11.1.5旋轉(zhuǎn)體【課前預(yù)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)一1.矩形的一邊2.一直角邊3.垂直于底邊的腰4.(1)圓柱圓錐圓臺(tái)(2)旋轉(zhuǎn)軸高底面?zhèn)让娌淮怪庇谳S的邊5.軸的平面矩形等腰三角形等腰梯形診斷分析1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.解:(1)圓柱的母線(xiàn)有無(wú)數(shù)條,它們之間相互平行.(2)一定.由于圓臺(tái)可認(rèn)為是由平行于圓錐底面的平面截圓錐所得的,故兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)一定相交.知識(shí)點(diǎn)二1.(1)側(cè)面(2)側(cè)面積底面積2.2πr22πrl2πr(r+l)πr2πrlπr(r+l)πr'2πr2π(r'l+rl)π(r2+r'2+rl+r'l)診斷分析1.(1)×(2)×(3)×[解析](1)圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)與高的積.(2)當(dāng)圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,母線(xiàn)縮小到原來(lái)的12時(shí),它的底面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍,而側(cè)面積不變,所以它的表面積發(fā)生了變化(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的展開(kāi)圖分別是由一個(gè)矩形和兩個(gè)等圓、一個(gè)扇形和一個(gè)圓、一個(gè)扇環(huán)和兩個(gè)不相等的圓構(gòu)成的.2.16π24π40π[解析]因?yàn)閳A錐的底面半徑為4cm,所以底面周長(zhǎng)為8πcm,底面積為16πcm2.由勾股定理得,圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為42+(25)2=6(cm),則圓錐的側(cè)面積為知識(shí)點(diǎn)三1.直徑球2.(1)距離等于定長(zhǎng)(2)經(jīng)過(guò)球心球的半徑(3)不經(jīng)過(guò)球心3.S=4πR2診斷分析1.(1)√(2)×2.解:區(qū)別聯(lián)系球面球面是半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面球面是球的表面球球是幾何體,包括球面及其所圍成的空間部分【課中探究】探究點(diǎn)一例1(1)BD(2)ACD[解析](1)對(duì)于A,以直角梯形較長(zhǎng)的腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體不是圓臺(tái),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,棱臺(tái)的兩個(gè)底面一定是相似多邊形,故B正確;對(duì)于C,圓柱的軸截面與其側(cè)面的交線(xiàn)才是圓柱的母線(xiàn),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,根據(jù)圓臺(tái)的定義可得D正確.故選BD.(2)由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的幾何特征,可知A,C,D正確.對(duì)于B,設(shè)圓錐過(guò)頂點(diǎn)的截面的頂角為α,母線(xiàn)長(zhǎng)為l,則截面面積S=12l2sinα,顯然當(dāng)軸截面的頂角小于或等于90°時(shí),軸截面的面積最大;當(dāng)軸截面的頂角大于90°時(shí),軸截面的面積不是最大的,故B錯(cuò)誤.故選ACD變式(1)D(2)C[解析](1)①正確;當(dāng)球面上兩點(diǎn)的連線(xiàn)經(jīng)過(guò)球心時(shí),這兩點(diǎn)的連線(xiàn)才是球的直徑,故②錯(cuò)誤;用一個(gè)平面截一個(gè)球,得到的截面是一個(gè)圓面,而不是一個(gè)圓,故③錯(cuò)誤,④正確;以半圓的直徑所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面是球面,球面所圍成的幾何體叫作球,故⑤錯(cuò)誤;⑥正確.故選D.(2)A得到的是上面為一個(gè)圓錐,下面為一個(gè)圓臺(tái)的幾何體,不符合題意;B得到的是上、下均為圓錐,中間為一個(gè)圓柱的幾何體,不符合題意;C得到的是上面為一個(gè)圓柱,下面為一個(gè)圓錐的幾何體,符合題意;D得到的是上、下均為圓錐的幾何體,不符合題意.故選C.探究點(diǎn)二例2(1)A(2)315cm20cm[解析](1)設(shè)北緯30°緯線(xiàn)所在圓的半徑為r,則2πr=12π,∴r=6cm.設(shè)地球儀的半徑為R,則rR=6R=cos30°,∴R=43(2)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示).設(shè)AD的中點(diǎn)為O1,BC的中點(diǎn)為O,連接OO1,由已知可得O1A=2cm,OB=5cm,AB=12cm,過(guò)A作AM⊥BC,M為垂足,則OO1=AM=122-(5-2)2=315(cm),所以圓臺(tái)的高為315cm.如圖所示,延長(zhǎng)BA,OO1,CD交于點(diǎn)S,設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為lcm,則由△SAO1∽△SBO變式(1)C(2)3[解析](1)由題意,作出圓臺(tái)的軸截面,如圖所示,設(shè)圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為O1,O,連接OO1,作BC⊥AO,C為垂足.因?yàn)閳A臺(tái)的軸截面是上底為4,下底為8的等腰梯形,且圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為4,所以AB=4,AO=4,BO1=2,所以在Rt△ABC中,BC=AB2-AC2=42(2)設(shè)球的半徑為R.因?yàn)閮蓚€(gè)平行截面的面積分別為5π,8π,所以?xún)蓚€(gè)截面圓的半徑分別為r1=5,r2=22.因?yàn)榍蛐牡絻蓚€(gè)截面的距離分別為d1=R2-r12,d2=R2-r22,所以d1-d2=拓展解:(1)圓臺(tái)的上、下底面相互平行.(2)設(shè)圓錐頂點(diǎn)為S,底面圓心為O,圓臺(tái)上底面圓心為O',作出圓錐的軸截面如圖所示設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為ycm,在Rt△SOA中,O'A'∥OA,∴SA'∶SA=O'A'∶OA,即(y-10)∶y=1∶4,解得y=403,故圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為403探究點(diǎn)三例3(1)169π[解析]作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖,如圖所示,該小蟲(chóng)爬行的最短路程為PP',由余弦定理可得cos∠P'OP=OP2+(OP')2-(PP')22OP·OP'=4+4-122×2×2=-12,所以∠P'OP=2π3.設(shè)底面圓的半徑為(2)解:設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r,則下底面半徑為2r.由題意得,圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)l滿(mǎn)足lcos45°=2r-r=r,∴l(xiāng)=2r.又(2r-r)tan45°=3,∴r=3,l=32,∴S側(cè)=π(r+2r)l=π×32×9=272π,即圓臺(tái)的側(cè)面積為272π.(3)解:設(shè)球的半徑為R,球心為O,截面圓的圓心為O1,連接OO1,OA,則OO1=32R.在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴O1是AB的中點(diǎn),∴O1B=O1A=5.∵OO12+O1A2=OA2,∴32R2+52=R2,∴R=10,∴該球的表面積S=4πR2=4π×102變式(1)A(2)A[解析](1)由已知可得AB=2,則所得幾何體的表面積S=S圓錐側(cè)+S圓柱側(cè)+S底=π×1×2+2π×1×1+π×12=3π+2π.故選A.(2)由題意可得軸截面ABC是等腰直角三角形,設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則其母線(xiàn)長(zhǎng)為2r,所以該圓錐的側(cè)面積S1=12×2πr×2r=2πr2,表面積S2=S1+πr2=(2+1)πr2,故S1S2=2π拓展解:(1)延長(zhǎng)圓臺(tái)的母線(xiàn)交于一點(diǎn)P.設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為ccm,因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角為π,所以c=π·PA=2π×10,解得PA=20cm.同理可得PB=40cm.故AB=PB-PA=20(cm).(2)S表=S側(cè)+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).探究點(diǎn)四例4(1)B[解析]由組合體的結(jié)構(gòu)特征知,球與正方體的各個(gè)面相切,與各條棱相離.故選B.(2)解:軸截面如圖所示,設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1,r2,母線(xiàn)長(zhǎng)為l,球的半徑為R,則r2-r1=5,l=r1+r2.因?yàn)?πR2=144π,所以R=6.又l2=(2R)2+(r2-r1)2,所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132,所以l=r1+r2=13.又r2-r1=5,所以r1=4,r2=9,故S圓臺(tái)表=πr12+πr22+π(r1+r2)l=π·42變式C[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r,則該圓錐的軸截面(等邊三角形)的邊長(zhǎng)為2r,由等面積法可知圓錐的軸截面面積為34×(2r)2=12×1×6r,解得r=3,則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為23,所以該圓錐的側(cè)面積為π×3×23=6π.【課堂評(píng)價(jià)】1.D[解析]圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面圓的直徑無(wú)聯(lián)系;圓柱的母線(xiàn)與軸平行;圓臺(tái)的母線(xiàn)與軸不平行;球的直徑必過(guò)球心.故選D.2.A[解析]∵AB=4,BC=3,AC=5,∴△ABC為直角三角形,以AB所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓錐,圓錐的底面半徑為3,母線(xiàn)長(zhǎng)為5,∴圓錐的側(cè)面積為π×3×5=15π,∴圓錐的表面積為15π+π×32=24π.故選A.3.C[解析]易知球心到這條直線(xiàn)的距離d=1324.3π2[解析]易得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為12+(3)2=2,底面周長(zhǎng)為2×3×π=23π.設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ,則θ=23π2=3π.如圖,PE和PF都是圓錐PO的母線(xiàn),則PE=PF=2.連接PO