9）

波形如圖7-1-5所示，可見理想低通濾波器的階躍響應(yīng)不像階躍信號那樣陡直上升，而且在-∞<t<0區(qū)域就已經(jīng)出現(xiàn)震蕩，這是采用理想化頻率響應(yīng)所致。稱為正弦積分，特點(diǎn)是有明顯失真，只要

c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。雖然理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)，但是在實(shí)際中設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸特性接近于理想特性的濾波器電路卻并不難。7.2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與微分方程

7.2連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)LTI系統(tǒng)是最常見、最有用的一種系統(tǒng)，描述該系統(tǒng)的輸入、輸出特性使用常系數(shù)線性微分方程。因此LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析歸結(jié)為：建立并求解線性微分方程。

由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱為時(shí)域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。系統(tǒng)分析的過程一般分為三個(gè)階段：首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即LTI系統(tǒng)的微分方程，在電路分析中，系統(tǒng)微分方程的建立依據(jù)是構(gòu)成系統(tǒng)的各部件的特性以及各部件之間的連接方式。具體到電路中，微分方程的列寫依據(jù)是歐姆定律（VAR）、基爾霍夫定律（KCL和KVL）以及電子元器件的U-I關(guān)系。然后，求解微分方程，得出輸出響應(yīng)的變化規(guī)律。最后對其數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行物理解釋，反映實(shí)際應(yīng)用的結(jié)果。

7.2.2微分方程的經(jīng)典解與連續(xù)系統(tǒng)的完全響應(yīng)由（7.2.1）式可知，n階常系數(shù)線性微分方程為：

求解微分方程的一般步驟是：先求出齊次解、再求特解，微分方程的經(jīng)典解：完全解（代表系統(tǒng)的完全響應(yīng)）=齊次解+特解。1.齊次解由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式

齊次解的函數(shù)形式僅取決于系統(tǒng)本身的參數(shù)（特征值），齊次解代表零輸入響應(yīng)、自然響應(yīng)或固有響應(yīng)。并注意齊次解的重根、復(fù)根情況處理方法。（1）特征方程的根為n個(gè)單根。當(dāng)特征方程的根（特征根）為n個(gè)單根（不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根），，…

，時(shí)，則通解表達(dá)式為：

（2）特征方程的根為n重根。當(dāng)特征根為n個(gè)重根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根)==…=時(shí)，通解表達(dá)式為：

求的基本步驟如下：求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達(dá)式。由于激勵(lì)為零，所以零輸入的初始值：，由此確定出積分常數(shù)C1，C2，…，Cn將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入通解表達(dá)式，即得。2.特解

特解代表零狀態(tài)響應(yīng)、受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。特解的函數(shù)形式完全由激勵(lì)信號決定。求特解：（1）根據(jù)微分方程右端輸入信號的函數(shù)形式有對應(yīng)特解的形式，用待定系數(shù)法由初始值定出齊次解中的待定常數(shù)Ci。（2）設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式。在輸入信號為直流和正弦信號時(shí)，特解就是穩(wěn)態(tài)解。（3）用初始值確定積分常數(shù)。將上述代入原方程，比較系數(shù)定出特解，一般情況下，n階方程有n個(gè)常數(shù)，可用個(gè)n初始值確定。幾種常見的典型自由項(xiàng)激勵(lì)函數(shù)和相應(yīng)的特解，如表7-1所示。3.完全解與系統(tǒng)的完全響應(yīng)完全解代表系統(tǒng)的完全響應(yīng)，系統(tǒng)的完全響應(yīng)有以下類型：（1）系統(tǒng)的響應(yīng)由自由響應(yīng)（Natural）和強(qiáng)迫響應(yīng)（forced）組成。

完全響應(yīng)=自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)

自由響應(yīng)也叫固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定的，與外加激勵(lì)形式無關(guān)。對應(yīng)于微分方程的齊次解。強(qiáng)迫響應(yīng)的形式取決于外加激勵(lì)，對應(yīng)于微分方程的特解。即（2）系統(tǒng)的響應(yīng)由暫態(tài)響應(yīng)（Transient）和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（Steady-state）組成。

完全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)是指激勵(lì)信號接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。即（3）系統(tǒng)的響應(yīng)由零輸入（Zero-input）響應(yīng)和零狀態(tài)(Zero-state)響應(yīng)組成。即

完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

4.關(guān)于0-和0+初始值

（1）0-狀態(tài)稱為零輸入時(shí)的初始狀態(tài)。即初始值是由系統(tǒng)的儲能產(chǎn)生的。在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。（2）0+狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。即初始值不僅有系統(tǒng)的儲能，還受激勵(lì)的影響。若輸入是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時(shí)用t=0+時(shí)刻的初始值，即(j=0,1,2…，n-1)。而包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。

0+狀態(tài)的確定方法如下：已知0-狀態(tài)求0+狀態(tài)的值，可用沖激函數(shù)匹配法。求0+狀態(tài)的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出。（3）從0-狀態(tài)到0+狀態(tài)的躍變。通常，需要從已知的初始狀態(tài)設(shè)法求得。當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的初始值從0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含

(t)及其各階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)微分方程右端含有沖激函數(shù)

(t)及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，響應(yīng)y(t)在t=0處將發(fā)生0-狀態(tài)到0+狀態(tài)的躍變。否則不會躍變。（4）各種響應(yīng)用初始值確定積分常數(shù)：在經(jīng)典法求全響應(yīng)的積分常數(shù)時(shí)，用的是0+狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)時(shí)，用的是0-狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，用的是0+狀態(tài)初始值，這時(shí)的零狀態(tài)是指0-狀態(tài)為零。7.2.3連續(xù)系統(tǒng)的零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)

用連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析法，求解LTI系統(tǒng)的微分方程時(shí)，需要求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，才能得出完全響應(yīng)。

1．零輸入響應(yīng)（ZIR）沒有外加激勵(lì)信號的作用，完全只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)，是零輸入響應(yīng)（ZIR）。對于一階系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)為求常系數(shù)線性微分方程：其中：（7.2.7）即求解對應(yīng)齊次微分方程的解。2．零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲能的作用，即系統(tǒng)的初始狀態(tài)等于零，只由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號產(chǎn)生的響應(yīng)，是零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）。對于典型的一階系統(tǒng)，由（7.2.4）式，得

即

對上式從0-到t積分，得：由于x(t)在t=0時(shí)刻加入，即，對于因果系統(tǒng)有，所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）為：（7.2.9）典型的一階系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）為輸入信號x(t)與g(t)=e-bt

的卷積：（7.2.10）因此，可以用MATLAB中的卷積函數(shù)conv()來實(shí)現(xiàn)。

7.2.4LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與impulse()函數(shù)

在LTI系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

在MATLAB中，求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)，可以應(yīng)用控制系統(tǒng)工具箱提供的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)impulse()，調(diào)用方式為：（1）[y,t]=impulse(sys)、[y,t]=impulse(b,a)：求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)，返回單位沖激響應(yīng)向量y和時(shí)間向量t，sys是系統(tǒng)函數(shù)，也可以使用分母和分子系數(shù)向量b、a。

（2）y=impulse(sys,t)：返回單位沖激響應(yīng)向量y，sys是系統(tǒng)函數(shù)，t是時(shí)間向量。（3）當(dāng)使用不帶輸出參數(shù)的調(diào)用時(shí)，將直接在屏幕上繪制單位沖激響應(yīng)曲線，可以在一個(gè)圖形中繪制多個(gè)單位沖激響應(yīng)曲線：impulse(sys1,sys2,...,sysN)impulse(sys1,sys2,...,sysN,t)（4）也可以為每個(gè)曲線指定線型、顏色等屬性：impulse(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN')7.2.5連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與step()函數(shù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的階躍響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng)，定義如下：

LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，以單位階躍信號激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，以符號表示。表達(dá)式為：g(t)=T[,{0}]

一般情況，若一階系統(tǒng)的微分方程形式為：則單位階躍響應(yīng)為：

使用step()函數(shù)求LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。step()函數(shù)調(diào)用語法如下：

1.帶輸出參數(shù)調(diào)用當(dāng)使用帶輸出參數(shù)調(diào)用該函數(shù)時(shí)，輸出響應(yīng)值，而不繪制響應(yīng)曲線。其語法如下：（1）y=step(sys,t)：返回單位階躍響應(yīng)向量y，sys是系統(tǒng)函數(shù)，t是仿真的時(shí)間范圍向量，一般可以由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生出來。該函數(shù)返回值y為系統(tǒng)在仿真時(shí)刻各個(gè)輸出所組成的矩陣。y=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)，t為選定的仿真時(shí)間向量。（2）[y,t]=step(sys)：返回單位階躍響應(yīng)向量y和時(shí)間向量t，sys是系統(tǒng)函數(shù)，自動選擇仿真的時(shí)間范圍。y=step(num,den)：給定num,den，求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)并作圖，時(shí)間向量t的范圍自動設(shè)定。其中，num和den對應(yīng)TF的分子和分母系數(shù)向量，即sys=tf(num,den)。2.無輸出參數(shù)的調(diào)用如果不需要響應(yīng)值，而只想繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，可調(diào)用無輸出參數(shù)的格式。>>sysH=tf([02],[12]);>>step(sysH)7.3連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)7.3.1連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的定義在零狀態(tài)條件下，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換與系統(tǒng)輸入的單邊拉普拉斯變換之比為：（7.3.1）一般稱H(s)為連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，也稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，是連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域描述，表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。由于系統(tǒng)函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的輸入無關(guān)，所以連續(xù)信號的系統(tǒng)函數(shù)，在系統(tǒng)分析中具有重要意義。（7.3.2）當(dāng)輸入信號是單位沖激信號時(shí)，有即，沖激響應(yīng)與轉(zhuǎn)移函數(shù)間的關(guān)系如下：系統(tǒng)在單位沖激的激勵(lì)下，其輸出就等于系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的拉普拉斯變換，即為連續(xù)系統(tǒng)s域的系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一對s變換，即（7.3.3）系統(tǒng)函數(shù)H(s)只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)形式無關(guān)。對于給定的系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)變量的不同，系統(tǒng)函數(shù)所代表的物理意義也不同：如電壓增益、電流增益、轉(zhuǎn)移阻抗等。系統(tǒng)函數(shù)一般以多項(xiàng)式形式出現(xiàn)：（7.3.4）、分別為分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)。7.3.2tf()函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)

使用tf()函數(shù)可以求連續(xù)或離散系統(tǒng)函數(shù)。

1.使用tf()函數(shù)獲得連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

LTI系統(tǒng)的模型sys（系統(tǒng)函數(shù)）可使用tf()函數(shù)獲得。tf()函數(shù)的算法是將MATLAB多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為零、極點(diǎn)和增益形式，然后再轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間求出系統(tǒng)函數(shù)。tf()函數(shù)的調(diào)用方式為：（1）tf：用于生成實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)形式的系統(tǒng)函數(shù)模型（TF對象），或把狀態(tài)空間或零、極點(diǎn)形式轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)函數(shù)模型。（2）sys=tf(b,a)、sys=tf(num,den)：num代表連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)的分子（numerator）多項(xiàng)式系數(shù)，den代表系統(tǒng)函數(shù)的分母（denominator）多項(xiàng)式系數(shù)。b、a分別是微分方程右端（輸出）和左端（輸入）的系數(shù)向量。TF對象存儲在輸出參數(shù)sys中。對于SISO系統(tǒng)，num、den是s的降冪多項(xiàng)式，其長度不一定相同。對于MIMO系統(tǒng)，應(yīng)分別為每一個(gè)SISO指定分子、分母系數(shù)。

2.使用tf()函數(shù)獲得s或z的有理表達(dá)式使用tf()函數(shù)可獲得實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值的s或z的有理表達(dá)式。語法如下：（1）s=tf('s')：指定以Laplace變量s表達(dá)的TF模型。例如：>>s=tf('s');>>H=s/(s^2+2*s+10)Transferfunction:s--------------s^2+2s+10（2）z=tf('z',Ts)：指定以離散時(shí)間變量z表達(dá)的TF模型，Ts是采樣時(shí)間。7.3.3lsim()函數(shù)與微分方程的零狀態(tài)解MATLAB中求解零初始條件微分方程數(shù)值解的函數(shù)是lsim()，gensig()函數(shù)產(chǎn)生測試信號，tf()函數(shù)獲得系統(tǒng)模型。

1.gensig()函數(shù)gensig()函數(shù)為lsim()函數(shù)產(chǎn)生測試信號。其用法如下：（1）[u,t]=gensig(type,tau)：生成由type指定類型的標(biāo)量信號u，t為采樣時(shí)間向量。tau為周期（以秒為單位）。type可以使用以下類型的信號：'sin'：正弦波。'square'：方波。'pulse'：周期性脈沖。（2）[u,t]=gensig(type,tau,Tf,Ts)：Tf指定時(shí)間區(qū)間，Ts指定采樣時(shí)間向量t的時(shí)間間隔。2.lsim()函數(shù)lsim()函數(shù)仿真LTI模型的零狀態(tài)響應(yīng)。其用法如下：（1）lsim(sys,u,t)：不帶輸出參數(shù)，可模擬對任意輸入的連續(xù)或離散線性系統(tǒng)對時(shí)間的響應(yīng)，并在屏幕上繪制響應(yīng)曲線。（2）[y,t]=lsim(sys,u,t)：產(chǎn)生LTI模型sys的時(shí)間響應(yīng)。

u表示系統(tǒng)輸入信號向量，可為gensig()函數(shù)生成的測試信號。t表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量，為連續(xù)信號指定采樣時(shí)間和規(guī)則的采樣間隔：t=0:dt:Tfinal。系統(tǒng)模型sys可以是連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)、SISO（單輸入單輸出）或MIMO（多輸入多輸出）系統(tǒng)，sys可表示為微分方程、差分方程、狀態(tài)方程等。如果不帶等號左邊的輸出參數(shù)，則在屏幕上繪制響應(yīng)曲線。（5）lsim(sys)：打開線性仿真工具的圖形界面（LinearSimulationToolGUI）進(jìn)行仿真。例7-3-3求圖7-2-1所示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：在例7-2-1中已求出系統(tǒng)函數(shù)為：，即b=[02]，a=[12]。用tf()函數(shù)和lsim()函數(shù)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。程序如下：>>t=0:0.01:3;>>sysH=tf([02],[12])>>x=heaviside(t);>>lsim(sysH,x,t)Transferfunction:2-----s+2繪制出零狀態(tài)響應(yīng)曲線與圖7-2-3相同。7.4連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法LTI系統(tǒng)的頻域分析的內(nèi)容主要包括求出表征系統(tǒng)頻率特性的頻率響應(yīng)特征量和在頻域求解信號通過系統(tǒng)的輸出。利用系統(tǒng)頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的方法，稱為頻域分析法或傅立葉變換法。7.4.1頻率響應(yīng)H(j

)與頻域分析法的定義頻率響應(yīng)H(j

)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j

)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j

)之比，即，（7.4.1）頻率響應(yīng)H(j

)是一個(gè)復(fù)函數(shù)，

H(j

)

是

的偶函數(shù)，θ(

)是

的奇函數(shù)。其模

H(j

)

稱為幅度響應(yīng)、幅頻響應(yīng)（或幅頻特性）；其相角θ(

)稱為相位響應(yīng)、相頻響應(yīng)（或相頻特性）。它反映了輸入序列的頻譜經(jīng)系統(tǒng)后所發(fā)生的變化規(guī)律。從幅頻曲線上可直觀看到各頻率分量的幅度變化情況，從相頻曲線上可直觀看到各頻率分量的相移情況。根據(jù)頻響曲線分析系統(tǒng)對信號頻譜的影響，概念清楚、簡單直觀。利用系統(tǒng)頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的方法，稱為頻域分析法或傅立葉變換法。7.4.2連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的方法頻率響應(yīng)一般有以下的求法：1.H(j

)=F[h(t)]，直接對沖激響應(yīng)進(jìn)行傅立葉變換。2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)，從輸入激勵(lì)、輸出響應(yīng)求出轉(zhuǎn)移函數(shù)。由微分方程求響應(yīng)，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。求出頻率響應(yīng)函數(shù)即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。例7-4-1由微分方程求頻率響應(yīng)。某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)，求時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換，得：j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)則由于←→，故有取傅立葉變換得：取傅立葉逆變換得：傅里葉分析法從頻譜改變的觀點(diǎn)說明激勵(lì)與響應(yīng)波形的差異，可以把系統(tǒng)看作是一個(gè)信號處理器，系統(tǒng)對信號的加權(quán)作用改變了信號的頻譜，物理概念清楚。引出重要意義在于研究信號傳輸?shù)幕咎匦?，簡述濾波器的基本概念，并理解頻響特性的物理意義，這些理論內(nèi)容在信號傳輸和濾波器設(shè)計(jì)等實(shí)際問題中具有十分重要的指導(dǎo)意義。但用傅里葉分析法求解過程煩瑣，不如拉氏變換簡單、容易。7.4.3低通濾波電路的幅頻特性

濾波器是電子線路中最常見的電路之一，其功能就是允許某一部分頻率的信號順利通過，而另外一部分頻率的信號則受到較大的抑制。在模擬電路中，常用R、L、C等元器件組成各種濾波電路，用于連續(xù)信號的濾波或選頻。在信號的解調(diào)或?qū)Σ蓸有盘柕幕謴?fù)中都要使用低通濾波器，以濾除調(diào)制波或采樣信號中的高頻成分。例7-4-3低通濾波電路的幅頻特性如圖7-4-3所示，由一個(gè)電阻和一個(gè)電容組成的一個(gè)最簡單、最基本的低通濾波電路，根據(jù)例7-4-2可知，輸出電壓V0與輸入電壓Vi的電壓比（即幅度增益gam）為：

其中，w

=2pf，Vi是頻率為f的正弦波輸入電壓。電阻R=100kΩ，電容C=1μF，RC=0.1。畫出這個(gè)濾波器振幅與頻率的關(guān)系圖。解：振幅使用semilogy命令繪制對數(shù)標(biāo)度頻率響應(yīng)。相位的取值范圍小，可以使用線性標(biāo)度，用semilogx來畫相位響應(yīng)圖。R=100000;C=1.0E-6;%10kohms,1uFf=1:100;w=2*pi*f;res=1./(1+j*w*R*C);gam=abs(res);phase=angle(res);subplot(2,1,1);semilogy(f,gam);title('幅度響應(yīng)');xlabel('(Hz)');ylabel('AmplitudeRatio');gridon;subplot(2,1,2);semilogx(f,phase);title('相位特性');xlabel('(Hz)');ylabel('Phase(rad)');gridon;得到的結(jié)果如圖7-4-4所示，可見在高頻部分電壓衰減的多。

7.5連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法

在LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析中，拉普拉斯（Laplace）變換是一種非常重要的變換方法，是求解線性常微分方程常用的一種數(shù)學(xué)工具。線性連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析的基本方法，是把系統(tǒng)的輸入信號分解為基本信號est之和，其數(shù)學(xué)描述就是輸入與響應(yīng)的拉普拉斯變換和逆變換。7.5.1常見電路和元器件的復(fù)頻域模型1.電阻元件電阻元件的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型，如圖7-5-1(a)、(b)所示。電阻元件的時(shí)域歐姆定律為：（7.5.1）其拉普拉斯變換，即s域歐姆定律為：（7.5.2）

2.電感元件

圖7-5-1電阻的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型電感元件的時(shí)域模型如圖7-5-2(a)所示，復(fù)頻域的串聯(lián)、并聯(lián)模型如圖7-5-2(b)、(c)所示。電感元件的時(shí)域歐姆定律為：（7.5.3）其拉普拉斯變換，即s域電壓歐姆定律為：（7.5.4）s域電流歐姆定律為：（7.5.5）其中：Ls為復(fù)感抗，1/Ls為復(fù)感納。i(0-)/s為附加內(nèi)電流，Li(0-)為附加內(nèi)電壓。

圖7-5-2電感的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型3.電容元件電容元件的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型，如圖7-5-3(a)、(b)、(c)所示。電容元件的時(shí)域歐姆定律為：

（7.5.6）

其拉普拉斯變換，即s域電流歐姆定律為：（7.5.7）s域電壓歐姆定律為：（7.5.8）其中：1/Cs為復(fù)容抗。v(0-)/s為附加內(nèi)電壓，cv(0-)為附加內(nèi)電流。4.基本運(yùn)算器的時(shí)域和s域模型基本運(yùn)算器包括數(shù)乘器、加法器和積分器，其時(shí)域和s域模型如圖7-5-4所示。7.5.2系統(tǒng)復(fù)頻域模型RLC系統(tǒng)是基本的LTI系統(tǒng)，由線性時(shí)不變電阻、電感、電容和線性受控源、獨(dú)立電源組成的線性時(shí)不變系統(tǒng)。RLC系統(tǒng)復(fù)頻域模型的建立和分析的基礎(chǔ)，是基爾霍夫定律（KCL、KVL）和R、L、C元件電流電壓關(guān)系(VAR)的復(fù)頻域形式。

1.KCL、KVL的復(fù)頻域形式

KCL和KVL的時(shí)域形式分別為：（7.5.9）設(shè)RLC系統(tǒng)電路中支路電流i(t)和支路電壓v(t)的單邊拉普拉斯變換分別為I(s)和V(s)，對上式取單邊拉普拉斯變換，再由線性性質(zhì)，得到（7.5.10）2.RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法若把RLC系統(tǒng)中的激勵(lì)和響應(yīng)都用其象函數(shù)表示，R、L、C元件用其復(fù)頻域的模型表示，就得到系統(tǒng)的復(fù)頻域模型。在復(fù)頻域中，RLC系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系是關(guān)于s的代數(shù)方程。例7-5-1求RLC電路的沖激響應(yīng)。求如圖7-5-5所示電路系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)是一對s變換，因此對H(s)求拉氏逆變換即可求得h(t)，這比在時(shí)域求解微分方程要簡便的多。根據(jù)如圖7-5-4所示電路可得到s域模型如圖7-5-6所示。設(shè)其初始狀態(tài)為0，根據(jù)電路的s域模型，可直寫出電路的系統(tǒng)函數(shù)：由此得到?jīng)_激響應(yīng)為：7.5.3基于MATLAB的電路分析除了求解系統(tǒng)函數(shù)和微分方程外，MATLAB可以很方便的用于電路的一般分析，如進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算、求解向量圖和繪制幅頻特性和相頻特性等。常用的函數(shù)如下：real(A)：求復(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)矩陣A的實(shí)部。imag(A)：求復(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)矩陣A的虛部。conj(A)：求復(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)矩陣A的共軛。abs(A)：求復(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)矩陣A的模，可用于繪制幅頻特性。angle(A)：求復(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)矩陣A的相角，單位為弧度，可用于繪制相頻特性。需要注意MATLAB應(yīng)用弧度計(jì)算三角函數(shù)（sin、cos、tan等）、反三角函數(shù)（asin、acos、atan等），返回參數(shù)單位也是弧度。compass()函數(shù)可繪制向量圖，調(diào)用格式：compass([i1,i2,i3…])，引用參數(shù)為相量構(gòu)成的行向量。例7-5-3已知系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為，繪制幅頻特性和相頻特性。解：求繪制幅頻特性和相頻特性的方法之一，就是將s用jω代替，直接利用Matlab編程實(shí)現(xiàn)。程序如下：w=0:0.01:100;Hs=(j*w+3)./(j*w+1)./((j*w).^2+5*j*w+1);Hs_F=20*log10(abs(Hs));%幅頻特性用dB表示Hs_A=angle(Hs)*180/pi;%將弧度轉(zhuǎn)化為角度表示subplot(2,1,1);semilogx(w,Hs_F)ylabel('|H(jw)|');title('幅頻特性(dB)');subplot(2,1,2);semilogx(w,Hs_A)ylabel('angle(jw)');title('相頻特性(dB)');繪制幅頻特性和相頻特性，如圖7-5-11所示。7.5.4拉普拉斯變換求解微分方程

拉普拉斯變換方法是解線性微分方程的一種簡便方法，利用拉普拉斯變換法可以把微分方程變換成為代數(shù)方程，在利用現(xiàn)成的拉普拉斯變換表，即可方便地查得相應(yīng)的微分方程解。這樣就使方程求解問題大為簡化。與線性常微分方程的經(jīng)典求解方法相比，用拉普拉斯變換法求解電路有如下兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：只需一步運(yùn)算就可以得到微分方程的通解和特解。應(yīng)用拉氏變換法得到的解是線性微分方程的全解，用古典方法求解微分方程全解時(shí)需要利用初始條件來確定積分常數(shù)的值，這一過程比較麻煩，而應(yīng)用拉氏變換就可省去這一步。這是由于電路微分方程變換為代數(shù)方程，電路的初始條件按附加電源處理，不需要專門求解t=0+時(shí)刻的初始值，因?yàn)槌跏紬l件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式之中了，全響應(yīng)可一次求得，可同時(shí)獲得的瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分，不必按強(qiáng)制響應(yīng)和固有響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)求解。而且，如果所有初始條件都為零，那么求取微分方程的拉氏變換式就更為方便，只要簡單地用復(fù)變量s來代替微分方程中的d/dt，s2代替d