第11章系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本章討論LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，適合于一般LTI系統(tǒng)，也適合于LTI控制系統(tǒng)。在控制理論中，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析經(jīng)常使用幾種間接分析方法，如勞斯判據(jù)、赫爾維斯判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等。而在MATLAB中，采用直接方法，使分析非常簡單、方便，本章從時域和頻域兩個方面分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。11.1零極點分布與LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與初始條件無關(guān)，與外來輸入信號（輸入、輸出信號）無關(guān)，只與系統(tǒng)函數(shù)的極點有關(guān)，與零點無關(guān)。任何系統(tǒng)要正確處理輸入信號，都必須以系統(tǒng)穩(wěn)定為先決條件。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷是十分重要的。穩(wěn)定性也是控制系統(tǒng)的重要性能，是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。11.1.1連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件1.連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義和穩(wěn)定的條件連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義如下：對于一個有界信號，若系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。對于一般系統(tǒng)，該定義可概括、等效為下列條件：（1）時域：連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是沖激響應(yīng)絕對可積，即（11.1.1）（2）頻域：系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點都分布在s左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這兩個條件是等價的，只要考察系統(tǒng)的零極點分布，就可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。2.零、極點對系統(tǒng)的影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性由極點在s平面上的分布決定，而零點不影響穩(wěn)定性，極點決定了沖激響應(yīng)的形式，而各系數(shù)則由零、極點共同決定：（1）若極點位于s左半平面，則沖激響應(yīng)的模式為衰減指數(shù)或衰減振蕩，當(dāng)t→∞時，它們趨于零，系統(tǒng)屬于穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）若極點位于s右半平面，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。若位于虛軸（包括原點）的極點為n重極點(n≥2)，系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）若單極點位于虛軸上（包括原點），系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。函數(shù)pzmap(num,den)：繪出零極點在s平面上的位置，以圖形可視方式顯示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例11-1-1放大器電路的穩(wěn)定性分析如圖11-1-1(a)所示為某放大器電路，(b)為其等效電路，電阻R=1W，C=1F。（1）求系統(tǒng)函數(shù)的形式。（2）欲使該電路為一個穩(wěn)定系統(tǒng)，求K的取值范圍。（3）在臨界穩(wěn)定條件下電路的單位沖激響應(yīng)h(t)。（4）頻響特性。解：（1）由s域電路模型，可列方程為：所以，（2）欲使該電路為一個穩(wěn)定系統(tǒng)，則3-K=0，即臨界穩(wěn)定條件為K=3，穩(wěn)定條件為3-K>0,即K取值范圍為K<3（例如K=2）時，求出留數(shù)r、極點p，程序如下：b=[002];a=[111];[r,p,k]=residue(b,a)pzmap(b,a);figure(2);impulse(b,a);r=0-1.1547i0+1.1547ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=[]圖11-1-2極點p位于左半平面可見極點p位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，如圖11-1-2所示。具有一對共軛復(fù)數(shù)根r1,r2。寫成復(fù)函數(shù)的形式：即單位沖激響應(yīng)為按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦波：，如圖11-1-3所示。（3）當(dāng)K=1時，求出留數(shù)r、極點p如下：r=01p=-1-1k=[]系統(tǒng)具有2重極點p=-1，位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。即單位沖激響應(yīng)為指數(shù)衰減波，如圖11-1-4所示。（4）K=3時，，即a=[101]，b=[003]。運用前面的程序運行，可知極點位于虛軸上，單位沖激響應(yīng)為正弦波：r=0-1.5000i0+1.5000ip=0+1.0000i0-1.0000ik=[]

，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。（5）K>3時，例如K=4，則，即a=[1-11]，b=[004]。運用前面的程序運行，可知極點位于右半平面上，具有共軛極點：r=圖11-1-4指數(shù)衰減波0-2.3094i0+2.3094ip=0.5000+0.8660i0.5000-0.8660ik=[]即極點其單位沖激響應(yīng)為：即單位沖激響應(yīng)為按指數(shù)規(guī)律增長的正弦波，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例11-1-2判斷帶反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的條件如圖11-1-5所示的帶反饋的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)函數(shù)為的子系統(tǒng)與反饋常數(shù)k組成一系統(tǒng)。當(dāng)常數(shù)k滿足什么條件時系統(tǒng)穩(wěn)定？解：設(shè)一個中間變量G(s)則，由于于是有：整理得：所以，系統(tǒng)函數(shù)為：可求出極點為：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，極點應(yīng)在左半開平面，則：即當(dāng)，即k>2時，系統(tǒng)穩(wěn)定。圖11-1-5帶反饋的系統(tǒng)11.1.2離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定條件同樣分為時域和頻域：（1）時域：離散系統(tǒng)：穩(wěn)定的充分必要條件是沖激響h(n)應(yīng)絕對可和，即（11.1.2）（2）頻域：當(dāng)H(z)的收斂域包括單位圓時（|z|=1），則系統(tǒng)穩(wěn)定。即，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，則系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為：（11.1.3）系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域是在圓外區(qū)域，并一定包含單位圓，系統(tǒng)函數(shù)的極點不能位于單位圓上。因此因果系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：系統(tǒng)函數(shù)的極點應(yīng)集中在單位圓內(nèi)。對于非因果系統(tǒng)，收斂域并不在圓外區(qū)域，極點不限于單位圓內(nèi)。連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的比較如表11-1所示。注意：不論是在時域或頻域，這兩個條件是等價的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性由極點的分布決定，而零點不影響穩(wěn)定性。只要考察系統(tǒng)的零極點分布，就可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。對于一般系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定性定義可概括、等效為下列時域或頻域條件：對于連續(xù)時間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點全部在s平面左半平面，或者說系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復(fù)根，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于離散時間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點都位于z平面的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例11-1-3判斷因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性

因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，試說明這些系統(tǒng)是否穩(wěn)定?（1）（2）解：（1）將系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，即：

零極點分布圖實現(xiàn)程序如下：>>B=[012];>>A=[8-2-3];>>[z,p,k]=tf2zpk(B,A)>>zplane(B,A)零極點分布如圖11-1-6所示。z=-2p=0.7500-0.5000極點都在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。k=0.1250（2）系統(tǒng)函數(shù)可整理為z的降冪形式：>>B=[8-8-8];>>A=[252];>>[z,p,k]=tf2zpk(B,A)>>zplane(B,A)z=-0.61801.6180p=-2.0000圖11-1-6極點都在單位圓內(nèi)圖11-1-7有一個極點在單位圓外

-0.5000有一個極點(-2)在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，如圖11-1-7所示。k=411.1.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

線性自動控制系統(tǒng)一般是閉環(huán)的反饋系統(tǒng)，比普通的線性系統(tǒng)更復(fù)雜，因此研究線性自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性更有代表意義?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和電源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在這些任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。如果在擾動消失后，系統(tǒng)不能恢復(fù)到原來的平衡工作狀態(tài)（即系統(tǒng)不穩(wěn)定），則系統(tǒng)是無法工作的。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件，也是控制系統(tǒng)的重要性能。因此，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動控制理論的基本任務(wù)之一?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的基本概念：

設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)受擾動后，在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當(dāng)外擾動作用消失后，如果系統(tǒng)經(jīng)過足夠長的時間又能回復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，不能逐漸恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢?，穩(wěn)定性是系統(tǒng)在去掉擾動以后，自身具有的一種恢復(fù)能力，所以是系統(tǒng)的一種固有特性。這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)而與初始條件及外作用無關(guān)。與一般線性系統(tǒng)一樣，線性控制系統(tǒng)同樣分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定性條件和判斷方法也同樣分為時域和頻域。例11-1-4用極點分布圖判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定特性

一個控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖11-1-7所示，利用函數(shù)pzmap(num,den)計算極點分布，試分別確定k=2，k=10時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖11-1-7控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：程序如下。dz=[0,-1,-2];do=poly(dz);k1=[2];[nc1,dc1]=cloop(k1,do);subplot(2,1,1)pzmap(nc1,dc1);title('k=2')k2=[10];[nc2,dc2]=cloop(k2,do);subplot(2,1,2)pzmap(nc2,dc2);title('k=10')該控制系統(tǒng)的極點分布圖，如圖11-1-8所示。k=2時，閉環(huán)極點全部在s平面左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。k=10時，閉環(huán)極點不是全部在s平面左半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。11.1.4最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)是一類最普遍的系統(tǒng)，其重要特征在于：幅頻特性與相頻特性有確定的關(guān)系。因此，在利用對數(shù)頻率特性對最小相位系統(tǒng)進行分析或綜合時，常常只需畫出和利用對數(shù)幅頻特性曲線，而可以以省略相頻特性作圖。若連續(xù)時間系統(tǒng)的全部零、極點都位于s左半平面；或若離散時間系統(tǒng)的全部零、極點都位于z平面單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。11.1.5開環(huán)零、極點對系統(tǒng)的影響對于一般的系統(tǒng)，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性有三大因素：開環(huán)增益、開環(huán)極點、開環(huán)零點。開環(huán)增益的影響上面已經(jīng)討論，開環(huán)零、極點的影響如下：開環(huán)系統(tǒng)增加合適的位于虛軸左側(cè)的開環(huán)零點，既可以增加穩(wěn)定裕度又可以提高快速性。增加開環(huán)系統(tǒng)位于虛軸左側(cè)的極點，會使穩(wěn)定性下降。增加位于虛軸右側(cè)的開環(huán)零點，一般使穩(wěn)定性下降。如果系統(tǒng)具有位于虛軸右側(cè)的零點（不管是固有的還是加入的），就稱之為非最小相角系統(tǒng)。增加位于虛軸右側(cè)的極點，這時從該極點出發(fā)的一支根軌跡全部位于虛軸的右邊，這意味著不管k取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)定，所以增加位于虛軸右側(cè)的極點是不可取的。11.2特征根與時域穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)特征根的正負，這樣要求取系統(tǒng)的根，在一般的求解過程中比較繁瑣，而MATLAB恰恰提供了這方面的便利，MATLAB提供了兩個關(guān)于時域穩(wěn)定性應(yīng)用的函數(shù)roots()和pole()，以及直接求取系統(tǒng)所有零極點的函數(shù)pzmap()。11.2.1特征根與系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.系統(tǒng)穩(wěn)定性定義由上所述，穩(wěn)定性所研究的問題是當(dāng)擾動消失后系統(tǒng)的運動情況，顯然可以用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。如果脈沖響應(yīng)函數(shù)是收斂的，即（11.2.1）系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件根據(jù)穩(wěn)定性定義

考慮到系數(shù)的任意性，必須使上式中的每一項都趨于零，所以應(yīng)有（11.2.5）其中Ai為常值，上式表明，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根li的性質(zhì)。并可得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：（1）系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所有根都具有負的實部，或者說都位于s平面的左半平面。即，，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）如果特征方程有重根，且重根數(shù)為，則在脈沖響應(yīng)函數(shù)中將具有如下分量形式：，，…，，…

（11.2.6）當(dāng)時間趨于無窮時是否收斂到零，仍然取決于重特征根的性質(zhì)。所以上述系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件也完全適用于系統(tǒng)特征方程有重根的情況。（3）如果li為共軛復(fù)根，即，那么在脈沖響應(yīng)函數(shù)中具有下列形式的分量（11.2.7）或?qū)懗桑?1.2.8）由上式可見，只要共軛復(fù)根的實部為負，仍將隨時間t趨于無窮而振蕩收斂到零。3.不穩(wěn)定狀態(tài)（1）一個系統(tǒng)如果處于如下狀態(tài)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定：如果特征方程中有一個正實根，它所對應(yīng)的指數(shù)項將隨時間單調(diào)增長；如果特征方程中有一對實部為正的共軛復(fù)根，它的對應(yīng)項是發(fā)散的周期振蕩。（2）下述兩種情況下系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的：如果特征方程中有一個零根，它所對應(yīng)于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為“隨遇平衡狀態(tài)”；如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為“臨界平衡狀態(tài)”（或“臨界穩(wěn)定狀態(tài)”）。從控制工程的角度認為“臨界穩(wěn)定狀態(tài)”和“隨遇平衡狀態(tài)”也屬于不穩(wěn)定。11.2.2間接判別（工程方法）與勞斯(Routh)判據(jù)綜上所述，特征根與系統(tǒng)的穩(wěn)定性關(guān)系如下：（1）只有當(dāng)系統(tǒng)的所有特征根都具有負實部，或所有閉環(huán)極點均位于s平面的左半平面，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（2）只要有一個特征根為正實部，脈沖響應(yīng)就發(fā)散，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。（3）當(dāng)系統(tǒng)有純虛根時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，脈沖響應(yīng)呈現(xiàn)等幅振蕩。由于系統(tǒng)參數(shù)的變化以及擾動的不可避免，實際上等幅振蕩不可能永遠維持下去，系統(tǒng)很可能會由于某些因素而導(dǎo)致不穩(wěn)定。另外，從工程實踐來看，這類系統(tǒng)也是不能很好工作的，因此臨界穩(wěn)定系統(tǒng)可以歸屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)之列。因此判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否，可歸結(jié)為判別系統(tǒng)閉環(huán)特征根實部的符號：

Re穩(wěn)定

Re不穩(wěn)定

Re臨界穩(wěn)定，亦屬不穩(wěn)定。因此，如果能解出全部特征根，則立即可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。一、二階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：特征方程的各項系數(shù)均為正。對于一階系統(tǒng)，，，只要a0、a1都大于零，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，，其根為：，只有在a0、a1、a2都大于零時，系統(tǒng)才穩(wěn)定（具有負實根或?qū)嵅繛樨摚τ诟唠A系統(tǒng)應(yīng)用勞斯判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。通常對于高階系統(tǒng)，求根本身并不是一件容易的事。但是，根據(jù)上述結(jié)論，系統(tǒng)穩(wěn)定與否，只要能判別其特征根實部的符號，而不必知道每個根的具體數(shù)值。因此，也可不必解出每個根的具體數(shù)值來進行判斷。下面介紹的代數(shù)判據(jù)，就是利用特征方程的各項系數(shù)，直接判斷其特征根是否都具有負實部，或是否都位于s平面的左半平面，以確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法。代數(shù)判據(jù)中，有胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)和勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)，兩種判據(jù)基本類同，故這里只介紹更為常用的勞斯判據(jù)。胡爾維茨判據(jù)：當(dāng)且僅當(dāng)由系統(tǒng)分母多項式構(gòu)成的胡爾維茨矩陣為正定矩陣時，系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯判據(jù)：勞斯表中第一列各值嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定.如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實部根的數(shù)目。設(shè)系統(tǒng)特征方程的一般式為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是ai>1，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，即勞斯表中第一列系數(shù)都大于零。勞斯表中各項系數(shù)如表11-2所示。11.2.3直接求根法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點的函數(shù)pzmap()、roots()和pole()，因此可以直接根據(jù)零極點的分布情況對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)進行判斷在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，可采用直接求根法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型一般表示形式為：（11.2.9）

求特征根判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可使用函數(shù)roots()或使用pole()函數(shù)。（1）函數(shù)roots()：根據(jù)對應(yīng)于特征方程式多項式向量求取系統(tǒng)對應(yīng)的特征根。系統(tǒng)的特征方程為：（11.2.10）然后用函數(shù)roots(A)找出多項式A(s)的根。用法如下：r=roots(A)：返回一個列向量，其元素就是多項式A的根。對于該特征方程，其n個根為：如果，即所有根都具有負的實部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）使用pole(sys)函數(shù)直接求出特征根，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。對于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，特征方程的根全部具有負實部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。11.2.4根軌跡中開環(huán)增益與穩(wěn)定性用根軌跡圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，比僅僅知道一組閉環(huán)極點要深刻得多。（1）當(dāng)開環(huán)增益k從零到無窮大變化取值時（），如果n支根軌跡全部位于虛軸的左邊，不會越過虛軸進入右半s平面，就意味著不管k取任何值閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2）根軌跡只要有一支穿越虛軸進入右半s平面，就說明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定是有條件的，則其交點的k值就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。知道了根軌跡與虛軸交點的k值，就可以確定穩(wěn)定條件，進而確定合適的k值。在第10章中，從圖10-4-3、圖10-4-4所示的根軌跡圖可以看到：軌跡穿越虛軸進入右半s平面的交點處，k=6。則k=6的交點值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益，只要0<k<6閉環(huán)系統(tǒng)一定穩(wěn)定。k=6時，則該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：>>C=[1326];>>r=roots(C)r=-3.00000.0000+1.4142i0.0000-1.4142i一但k值給定，比如k=1.2，3個閉環(huán)極點就是根軌跡上3個特定點?？梢姡壽E清晰地描繪了閉環(huán)極點與開環(huán)增益k的關(guān)系。當(dāng)k=0.5時，閉環(huán)兩個極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)仍為非周期過程，但速度更快；>>C=[1320.5];>>r=roots(C)r=-2.1115-0.4043+0.2544i-0.4043-0.2544i（3）根軌跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味著不管k取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)定，這種情況下，如果開環(huán)零、極點是系統(tǒng)固有的、不可改變的，那么要使系統(tǒng)穩(wěn)定就必須人為增加開環(huán)零、極點，這就是通常講的要改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而不僅僅是改變系統(tǒng)的參數(shù)。11.3頻域穩(wěn)定性分析與Nyquist判據(jù)

前面已經(jīng)介紹，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程根的性質(zhì)唯一確定。對于三階以下系統(tǒng)，解出特征根就能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。三階以上的高階系統(tǒng)，求解特征根通常都很困難，前面介紹了兩種判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，基于特征方程的根與系數(shù)關(guān)系的勞斯判據(jù)和根軌跡法。頻域穩(wěn)定性判據(jù)又稱為奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡稱奈氏判據(jù)），是在頻域判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法。奈氏判據(jù)的基本思想是利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。它將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性與復(fù)變函數(shù)位于s平面右半部的零、極點數(shù)目聯(lián)系起來的一種判據(jù)。奈氏判據(jù)是一種圖解法，它依據(jù)的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于系統(tǒng)的開環(huán)特性可用解析法或?qū)嶒灧ǐ@得，因此，應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實用的優(yōu)點。奈氏判據(jù)還有助于建立相對穩(wěn)定性的概念。11.3.1穿越頻率、剪切頻率、截止頻率與交界頻率穿越頻率是用來描述系統(tǒng)頻率特性的一個指標(biāo)，穿越頻率對應(yīng)的相頻曲線上的相位反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。在開環(huán)對數(shù)頻率特性上，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(jw)，對應(yīng)于幅值，即的角頻率。幅頻特性線穿越0dB處對應(yīng)的角頻率，稱為0dB線穿越頻率通常稱之為開環(huán)截止頻率，或簡稱截止頻率、剪切頻率，通常以表示，單位為（弧度/秒），而閉環(huán)截止頻率通常以表示。在兩個頻段（如低頻與中頻，中頻與高頻）交界處的頻率叫交界頻率或交接頻率等。相頻特性穿越-180o線處對應(yīng)的頻率，叫作相位穿越頻率或相位交界頻率，通常以表示，單位為（弧度/秒）。11.3.2增益裕量、相位裕量與系統(tǒng)穩(wěn)定性

增益裕量、相角裕量是對自動控制領(lǐng)域的閉環(huán)系統(tǒng)而言，指的是保持系統(tǒng)穩(wěn)定工作的前提下，相角或者增益還能增加的范圍。

1.增益裕量、相角裕量如果閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點都在s左邊平面，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。為了研究增益和相角裕量，需要從開環(huán)系統(tǒng)的角度研究閉環(huán)系統(tǒng)。如果開環(huán)傳遞函數(shù)是G(jw)，則如圖11-3-1（a）的閉環(huán)傳遞函數(shù)是：如圖11-3-1（b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)是：（11.3.1）

圖11-3-1閉環(huán)系統(tǒng)為了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，充要條件是：閉環(huán)特征方程R(s)=1+G(jw)的全部根，都必須位于左半s平面。雖然開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點有可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于左半s平面，則系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。如果當(dāng)某個頻率w時，開環(huán)傳遞函數(shù)G(jw)=-1，那么閉環(huán)系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的（臨界穩(wěn)定）；若開環(huán)傳遞函數(shù)G(jw)，也可認為是G(s)，沒有極點在s右半平面，則定義為開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（1）增益裕量所謂增益一般是指幅度的增益，因此增益裕量也叫幅度裕量、幅值裕度。幅值裕度是在相角為-180度處使開環(huán)增益為1（0dB）的增益量。如在-180度相頻處的開環(huán)增益為G，則幅值裕度為1/G；若用分貝值表示幅值裕度，則幅值裕度Gm定義為：（11.3.2）單位為dB?；蛘哒f，使G(jw)曲線通過-1點所需的開環(huán)增益增大的倍數(shù)就是增益裕量、幅值裕量。在控制系統(tǒng)中，通常在沒有開環(huán)極點位于右半平面上的情況下，可以用增益裕量和相角裕量來評價反饋控制系統(tǒng)的性能。特別地，可以根據(jù)-1點附近區(qū)域內(nèi)的奈奎斯特圖對系統(tǒng)進行性能評價。

所以，能從開環(huán)傳遞函數(shù)G(jw)、H(jw)G(jw)的特性來研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于第2種形式可以看作為第1種的簡化形式，以后只討論這種簡化形式。（2）相位裕量相位裕量（或相位角裕度）是分析運算放大器穩(wěn)定性的一個重要參數(shù)，對于一個固定的運算放大器設(shè)計，相位裕量只有一個。相位裕量g（gama）是指運算放大器幅值開環(huán)增益為1，即對數(shù)幅頻特性=0dB時，穿越頻率對應(yīng)的相位+180°：（11.3.3）其中：，表示系統(tǒng)開環(huán)頻率特性在w=wc處的相位角，單位為度（°）。2.相位裕量與系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷

g作為定量值指出了，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性f(jw)還需要改善多少度就成為穩(wěn)定的了。如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，與上述描述相反。當(dāng)g>0，即相位裕量為正值時，表示系統(tǒng)穩(wěn)定。如圖11-3-2(a)所示。當(dāng)g<0，即相位裕量為負值時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如圖11-3-2(b)所示。當(dāng)g=0時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。如果系統(tǒng)的環(huán)路增益大于等于0dB且相移超過-180°時，閉環(huán)的放大電路就會不穩(wěn)定產(chǎn)生振蕩，而相位裕量表明了距離產(chǎn)生自激振蕩的裕量大小，這也是相位裕量成為標(biāo)志運算放大器穩(wěn)定性的一個重要參數(shù)的原因之一。影響相位裕量的因素包括閉環(huán)回路的噪聲增益和負載情況。一般而言，噪聲增益愈小則相位裕量愈小，因此單位增益的系統(tǒng)是最難穩(wěn)定的。同時，在選擇運算放大器作為增益緩沖器時，應(yīng)當(dāng)注意運算放大器在單位增益接法下是否能保持穩(wěn)定。純阻性負載一般對相位裕量沒有影響，感性負載對相位裕量有改善作用，而實際應(yīng)用中最常應(yīng)用的容性負載則會降低運算放大器電路的相位裕量，從而導(dǎo)致系統(tǒng)易產(chǎn)生自激振蕩。通常，用三個或更多個增益裕量與30～60度之間的幅值裕量組合，可在帶寬和穩(wěn)定性之間合理取舍，以獲得最佳結(jié)果。11.3.3系統(tǒng)穩(wěn)定的Nyquist判據(jù)

穩(wěn)定性裕量（即相對穩(wěn)定性，也即目前的穩(wěn)定狀態(tài)離臨界穩(wěn)定狀態(tài)有多遠），可在奈奎斯特圖中定量分析，實際中，在開環(huán)增益G為某固定值時，畫出奈奎斯特圖來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，當(dāng)開環(huán)增益G取另一個固定值時，再畫出奈奎斯特圖來判斷穩(wěn)定性。由此類推，得到一簇奈奎斯特曲線。由此看出隨著開環(huán)增益G的變化時，穩(wěn)定性裕量的變化。在奈奎斯特圖上定義了相角裕量和增益裕量來判斷穩(wěn)定性裕量。定義如下：

(1)增益（即開環(huán)增益G）裕量：指系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時，增益的最大值。此時，奈奎斯特曲線過（-1，j0）點，即系統(tǒng)函數(shù)復(fù)平面上實軸（Re）上，虛軸（Im）上。增益裕量的另一定義：若G(jw)在復(fù)平面上與負實軸相交，此時幅值記為A（小于1），則增益裕量定義為（1/A）。注意：“1”對應(yīng)于臨界點（-1，j0）的幅值。增益裕量Gm的物理意義是：若開環(huán)增益增加Gm倍，則系統(tǒng)恰好處于臨界穩(wěn)定。即奈奎斯特圖與臨界穩(wěn)定點（-1，j0）越近，穩(wěn)定裕量越小。(2)相角裕量g：若奈奎斯特曲線順時針繞原點旋轉(zhuǎn)達到與點（-1，j0）相遇所需要的相移量。注：即奈奎斯特曲線與單位圓的交點與（-1，j0）相移量。相角裕量的物理意義是：系統(tǒng)工作于截止頻率時，若相角再滯后或超前，則系統(tǒng)處于臨界不穩(wěn)定?；蛘哒f，在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率上，使閉環(huán)系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或遲后相移）量，稱為系統(tǒng)的相位裕量。通過開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用到如下奈奎斯特判據(jù)：奈奎斯特軌跡（軌跡的方向為順時針方向）包圍了整個右半s平面，所以它包圍了的所有正實部的極點和零點。我們知道閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。由于R(s)的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，R(s)的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以如果R(s)在右半s平面不存在零點，則意味著閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面不存在閉環(huán)極點，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)，Z為閉環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)即R(s)的零點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：Z=0（11.3.4）1.一種簡易的奈氏判據(jù)正、負穿越的概念：所謂“穿越”是指Nyquist軌跡對稱穿過實軸的段。正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用N+表示。負穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用N-表示。若軌跡起始或終止于以左的負軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。如圖11-3-3所示。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w由0變化到時，曲線在點以左的負實軸上的正負穿越之和為P/2圈。此時：N=N+-N-

Z=P-2N=0（11.3.5）當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，N=P/2，即Z=0。若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在s右半平面，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0。例11-3-1穿越判斷穩(wěn)定性

某系統(tǒng)Nyquist軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點分布在s的右半平面，軌跡在點(-1,j0)以左的負實軸有2次正穿越，1次負穿越，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點分布在s的右半平面（P=2），因為：N=N+—N-=2-1=1，求得：Z=P-2N=2-2=0，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。2.奈氏判據(jù)

曲線對原點的包圍，恰等于軌跡對點的包圍。如果Nyquist軌跡按逆時針方向鐃一周，則必正穿越一次。反之，若按順時針方向包圍點一周，則必負穿越一次，這種正負穿越之和即為Nyquist軌跡圍的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)又可表述為：

Z=P-R=0（11.3.6）其中R是對點逆時針包圍的次數(shù)。（1）若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是Nyquist曲線即在復(fù)平面上的軌跡不包圍（-1,j0）點。（2）若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，假設(shè)有P個極點在右平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是Nyquist曲線逆時針方向包圍點恰為P次。對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須Z=0，如果P不等于零，則P=R。即，Nyquist曲線按逆時針包圍臨界點的圈數(shù)R，等于開環(huán)傳遞函數(shù)位于s右半平面的極點數(shù)，P=R。

否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，（3）Nyquist曲線若剛好穿過臨界點，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。例11-3-2奈氏曲線判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性奈氏曲線判斷例11-1-5的系統(tǒng)穩(wěn)定性。>>dz=[0,-1,-2];d=poly(dz);>>k=2;n=k*[0001];>>nyquist(n,d);k=2時的奈氏曲線如圖11-3-4所示，沒有包圍（-1,j0）點，系統(tǒng)穩(wěn)定。11.3.4用插值法尋找臨界增益

根據(jù)幅值裕度的定義，用函數(shù)spline(p,w,-180)求出在-180度相頻處的頻率wi，然后用函數(shù)spline(w,m,wi)求出該頻率處的開環(huán)增益G，則幅值裕度為1/G，即臨界增益。

例11-3-3在頻域確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試在頻域確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性>>k=1;n=[0.5,1];>>no=k*n;do=[1,-1,0];>>margin(no,do);結(jié)果如圖11-3-5所示。從圖中可以看出，相位裕量為負值，系統(tǒng)的閉環(huán)是不穩(wěn)定的，這時就要借助于nyquist判據(jù)來判穩(wěn)。>>pzmap(no,do)

零極點分布，如圖11-3-6所示。有n=1個極點在右平面，則該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是Nyquist曲線逆時針方向包圍（-1,j0）點恰為1次。（2）作奈氏曲線分析：>>w=0.5:0.1:10;>>nyquist(no,do,w);>>axis('equal')>>holdon>>no=no*3;>>nyquist(no,do);繪制k=1和k=3的奈氏判據(jù)圖，如圖11-3-7所示。k=3時，曲線逆時針方向包圍（-1,j0）點1次，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）用插值法尋找臨界增益：>>[m,p,w]=bode(no,do);%返回系統(tǒng)的幅度m、相位p和頻率w>>wi=spline(p,w,-180)%返回頻率w在相位p=-180處的頻率值>>mi=spline(w,m,wi)%返回幅度m在頻率w=wi處的幅度值wi=1.4142mi=0.5000>>k=1/mik=2.0000因此，臨界增益k=2。11.3.5最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定的bode圖判據(jù)

與margin()函數(shù)

1.最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定的bode圖判據(jù)由奈奎斯特圖測定穩(wěn)態(tài)裕量比較麻煩，bode圖是關(guān)于開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性或者相頻特性。橫坐標(biāo)是頻率w，縱坐標(biāo)為開環(huán)系統(tǒng)的幅度或者相位，縱橫坐標(biāo)都是對數(shù)分度。奈氏判據(jù)除了可以表示在極坐標(biāo)圖上，還可以表示在bode圖上，在頻域穩(wěn)定性分析中，主要使用bode圖上的nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，即穩(wěn)定裕度命令margin()。注意，穩(wěn)定裕度的定義是對最小相位系統(tǒng)而言的。若系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，不能應(yīng)用穩(wěn)定裕度來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于工程中最經(jīng)常出現(xiàn)的最小相位系統(tǒng)，采用bode圖表示，不僅應(yīng)用起來更為方便和直觀，而且還能得到有關(guān)系統(tǒng)校正設(shè)計方面的信息。如圖11-3-8(a)、(b)所示，同一個系統(tǒng)的的bode圖和奈奎斯特圖有以下對應(yīng)關(guān)系：奈奎斯特圖上以原點為中心的單位圓對應(yīng)于bode圖上的0dB線。奈奎斯特圖上的負實軸對應(yīng)bode圖相頻圖上的-180°線。

bode圖上的奈氏判據(jù)，只適用于最小相位系統(tǒng)，對于非最小相位系統(tǒng)，雖然也可以推導(dǎo)出在bode圖上的等價判據(jù)，但由于有多種情況