5.3誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(jì)-2025-2026學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊-人教A版2019主備人備課成員設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課通過引導(dǎo)公式，讓學(xué)生理解并掌握二倍角公式、和差角公式和倍角公式，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)推理能力和應(yīng)用能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，通過探究誘導(dǎo)公式，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；提升邏輯推理能力，通過公式推導(dǎo)過程，鍛煉學(xué)生的邏輯思維；增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，

①掌握二倍角公式、和差角公式和倍角公式的推導(dǎo)過程；

②理解公式中的數(shù)學(xué)關(guān)系，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算和證明。

2.教學(xué)難點(diǎn)，

①理解二倍角公式、和差角公式和倍角公式中三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系；

②將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決實(shí)際問題；

③在復(fù)雜情境中，靈活選擇合適的誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算和證明。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有人教A版2019必修第一冊的教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與誘導(dǎo)公式相關(guān)的幾何圖形、函數(shù)圖像等圖表，以及相關(guān)的教學(xué)視頻。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器等輔助計(jì)算的工具。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，提供白板和粉筆，以便進(jìn)行板書和討論。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

詳細(xì)內(nèi)容：

首先，通過復(fù)習(xí)三角函數(shù)的基本概念和公式，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。然后，提出問題：“如何利用已知的三角函數(shù)公式推導(dǎo)出新的三角函數(shù)公式？”以此激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引入本節(jié)課的主題——誘導(dǎo)公式。

2.新課講授

（1）講解二倍角公式

詳細(xì)內(nèi)容：

首先，介紹二倍角公式的概念和推導(dǎo)過程，通過幾何圖形和三角函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解二倍角公式的來源。然后，通過具體的例子，如$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，讓學(xué)生掌握公式的運(yùn)用。

（2）講解和差角公式

詳細(xì)內(nèi)容：

接著，介紹和差角公式的概念和推導(dǎo)過程，通過三角函數(shù)的和差化積公式，引導(dǎo)學(xué)生理解公式的推導(dǎo)方法。舉例說明，如$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用和差角公式。

（3）講解倍角公式

詳細(xì)內(nèi)容：

最后，講解倍角公式的概念和推導(dǎo)過程，通過二倍角公式和和差角公式，引導(dǎo)學(xué)生理解倍角公式的推導(dǎo)方法。舉例說明，如$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$，讓學(xué)生掌握倍角公式的運(yùn)用。

3.實(shí)踐活動

（1）計(jì)算練習(xí)

詳細(xì)內(nèi)容：

學(xué)生獨(dú)立完成一些基礎(chǔ)的計(jì)算題，如使用誘導(dǎo)公式計(jì)算$\sin30^\circ$、$\cos45^\circ$等，檢驗(yàn)學(xué)生對誘導(dǎo)公式的掌握程度。

（2）證明練習(xí)

詳細(xì)內(nèi)容：

提供一些需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明的題目，如證明$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，讓學(xué)生通過推導(dǎo)過程加深對公式的理解。

（3）應(yīng)用題

詳細(xì)內(nèi)容：

給出一些實(shí)際問題，如三角形的邊角關(guān)系問題，讓學(xué)生運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

4.學(xué)生小組討論

（1）討論內(nèi)容一：公式的推導(dǎo)過程

舉例回答：

學(xué)生討論如何從已知的三角函數(shù)公式推導(dǎo)出二倍角公式、和差角公式和倍角公式，例如，如何從$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$推導(dǎo)出$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。

（2）討論內(nèi)容二：公式的應(yīng)用

舉例回答：

學(xué)生討論在哪些情況下會用到誘導(dǎo)公式，如何選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算或證明，例如，在求解三角形的內(nèi)角時，如何選擇和差角公式。

（3）討論內(nèi)容三：公式的局限性

舉例回答：

學(xué)生討論誘導(dǎo)公式在哪些情況下不適用，例如，當(dāng)角度非常大時，誘導(dǎo)公式可能不適用，需要考慮其他方法。

5.總結(jié)回顧

內(nèi)容：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二倍角公式、和差角公式和倍角公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。重點(diǎn)在于理解公式的推導(dǎo)過程，掌握公式的運(yùn)用方法，并能解決一些實(shí)際問題。難點(diǎn)在于理解公式中的數(shù)學(xué)關(guān)系，以及在實(shí)際問題中靈活運(yùn)用公式。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們能夠提高數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模意識。

用時：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠熟練掌握二倍角公式、和差角公式和倍角公式，并能將這些公式應(yīng)用于解決實(shí)際問題。例如，在求解三角形的內(nèi)角、計(jì)算三角函數(shù)值、證明三角恒等式等方面，學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行有效的計(jì)算和推導(dǎo)。

2.提高數(shù)學(xué)抽象能力

通過對誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力。例如，在理解二倍角公式時，學(xué)生需要將角度的概念轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，這種思維方式的轉(zhuǎn)變有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

3.增強(qiáng)邏輯推理能力

誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程需要學(xué)生運(yùn)用邏輯推理能力，通過觀察、比較、歸納等方法，找出公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠鍛煉邏輯推理能力，提高解決問題的能力。

4.提升數(shù)學(xué)建模意識

學(xué)生在學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式時，需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算和證明。這種實(shí)踐過程有助于學(xué)生提升數(shù)學(xué)建模意識，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)。

5.提高計(jì)算能力和證明能力

通過對誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠提高計(jì)算能力和證明能力。在解決實(shí)際問題過程中，學(xué)生需要運(yùn)用公式進(jìn)行精確計(jì)算，同時通過證明過程加深對公式的理解。

6.培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神

在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與他人合作，共同探討問題、解決問題。這種合作學(xué)習(xí)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，提高溝通能力和協(xié)作能力。

7.增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式產(chǎn)生濃厚興趣，激發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。這種興趣將有助于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中保持積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

8.提高自主學(xué)習(xí)能力

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，需要獨(dú)立思考、探究問題，通過查閱資料、請教他人等方式解決問題。這種自主學(xué)習(xí)能力將有助于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中更好地適應(yīng)不同的學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)任務(wù)。課后作業(yè)1.證明題：

已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha>0$，求$\cos2\alpha$的值。

解：由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}$。

因?yàn)?\cos\alpha>0$，所以$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

由二倍角公式$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$，得$\cos2\alpha=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-1=2\cdot\frac{3}{4}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。

2.應(yīng)用題：

在直角三角形ABC中，$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，求$\sin2\angleC$的值。

解：由于$\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$，所以$\angleC=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ$。

由$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，得$\sin2\angleC=2\sin90^\circ\cos90^\circ=2\cdot1\cdot0=0$。

3.綜合題：

已知$\tan\alpha=3$，$\tan\beta=\frac{1}{2}$，求$\tan(\alpha+\beta)$的值。

解：由和差角公式$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$，得

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{3+\frac{1}{2}}{1-3\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}=7$。

4.判斷題：

判斷$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$是否為二倍角公式。

解：是。由倍角公式$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$和$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$，得$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$。

5.求值題：

已知$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\beta=\frac{3}{5}$，求$\sin(\alpha+\beta)$的值。

解：由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

由$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，得

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{25}+\frac{8\sqrt{5}}{25}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成課后練習(xí)題中的第1、3、5題，分別對應(yīng)證明題、應(yīng)用題和綜合題，以鞏固對誘導(dǎo)公式的理解和應(yīng)用。

2.選擇兩個同學(xué)討論后的證明題或應(yīng)用題進(jìn)行小組內(nèi)互評，互相檢查解答的完整性和正確性。

3.編寫一個實(shí)際問題，如三角形測量或物體運(yùn)動，并嘗試運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決該問題，以培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。

4.預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容，提前閱讀教材相關(guān)章節(jié)，對新的概念和公式有所了解。

作業(yè)反饋：

1.對于學(xué)生的作業(yè)，將采用逐一點(diǎn)評的方式，確保每位學(xué)生的作業(yè)都得到反饋。

2.在批改作業(yè)時，將重點(diǎn)關(guān)注以下幾個方面：

-學(xué)生是否能夠正確理解和運(yùn)用二倍角公式、和差角公式和倍角公式。

-學(xué)生在解決問題時是否能夠靈活選擇合適的公式。

-學(xué)生在計(jì)算過程中是否出現(xiàn)錯誤，如代數(shù)運(yùn)算錯誤或三角函數(shù)值計(jì)算錯誤。

3.對于存在的問題，將給出以下反饋：

-對于計(jì)算錯誤，指出具體錯誤點(diǎn)，并提供正確的解題步驟。

-對于解題思路錯誤，分析錯誤原因，并提供正確的解題思路。

-對于公式應(yīng)用不當(dāng)，解釋為什么所選公式不適合當(dāng)前問題，并推薦合適的公式。

4.對于優(yōu)秀作業(yè)，將給予表揚(yáng)，鼓勵學(xué)生繼續(xù)保持良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。

5.對于普遍存在的問題，將在下一節(jié)課的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)集中講解，確保所有學(xué)生都能夠理解和掌握。

6.定期與學(xué)生溝通，了解他們的學(xué)習(xí)進(jìn)展和困難，針對性地給予指導(dǎo)和幫助。

7.鼓勵學(xué)生之間的互評和討論，通過同伴學(xué)習(xí)促進(jìn)共同進(jìn)步。

8.將學(xué)生的作業(yè)反饋與學(xué)生的學(xué)業(yè)成績掛鉤，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。板書設(shè)計(jì)1.重點(diǎn)知識點(diǎn)

①二倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$，$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

②和差角公式：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

③倍角公式：