2026屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)專題：10空間向量與立體幾何（全國(guó)甲卷專用）一、選擇題1．（2024高三上·靜安模擬）在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2024高三上·長(zhǎng)寧模擬）已知非零空間向量和，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若則C．若，則 D．若，則3．（2024高三上·奉賢模擬）在四棱錐中，若，則實(shí)數(shù)組可能是（）A． B． C． D．4．（2024高三上·長(zhǎng)春模擬）正四面體中，，則異面直線與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．（2024高三上·雷州模擬）如圖，三棱錐中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，則（）A． B．C． D．6．（2024高三上·浙江模擬）邊長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A．1 B． C． D．7．（2024高三下·潮陽模擬）已知平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．8．（2024·南充模擬）如圖，在直三棱柱中，，E、F、G、H分別為的中點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．E、F、G、H四點(diǎn)共面B．三線共點(diǎn)C．設(shè)，則平面截該三棱柱所得截面周長(zhǎng)為D．與平面所成角為二、多項(xiàng)選擇題9．（2025·濟(jì)寧模擬）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．線段長(zhǎng)度的最小值為 D．的最小值為10．（2025·寧波模擬）如圖，在平行六面體中，，，，，，為中點(diǎn)，在線段上（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A．存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．不存在點(diǎn)，使得D．不存在點(diǎn)，使得四棱錐有內(nèi)切球11．（2025·常德模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，空間中的點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則的最大值為C．若，則平面截該正方體的截面面積的最小值為D．若，則平面與平面夾角的正切值的最小值為三、填空題12．（2025·湖南模擬）如圖，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上，且，若，，則點(diǎn)到平面BDE的距離為.13．（2024·溫州模擬）如圖，在等腰梯形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn).現(xiàn)將△ABE沿BE翻折到△A'BE，將△DCE沿CE翻折到△D'CE，使得二面角A'-BE-C等于60°，D'-CE-B等于90°，則直線A'B與平面D'CE所成角的余弦值等于.14．（2024·東陽模擬）四棱錐的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且，．四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，，l⊥OB，則直線l與平面PAC所成夾角的范圍為．四、解答題15．（2025·義烏模擬）如圖，在三棱錐中，是正三角形，，，，點(diǎn)為的重心.（1）證明：平面；（2）若平面平面，求二面角的平面角的正切值.16．（2025·朝陽模擬）如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让?，?cè)面是邊長(zhǎng)為4的菱形，．（1）求證：側(cè)面為矩形；（2）求直線與平面所成角的正弦值．17．（2025·江蘇模擬）如圖，三棱臺(tái)，平面平面，與相交于點(diǎn)，且平面．（1）求三棱錐的體積；（2）平面與平面所成角為與平面所成角為，求的值．18．（2025·湖南模擬）在如圖所示的多面體中，已知四邊形為菱形，其對(duì)角線和相交于H點(diǎn)，G是棱的中點(diǎn)，，且.（1）求證：平面；（2）若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.19．（2025·浙江模擬）如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，在底面的投影落在線段AD上.（1）證明：；（2）若，，，，在線段上，且滿足平面平面，求直線與直線夾角的余弦值.

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A,C,D10．【答案】A,B,D11．【答案】A,B,D12．【答案】13．【答案】14．【答案】???????15．【答案】（1）證明：連接，并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，

則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，

為的重心，

，

因此，則，從而，又因?yàn)槠矫妫矫?，平?（2）解：方法一：延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連接，

則點(diǎn)為的中點(diǎn)，是正三角形，

，在平面中，過點(diǎn)作，平面平面，平面平面，

平面，，平面，

又因?yàn)槠矫妫裕?/p>

又因?yàn)?，AC，平面；平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，由平面平面可知，，，

所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則，，

令，則，又因?yàn)槠矫鍭BD的一個(gè)法向量為，所以，

設(shè)二面角為，則，

所以，，所以二面角的平面角的正切值為.方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，

取，則，，設(shè)平面的法向量為，則，

取，平面平面，則，

則，

，

則，，設(shè)平面的法向量為，則，，

令，則，又因?yàn)槠矫鍭BD的一個(gè)法向量為，所以，

設(shè)二面角為，則，

所以，，所以二面角的平面角的正切值為.16．【答案】（1）證明：連接，

因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以為正三角形，則，又因?yàn)椋?/p>

所以，設(shè)中點(diǎn)為D，連接，

則，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈酌鎮(zhèn)让?，底面?zhèn)让?，?cè)面，

所以底面，

又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)椋?/p>

平面，平面，所以平面，

又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)閭?cè)面為平行四邊形，所以側(cè)面為矩形．（2）解：由（1）可知平面，

所以，所以兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則．所以．設(shè)平面的法向量為，

則

所以令，則，

所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，因此，直線與平面所成角的正弦值為．17．【答案】（1）解：平面平面，且平面平面平面，平面，平面，，又因?yàn)槠矫?，平面，連接，平面平面，

平面平面，

，，，

，三棱錐底面三角形的面積為：，

高，三棱錐的體積為：．（2）解：由題意和（1）得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則．設(shè)平面的法向量為，由，

取，則，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以．又因?yàn)椋?/p>

所以．，又因?yàn)椋?/p>

所以．18．【答案】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，根?jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對(duì)角線互相平分，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)榍遥郧遥?/p>

則四邊形為平行四邊形，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：在菱形中，因?yàn)?，且菱形的鄰邊相等，所以和都是正三角形，取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)正三角形三線合一的性質(zhì)，可得，又因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，即兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

，則，，，因?yàn)椋?，，所以平面的法向量可取為，又，，設(shè)平面的法向量為，則由，取，則，，即，設(shè)平面與平面所成角為，

則，

即平面與平面所成角的余弦值為.19．【答案】（1）證明：因?yàn)?，D為的中點(diǎn)故，

又平面，平面，故得，