*10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算【課前預(yù)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)一1.rcosθrsinθ(rcosθ)+(rsinθ)ir(cosθ+isinθ)2.[0,2π)argz診斷分析(1)×(2)√(3)√(4)×[解析](1)復(fù)數(shù)0的輻角為任意值,0的任意兩個(gè)輻角之間不一定都相差2π的整數(shù)倍.(4)-3(cos200°+isin200°)中,-3<0,所以-3(cos200°+isin200°)不是復(fù)數(shù)的三角形式,故錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)二1.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]2.θ2r2診斷分析(1)×(2)√(3)×[解析](1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(3)[r(cosθ+isinθ)]2=r2(cos2θ+isin2θ).知識(shí)點(diǎn)三2.r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-3.θ2|θ2|1診斷分析(1)√(2)√(3)√[解析](2)z1z2的輻角為π6-π3=-π6,又輻角主值的范圍為(3)i=cosπ2+isinπ2,所以i的輻角為π2,所以zi的輻角主值為2π3【課中探究】探究點(diǎn)一例1(1)A(2)3π2+1[解析](1)因?yàn)閦=cos60°+isin60°為復(fù)數(shù)的三角形式,所以z的一個(gè)輻角是60°.故選A(2)由cos3π2+1=sin1,sin3π2+1=-cos1,得sin1-icos1=cos3π2+1+isin3π2變式C[解析]z=-sinπ7+icosπ7=cosπ2+π7+isinπ7+π2=cos9π14+isin9π14,因?yàn)樘骄奎c(diǎn)二探索解:(1)復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)中,輻角θ可以取輻角主值,也可以取其他輻角.如1-i=2cos7π(2)復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)中,θ為任意角,若θ為輻角主值,則θ∈[0,2π).例2解:(1)原式=2-cos4π(2)原式=-sin5-cos3π例3解:(1)因?yàn)?3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的負(fù)半軸上,所以|-3|=3,arg(-3)=π,所以-3=3(cosπ+isinπ).(2)因?yàn)?2-12i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以32-1所以32-12i=cos11π6變式(1)D(2)C[解析](1)z=4cos5π4+isin5π4=4×-22+4×-(2)z=1-cosθ-isinθ=2sin2θ2-2isinθ2cosθ2=2sinθ2sinθ2-icosθ探究點(diǎn)三探索解:兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.例4解:z1z2=3cosπ6+isinπ612cosπ2+isinπ2=12i.設(shè)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1,OZ2,如圖,作出OZ1,OZ2,把向量OZ1繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π3,再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的4變式解:(1)z1z2=3cosπ3+isinπ3×33cos(2)z1z2z3=3(cos18°+isin18°)×4(cos108°+isin108°)×16(sin66°+icos66°)=3(cos18°+isin18°)×4(cos108°+isin108°)×16(cos24°+isin24°)=3×4×16[cos(18°+108°+24°)+isin(18°+108°+24°)]=2(cos150°+isin150°)=-拓展證明:設(shè)z=r(cosθ+isinθ),其中r為z的模,θ為z的輻角,則zm=rm[cos(mθ)+isin(mθ)],zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)],則zmzn=rm[cos(mθ)+isin(mθ)]·rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=rm+n{cos[(m+n)θ]+isin[(m+n)θ]},又zm+n=rm+n{cos[(m+n)θ]+isin[(m+n)θ]},所以zmzn=zm+n.探究點(diǎn)四探索解:兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角.例5解:(1)i3÷12(cos120°+isin120°)=(cos270°+isin270°)÷12((2)3cos5π6+isin5π6÷3變式解:(1)1z=cos0+isin010cos則1z的模為110,輻角為2kπ-π3(k(2)1z=cos0+isin02cos則1z的模為12,輻角為2kπ+π4(k【課堂評(píng)價(jià)】1.B[解析]1+3i=212+32i=22.B[解析]4sin3π4+icos3π4=4×22+4×-223.A[解析](3+4i)·i=5(cosθ+isinθ)·cosπ2+isinπ2=5cosθ+π2+isinθ+π2,因?yàn)?+4i的輻角主值為θ,所以4.A[解析]原式=cosπ6+π3+isinπ6+π3=cos5.一[解