離散型隨機(jī)變量分布列知識與方法一、離散型隨機(jī)變量的分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗(yàn)結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個值．（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．二、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．典型例題1．?dāng)?shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數(shù)的分布列．【答案】0124P【解析】的可能取值是0、1、2、4，，，，.的分布列為：0124P故答案為：0124P2．假如一段樓梯有11個臺階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是．【答案】1357911P【解析】據(jù)題意，的可能取值為1，3，5，7，9，11，＝1時(shí)，還需走5個兩階，共六步走完，所以共有種不同的走法；同理，＝3時(shí)，有種；＝5時(shí)，有種；＝7時(shí)，有種；＝9時(shí)，有種；＝11時(shí)，有1種，所以，走完這段樓梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144種不同的走法．，，，，，，的分布列如下：1357911P故答案為：1357911P3．一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的分布列是．【答案】0124P【解析】將這個小正方體拋擲1次，則向上的數(shù)為0的概率為；向上的數(shù)為1的概率為；向上的數(shù)為2的概率為．將這個小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為，，，，，則的分布列是0124P故答案為：0124P4．甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分布列是．【答案】23456P【解析】分別記為甲、乙、丙在第局獲勝，則.由已知，可取.表示事件“甲連勝兩局”或“乙連勝兩局”，所以.表示事件“甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝丙勝”，所以.表示事件“甲勝丙勝乙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝甲勝”，所以.表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝甲勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝乙勝”，所以.表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝丙勝”或“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝甲勝”，所以.所以，的分布列是23456P.故答案為：23456P.5．從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有個紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：．012【答案】見解析【解析】根據(jù)題意由等可能事件的概率計(jì)算公式可知：，故答案為：0126．設(shè)隨機(jī)變量的分布為，則．【答案】/0.4/【解析】由題意知，的分布為，所以，解得，所以，故答案為：．強(qiáng)化訓(xùn)練1．將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X的分布列是.【答案】X123P【解析】由題意知X的可能取值為1，2，3；；故答案為：X123P2．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的分布列為．【答案】ξ01P【解析】正方體的12條棱中任取兩條共有種情況，若兩條棱相交，則交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過任意一個頂點(diǎn)的棱有3條，共有對相交棱，若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對，ξ的可能取值為0，1，，分別求出其概率即可.ξ的可能取值為0，1，.若兩條棱相交，則交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過任意一個頂點(diǎn)的棱有3條，所以P(ξ＝0)＝＝，若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對，則P(ξ＝)＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ01P故答案為：ξ01P3．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：12345678910給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，；②當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，公差；③當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，；④當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①③④【解析】由題意可得：，且,，，2，，10，對①：當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，則，可得，故，①正確；對②：當(dāng)為等差數(shù)列時(shí),由①知，所以，由于,，所以，解得：，故②錯誤；對③：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時(shí)，滿足，，，2，，10，則，可得,，③正確；對④：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時(shí)，則，可得，,3，時(shí),所以，由于，所以，因此，由于，所以，因此，當(dāng)也符合，故，④正確．故答案為：①③④4．某一隨機(jī)變量的概率分布如下表，且，則的值為．0123P0.2mn0.3【答案】0.3/【解析】由已知得：，解得，故．故答案為：0.3．5．已知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為123若，則.【答案】【解析】因?yàn)?①且,②，所以①②可得，，故答案為：.6．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為01則常數(shù)．【答案】【解析】由題意得且所以，解得．故答案為：強(qiáng)化訓(xùn)練1．設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則.【答案】【解析】因?yàn)椋傻?，解得，因?故答案為：.2．隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則.123450.10.20.30.1【答案】0【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可得解得，所以，所以.故答案為:0.3．已知等差數(shù)列的公差為，隨機(jī)變量滿足，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意可知，可得，由可得，解得，綜合可得，的取值范圍為.故答案為：4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X02aP0.20.4b若，則正整數(shù)a＝．【答案】1【解析】0.2＋0.4＋b＝1，得，所以，則，正整數(shù)a＝1；故答案為：1.5．2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動力，這其實(shí)是我黨的一貫政策．某材料學(xué)博士畢業(yè)時(shí)恰逢國家大力倡導(dǎo)“開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢”，于是同一幫志同道合的博士同學(xué)，在老家創(chuàng)辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強(qiáng)陶瓷基、樹脂基三大類復(fù)合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預(yù)計(jì)到今年年底這三大類復(fù)合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復(fù)合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨(dú)立，記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數(shù)學(xué)期望．【答案】【解析】記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則，，，，，則的分布列為：故答案為：1.76．一個袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個，用X表示取出的3個球中最大編號，則．【答案】4.5【解析】從中任取3個球，共有，，，，，，，，，10中情況，所以可能取值為，，，，所以.故答案為：.7．現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是元.【答案】2【解析】設(shè)每張彩票的中獎金額為隨機(jī)變量，則.由題意可知，，，，，，所以.所以，的分布列為02105010010000.85450.10.030.010.0050.0005所以，.故答案為：2.8．一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出綠球的個數(shù)為，則.【答案】【解析】由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為，則；；，所以期望為.故答案為：.9．某同學(xué)在上學(xué)的路上要經(jīng)過3個十字路口，在每個路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，設(shè)該同學(xué)在三個路口遇到紅燈的概率分別為，，.(1)求該同學(xué)在上學(xué)路上恰好遇到一個紅燈的概率；(2)若該同學(xué)在上學(xué)路上每遇到1個紅燈，到校打卡時(shí)間就會比規(guī)定打卡時(shí)間晚48秒，記該同學(xué)某天到校打卡時(shí)間比規(guī)定時(shí)間晚秒，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記A={該同學(xué)在上學(xué)路上恰好遇到一個紅燈},.（2）的可能取值為，,,,X的分布列為：X04896144P.10．小李參加某項(xiàng)專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結(jié)果互不影響．(1)記“小李恰有1個科目需要補(bǔ)考”的概率為，求的最大值點(diǎn)．(2)以（1）中確定的作為p的值．（ⅰ）求小李這項(xiàng)資格考試過關(guān)的概率；（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求．【解析】（1）由題意知，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，即．（2）（?。┬±畹谝淮慰荚?個科目都合格的概率為，小李第一次考試有2個科目合格，補(bǔ)考1個科目且合格的概率為，小李第一次考試有1個科目合格，補(bǔ)考2個科目且均合格的概率為，所以小李這項(xiàng)資格考試過關(guān)的概率為．（ⅱ）X的所有可能取值為60，80，100，則，，，故．11．有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳?zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）記小胡“第一輪摸到白球”為事件A，“小胡獲勝”為事件B，則，，故；（2）記一次游戲中“先摸球者獲勝”為事件C，則，則X的可能取值為，則，，,，故X的分布列為：X0123P故.12．某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時(shí)一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊(duì)員、年級之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級與高一年級比賽時(shí)，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．【解析】（1）設(shè)高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為03613．為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起體育運(yùn)動和文化項(xiàng)目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．【解析】（1）可能取值為2，3．所以的分布列如下：23∴．（2）前兩天中每一天甲以2：0獲勝的的概率均為；乙以2：0獲勝的的概率均為甲以2：1獲勝的的概率均為乙以2：1獲勝的的概率均為∴即獲勝方前兩天比分為和，或者和再加附加賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為∴∴．14．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則方差.-101【答案】【解析】成等差數(shù)列，,由變量的分布列，知：，解得，.故答案為：15．離散型隨機(jī)變量X的分布為：01245若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為．①；②；③；④．【答案】①③【解析】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，可得，則，，所以①③正確；又由離散型隨機(jī)變量Y滿足，所以，，所以②④錯誤，故答案為：①③．16．甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．8910P0.30.20.58910P0.20.40.4【答案】乙【解析】由題意知：，，所以，，因?yàn)?，所以乙更穩(wěn)定．故答案為:乙．17．已知離散型隨機(jī)變量的分布如下表：02Pab若隨機(jī)變量的期望值，則．【答案】11【解析】由表中數(shù)據(jù)得：，解得，又，，所以，所以．故答案為：11．18．隨機(jī)變量的分布列如下表：nn＋1n＋2Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則的最大值為.【答案】【解析】依題意，，，所以，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：．19．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab【答案】5【解析】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5.20．為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．【解析】（1）從高一年級（1）班~（8）班學(xué)生中抽測了80人，其中身體素質(zhì)檢測成績優(yōu)秀的人數(shù)有人，所以，優(yōu)秀的概率是

因?yàn)槭请S機(jī)抽樣，所以用樣本估計(jì)總體，可知從高一年級學(xué)生中任意抽測一人，該生身體素質(zhì)檢測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率是（2）因?yàn)楦咭唬?）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有6人，不優(yōu)秀的有4人，因?yàn)楦咭唬?）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有4人，不優(yōu)秀的有6人，所以從中抽出2人，的可能取值為，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望（3），理由：由于且服從二點(diǎn)分布，所以，由于在單調(diào)遞減，所以.21．甲乙兩人進(jìn)行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.【解析】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.甲勝概率為：.則甲勝利的概率為.（2）設(shè)甲所勝的局?jǐn)?shù)為，.，，，則分布列為：0120.160.1920.648所以.（3）.22．已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPp若，(1)求的值;(2)若，求的值.【解析】（1）由題意可得：，解得，所以.（2）因?yàn)?，則，所以.23．巴蜀中學(xué)進(jìn)行90周年校慶知識競賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)地抽取4道來回答，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分.(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列.【解析】（1）設(shè)甲答對題目的數(shù)目為，則，所以，所以；.（2）設(shè)乙答對題目的數(shù)目為，則服從參數(shù)為，，的超幾何分布，且，所以，，，，，所以的概率分布為0204024．小王去自動取款機(jī)取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．【解析】（1）設(shè)“小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，則．（2）由題意，X的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以X的分布列為X123P所以數(shù)學(xué)期望，方差．25．甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大小（直接寫出結(jié)果）.【解析】（1）甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，①甲學(xué)校3場全勝，概率為：，②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：01020300.160.440.340.06的期望；（3）甲學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：01020300.060.340.440.16的期望；故，由（2）可得，故.26．概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標(biāo)所對應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機(jī)變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計(jì)算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．【解析】（1）法一：對非負(fù)離散型隨機(jī)變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，有．法二：設(shè)的分布列為其中，記，則對任意，.（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，那么在此假設(shè)下，．由切比雪夫不等式，有．即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過60人的概率不超過0.04，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．27．某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時(shí)一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊(duì)員、年級之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級與高一年級比賽時(shí)，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)前兩局平局的情況下，后面分兩種情況計(jì)算高二年級最終戰(zhàn)勝高一年級的概率即可；（2）由題可知高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6，分別計(jì)算概率從而可得分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為03628．在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙