9.1正弦定理與余弦定理9.1.1正弦定理第1課時(shí)正弦定理(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合實(shí)例,了解已知兩邊和其夾角的三角形面積公式的推理過(guò)程,掌握三角形面積公式的應(yīng)用;2.了解正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程,通過(guò)轉(zhuǎn)化、構(gòu)造歸納出正弦定理,掌握正弦定理及其變形,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);3.能用正弦定理解三角形,并能判斷三角形解的個(gè)數(shù).◆知識(shí)點(diǎn)一正弦定理1.正弦定理的推導(dǎo)一般地,若記△ABC的面積為S,則S=12absinC==.由此可知2Sabc=sinCc=sinBb=sinAa,又因?yàn)閟inA>0,sinB2.正弦定理文字語(yǔ)言在一個(gè)三角形中,各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的的比相等

符號(hào)語(yǔ)言在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,2R為△ABC外接圓直徑,則有asinA==3.正弦定理的變形(1)a∶b∶c=.

(2)asinA=bsinB=4.習(xí)慣上,我們把三角形的3個(gè)角與3條邊都稱為三角形的,已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為.

【診斷分析】判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)正弦定理適用于任意三角形. ()(2)在△ABC中,等式bsinA=asinB總能成立. ()(3)在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充分不必要條件. ()◆知識(shí)點(diǎn)二利用正弦定理解三角形1.利用正弦定理主要解答如下兩種求解三角形的問(wèn)題:(1)已知三角形的兩角和一邊,求;

(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角,求.

2.已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式①a=bsinA且a<b;②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解無(wú)解一解無(wú)解【診斷分析】判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b,A,則能求出唯一的角B. ()(2)在△ABC中,a=8,b=16,A=30°,有兩解. ()(3)任意給出三角形的三個(gè)元素,都能求出其余元素. ()◆探究點(diǎn)一已知兩角及一邊解三角形[探索]已知兩角及一邊,三角形的形狀能確定嗎?

例1在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=10,A=30°,C=45°,求角B及邊b,c.變式在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=60°,B=45°,c=3+1,則a=.

[素養(yǎng)小結(jié)](1)正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式:asinA=bsinB;asinA=csin(2)已知兩角和任意一邊,在解三角形時(shí),可直接利用正弦定理求得邊的長(zhǎng),要注意結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°.①若所給邊是已知角的對(duì)邊,則可由正弦定理求另一角所對(duì)的邊,由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再由正弦定理求第三邊.②若所給邊不是已知角的對(duì)邊,則先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.◆探究點(diǎn)二已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形[探索]判斷滿足條件A=30°,a=1,c=4的△ABC是否存在,并說(shuō)明理由.

例2[2024·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,cosA=154,b=x,三角形有唯一解,則整數(shù)x的取值集合為 (A.{1} B.{1,2}C.{1,4} D.{1,2,4}變式[2024·廣東東莞厚街中學(xué)高一月考]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c=6,A=45°,a=2,解這個(gè)三角形.[素養(yǎng)小結(jié)]當(dāng)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的方法與步驟:(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角,由三角形中“大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊”的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求唯一銳角.(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角,則不能判斷另一邊所對(duì)的角是否為銳角,這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角,要分類討論.(4)然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再根據(jù)正弦定理求出第三邊.拓展[2024·江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)高一月考]在△ABC中,A=30°,AB=4,滿足此條件的△ABC有兩個(gè),則邊BC的長(zhǎng)度的取值范圍為 ()A.(23,4) B.(2,4)C.(4,+∞) D.(2,23)◆探究點(diǎn)三三角形的面積例3(1)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=1,c=3,B=π6,則△ABC的面積為 (A.32 B.C.32或3 D.32(2)[2024·浙江余姚中學(xué)高一月考]在△ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,則△ABC的面積是 ()A.3 B.23C.3或23 D.23或43變式[2024·江蘇鎮(zhèn)江丹陽(yáng)高一期末]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,a=43,b=12,S=32accosB,則A= (A.π6或5π6 BC.π4 D.[素養(yǎng)小結(jié)](1)求三角形的面積時(shí)通常以角為主,即在題目中已知哪個(gè)角或者涉及哪個(gè)角就以含有該角的公式進(jìn)行面積求解.(2)在解三角形問(wèn)題時(shí)需要根據(jù)正弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=8,B=60°,C=75°,則b=()A.42 B.43 C.46 D.42.[2024·廣州鐵一中學(xué)高一月考]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若B=30°,b=2,c=22,則角A的大小為 ()A.45° B.135°或45°C.15° D.105°或15°3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=3,b=3,A=π3,則角B