易錯(cuò)05!1!I邊形

r多邊給曲線問目易錯(cuò)點(diǎn)一：考慮不全面

平行四邊彬的判斗、易丁晟二:混淆判定條件

平行四邊招的田不唯一卜、務(wù)錯(cuò)點(diǎn)三：沒有分類討論

mT（球平行國邊彩的判定和性質(zhì)卜、易錯(cuò)點(diǎn)四：點(diǎn)清各種判定和性質(zhì)

*最短路徑而爵、易惜點(diǎn)五：無法確定對(duì)稱軸

N國冊(cè)變換問題卜一易錯(cuò)點(diǎn)六：變換前后的田形無法結(jié)合

、動(dòng)點(diǎn)問題卜、易借點(diǎn)七：找不到變量間的關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)一：考慮不全面

易錯(cuò)提醒：一個(gè)〃邊形剪去一個(gè)角后,若剪去的一個(gè)角只經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)和一邊,則剩下的形狀是〃邊形,若

剪去的一個(gè)角經(jīng)過兩條鄰邊,則剩下的形狀是（〃+1）邊形,若剪去的一個(gè)角經(jīng)過兩個(gè)相鄰點(diǎn),則剩下的形狀

是（〃-1）邊形.所以遇到相關(guān)題目時(shí)，要分類討論.

@0??

例L一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)七邊形，那么原多邊形邊數(shù)為（）.

A.6B.6或7C.6或8D.6或7或8

【答案】D

【分析】本題主要考查了截一個(gè)多邊形，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1,可能減少1,或不變,

據(jù)此畫圖利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.

【詳解】解：如圖所示,六邊形，七邊形和八邊形截去一個(gè)角后都可以形成七邊形，

???原多邊形邊數(shù)為6或7或8,

故選：D.

例2.已知正多邊形的每一個(gè)內(nèi)隹的度數(shù)等于相鄰?fù)饨堑?倍.

⑴求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).

（2）若截去?個(gè)角，求截完后所形成的新多邊形的內(nèi)角和.

【答案】（1）這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8;

⑵截完后所形成的新多邊形的內(nèi)角和為1260?；?080?；?00。.

【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出外角，川外角和360。除以一個(gè)外角的度數(shù)即可求解；

（2）分三種情況,根據(jù)多邊形的內(nèi)珀和計(jì)算公式即可求解；

本題考查了正多邊形的內(nèi)角和外知掌握多邊形的內(nèi)角和計(jì)算及分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（】）設(shè)正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為犬，則與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)等于（3”。，

:.x+3x=180,

解得X=45,

360?45=8

答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8;

（2）剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條,也可能減少了1條,或者不變，

①當(dāng)多邊形為九邊形時(shí)，

內(nèi)角和=（9一2卜180。=1260。；

②當(dāng)多邊形為八邊形時(shí)，

內(nèi)角和=（8-2）x180。=1080。；

③當(dāng)多邊形為七邊形時(shí)，

內(nèi)角和=（7—2卜180。=900。.

綜上所述,截完后所形成的新多邊形的內(nèi)角和為1260?；?080?；?00。.

變式1.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520',則原多邊形邊數(shù)為.

【答案】15或16或17

【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1,少1三種情況

進(jìn)行討論.

【詳解】設(shè)新多邊形的邊數(shù)是〃，則（〃一2）x180=2520",

解得〃=16,

???截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多1或少1.

，原多邊形的邊數(shù)是15,16,17,

故答案為：15,16,17.

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理求多邊形邊數(shù).

變式2.若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1800。，則原多邊形的邊數(shù)（）

A.12B.11或12C.12或13或14i）.11或12或13

【答案】I）

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式,先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2）/80。求出截去一個(gè)角后的多

邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,不變，減少1可得答案,理解截取一個(gè)角后多邊形的邊數(shù)的變

化情況是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角后的邊數(shù)為n,

則（〃一2）」80。=1800。，

解得〃=12,

???截去一個(gè)角后邊上可以增加1,不變,減少1,

原來多邊形的邊數(shù)是11或12或13.

故選I）.

變式3.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720。，那么原多邊形的邊數(shù)為（）

A.5B.5或6C.6或7D.5或6或7

【答案】D

【分析】根據(jù)內(nèi)角和為72（）?？傻茫憾噙呅蔚倪厰?shù)為六邊形，然后分情況求解即

【詳解】解：如圖，

剪切的三種情況：①不經(jīng)過頂點(diǎn)剪，則比原來邊數(shù)多1,

②只過一個(gè)頂點(diǎn)剪，則和原來邊數(shù)相等，

③按照頂點(diǎn)連線剪，則比原來的邊數(shù)少1,

設(shè)內(nèi)角和為720。的多邊形的邊數(shù)是〃，

??.(〃-2)180。=720。，

解得：〃=6.

則原多邊形的邊數(shù)為5或6或7.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考杳了多邊形的內(nèi)角和定理,分三種情況討論是關(guān)健.

變式4.若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,得到的新多邊形為十五邊形,則原來的多邊形邊數(shù)為.

【答案】14或15或16

【分析】分三種情況進(jìn)行討論，得出答案即可.

【詳解】解：如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，比原來多邊形少了一條邊，

???此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15+1=16;

如圖,一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，與原來多邊形的邊數(shù)相同,

???此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15;

如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，比原來多邊形多了一條邊,

???此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15-1=14;

綜上分析可知，原來的多邊形邊數(shù)為14或15或16.

故答案為：14或15或16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的邊數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,注意進(jìn)行分類討論.

1.若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是1620。.則原來多邊形的邊數(shù)可能是

()

A.10或11B.11C.11或12D.10或11或12

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和；先求出截去一個(gè)角后得到的是11邊形,再根據(jù)不同的裁切方式求出

原來多邊形的邊數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)截去一個(gè)角后的多邊形邊數(shù)為〃，

則有：(〃-2)x180。=1620。，

解得：〃=11,

如圖1,從角兩邊的線段中間部分切去一個(gè)角后，在原邊數(shù)基礎(chǔ)上增加了一條邊，則原來多邊形的邊數(shù)是10；

如圖2,從一邊中間部分，與另一頂點(diǎn)處截取一個(gè)角，邊數(shù)不增也大減,則原來多邊形的邊數(shù)是11;

如圖3,從兩個(gè)頂點(diǎn)處切去?個(gè)角，邊數(shù)減少1,則原來多邊形的邊數(shù)是12;

綜上，原來多邊形的邊數(shù)可能是1?；?1或12;

2.一天媽媽給小新出了一道智力題考他.將一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，得到這個(gè)多邊形的內(nèi)角和將會(huì)

()

A.不變B.增加180。C.減少180。D.無法確定

【答案】I)

【分析】分三種情況討論，即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)該多邊形為〃邊形,則該多邊形的內(nèi)角和為180。(〃-2),

???〃邊形截去一個(gè)角后，得到這個(gè)多邊形可能為(〃-1)邊形或〃邊形或(〃+1)邊形，

???新多邊形的內(nèi)角和為180。(〃-3)或180。(〃-2)或180。(〃-1)

???新多邊形的內(nèi)角和將不變或增加180°或減少180°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是分情況討法.

3.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,所形成的一個(gè)新多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形有條邊；

【答案】15或16或17

【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和公式，設(shè)新多邊形有n條邊，根據(jù)多邊形內(nèi)角和等于5-2）x180。列方程,求

出口的值，再根據(jù)撤去一個(gè)角后邊數(shù)的變化情況,分別討論即可.

【詳解】解：設(shè)新多邊形有〃條邊，

由題意得（〃-2）xl800=2520。,

解得〃=16,

分三種情況：

當(dāng)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)加1時(shí)，原多邊形有15條邊；

當(dāng)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)不變時(shí),原多邊形有16條邊；

當(dāng)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)減1時(shí),原多邊形有17條邊；

故答案為：15或16或17.

4.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,形成的新多邊形的內(nèi)角和是2880。,則原多邊形的邊數(shù)是.

【答案】17,18或19

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：（〃-2）?180。=2880。，求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個(gè)

角的情況進(jìn)行討論，計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

則（屋-2）」80。=2880。，

解得：〃=18,

若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為19,

若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變,則原多邊形邊數(shù)為18,

則多邊形的邊數(shù)是17,18或19,

故答案為：17,18或19.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2）/80。（〃23IL〃是整數(shù)），注意要分情況進(jìn)行討論，避免

漏解.

5.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°.則原來多邊形的邊數(shù)是.

【答案】9或10或11

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(〃-2)」80。求出截去一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)，再分情況說明求得原

來多邊形的解.

【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為〃，根據(jù)題意得：

(,2-2)180^=1440°

/./!=1()

又?■截去一個(gè)角后的多邊形的邊可以增加1、不變、減少1,

二?原多邊形的邊數(shù)為9或10或11.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式,本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于忽略考慮截去一個(gè)角后多邊形的邊數(shù)可以

不變、增加或者減少.

6.?個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形邊數(shù)為;其中邊數(shù)最少的原多邊

形從?頂點(diǎn)出發(fā)，能做條對(duì)角線.

【答案】15,16或1712

【分析】先求出新多邊形的邊數(shù),再根據(jù)截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1,少1三種情況

進(jìn)行討論;根據(jù)〃邊形(〃>3),從個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引(〃-3)條對(duì)角線解答即可.

【詳解】設(shè)新多邊形的邊數(shù)為刀，

則(〃-2).180。=2520。，

解得〃=16,

①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加I,則原多邊形邊數(shù)為15,

②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變,則原多邊形邊數(shù)為16,

③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

所以多邊形的邊數(shù)可以為15,16或17.

從卜五邊形的一頂點(diǎn)出發(fā)，能作的對(duì)角線的條數(shù)為：("3)=15-3=12(條).

故答案為：15,16或17;12.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、多邊形的對(duì)角線，解題的關(guān)鍵在于截去一個(gè)角后的多邊形與原

多邊形的邊數(shù)相等，多1,少1,有這么三種情況.

7.如果一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都為45°.

（1）求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)；

（2）若截去一個(gè)角（截線不經(jīng)過多邊形的頂點(diǎn)），求截完角后所形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和.

【答案】（1）這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8;

（2）12600

【分析】（1）利用正多邊形的性質(zhì)和多邊形的外角和計(jì)算即可；

（2）由題意確定截完角后所形成多邊形的邊數(shù)，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：由題意可得：360。+45。=8,

即這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8;

⑵解：???將正多邊形截去??個(gè)角（截線不經(jīng)過多邊形的頂點(diǎn)），

???截完角后所形成的多邊形為九邊形，

則其內(nèi)角和為：（9—2）xl800=l260°.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，正多邊形的性質(zhì)，（2）中根據(jù)題意確定截完角后所形成多邊形

的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆判定條件

平行四邊形的判定：

①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

②定理1：兩組對(duì)角分別相等的匹邊形是平行四邊形

③定理2：兩組對(duì)邊分別相等的匹邊形是平行四邊形

④定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

⑤定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

易錯(cuò)提醒：在應(yīng)用平行四邊形的判定時(shí)要注意題目所給邊或角是不是對(duì)邊、對(duì)角，否則容易造成判定的錯(cuò)

用.

例3.如圖，在"V"字形圖形中，DE=DF,BE=CF,ZD=60°,CF//DE//AB,。尸〃4?,若要求出

這個(gè)圖形的周長，則需添加的一個(gè)條件是（）

/

A.BE的&B.DE的KC.A6的KD.A6與SE的和

【答案】C

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，先得到CFDH,AGO”為平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)邊

相等得到圖形的周長為4AA解題即可.

【詳解】解：延長FD交AC,人B于點(diǎn)G、H,

'：CF//DE//ABtBE//DF//AC.

???四邊形比：O”，CFDH,AGW7為平行四邊形，

/.HB=ED=FD=CG,BE=DH=GA=CF=DG=AH,

.??圖形的周長為E8+E/)+/)F+W+C4+A5=AG+CG+A"+A〃+AA+AC=4AB,

???需要知道A3的長即可，

故選：C.

例4.如圖，在Y48CO中，點(diǎn)笈尸在對(duì)角線8?！苟?/=OE.證明：

(2)四邊形AECF是平行四邊形.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.

⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB〃CD,=根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=結(jié)合已知條件

根據(jù)SAS即可證明AABEHCDF;

⑵根據(jù)班0△C。/7可得AE=CF,NAEB=ZCFD,根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可得ZAEF=NCFE,可得

A￡〃CF,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可得出.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8C。是平行四邊形，

???AB//CD,AB=CD,

???公BE=/CDF,

'：BF=DE,

???BF-EF=DE-EF,^BE=DF,

???A4fi^ACDF（SAS）；

⑵證明：VAABE^/^CDF,

：.AE=CF、NAEB=ZCFD

:.ZAEF=NCFE

???AE//CF,

.??四邊形/I直尸是平行四邊形.

變式1.如圖，4?。和VADK都是等腰直角三角形，N84C=ND4E=90。，四邊形A8E是平行四邊形，在

不添加輔助線的情況下，圖中與AACE全等的三角形共有個(gè).

【答案】3

【分析】本題考查了全等三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，平

行四邊形的性質(zhì)利用SSS,SAS即可證明出與AACE全等的三角形共有3個(gè).

【詳解】解：A3c和VAO石都是等腰直角三角形，ZBAC=Z￡ME=90°,

：.AB=AC,AE=ADt

四邊形ACDE是平行四邊形,

：.AE=CD,AC=DE,

??.ACEWOEC(SSS)；

ZBAC=ZDAE=900,

：.^BAC+ADAC=ZEAD+ADAC,即/班。=ZE4C,

A故-AC￡(SAS);

四邊形ACQE是平行四邊形，

.\ZC4D=Z4DE=45°,

ZCAE=45°+90°=135°,ZBAE=180°-ZCDA=135°,

.\ZCAE=ZBAE,

.aACEgA阻SAS)；

綜上與/MCE全等的三角形共有3個(gè)；

故答案為：3.

變式2.在四邊形ABC。中，A3〃CZ),A8=8.要使四邊形A8CD是平行四邊形，則C。的長為.

【答案】8

【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定,正確把握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.

直接利用平行四邊形的判定方法得出入3〃CD人8=8時(shí)四邊形ABCO是平行四邊形一

【詳解】解：當(dāng)AB〃6，/W=C。時(shí)，四邊形AOCO是平行四邊形，

AB//CD,AB=S,

???當(dāng)6=8時(shí)，四邊形A3CQ是平行四邊形，

故答案為：8.

變式3.如圖，在Y4BCO中，AE=g/t。，C^=gBC,求證：EG=FH

【答案】見解析

【分析】證明四邊形AEb是平行四邊形，得到G尸〃￡”，再證明四邊形方尸是平行四邊形，得到

GE//FH,則四邊形EGF”是平行四邊形，即可得到反7二尸”.此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握平行四邊形的判定并靈活選擇方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在YA8C。中，AD/；BC,AD=BC,

???AE=-AD,CF=-BC,

22

???AE=CF,

VAE||CF,

.??四邊形AEb是平行四邊形，

，AF//CE,

JGF//EH,

VAE=CF,AD=BC,

/.DE=BF,

,/DE〃BF,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

:?BE〃DF,

:.GE〃FH,

???四邊形EGFH是平行四邊形，

???EG=FH.

變式4.如圖，已知YABC。，AC、8。相交于點(diǎn)。延長CO到點(diǎn)￡使C￡>=OE,連接AE.

(1)求證：四邊形/W/犯是平行四邊形：

(2)連接BE,交4。于點(diǎn)￡連接。F,判斷CE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析；

(2)CE=40尸，理由見解析.

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)；

⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到48〃8，A8=8,再根據(jù)等量代換得到加=。區(qū)即可得到結(jié)論;

⑵根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到QB=OZ),防=碇，然后根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)解題即可.

【詳解】⑴證明：.?四邊形A8CD是平行四邊形,

:.AB〃CD,AB=CD,

又QCD=DE,

AB=DE,

，四邊形A4DE是平行四邊形;

⑵CE=40F.

,四邊形A8Z店是平行四邊形,

:.BF=EF,

又,ABCD中，OB=OD,

.??O”是二也切的中位線,

:.DE=20F,

CE=2DE,

:.CE=4OF.

1.如圖，在二46c中，點(diǎn)/)、從廠分別在人從AC.AC上，連接￡)￡1、￡7"且

AH?

DE//BCEF//AB,—=T.若叫邊形8。斯的面積為16,則VAOE的面積為()

tBD2

n1616

A.4BC.2D.——

-75

【答案】A

【分析】本題考杳了平行四邊形的判定和面積計(jì)算，三角形的面積計(jì)算，由OE〃&?，印〃即得到四邊形

BDEF為平行四邊形,利用平行四邊形8OEr與VAOE同高即可求解,利用平行四邊形與三角形同高找到面

積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作FHJ.43于點(diǎn)H,

丁DE//BC,EF//AB,

???四邊形8QQ為平行四邊形，

?/四邊形BDEF的面積為16,

???BDFH=T6

??絲」

,BD~2'

???20D2FH=,

AADFH=8,

Z.S.nF=-AD-FH=-xS=4,

TAD匕22

故選：A.

2.如圖，在等腰梯形ABC。中，仍平行“，對(duì)角線AC13。于點(diǎn)Q48+8=24,8C=13,則%巫=.

'△BCD

【分析】作BEJ.DC「點(diǎn)、七BF；/AC交延長線于點(diǎn)F,,從而構(gòu)建了平行四邊形4a必，則把A4+CD轉(zhuǎn)

化到￡>“邊上，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求出8￡=。七=所=12,由勾股定理求出CE的長，從而

CE=g(CO-A8)=5,然后求出AB,CO的值即可求解.

【詳解】解：如圖，作BE_LOC于點(diǎn)/:；4產(chǎn)〃AC交。C延長線于點(diǎn)回

o

DECF

VAC1BD,

:?BFLBD,

???四邊形A8CO是等腰梯形，

，AC=BD,

VAB9CDtBF//AC,

.??四邊形ACFB是平行四邊形

，AB=CF,AC=BF,

???DF=CD+CF=CD+AB=24,AC=BD=BF

?：BF1BD,

，V8￡)/是等腰直角三角形，

:.△BDE、/王是等腰直角一角形，

???BE=DE=EF=-x24=\2,

2

在RtACE中，根據(jù)勾股定理得：

CE=y]BC2-BE2=V132-122=5,

*：CE=^(CD-AB)=5t

???CO-A8=10,又AB+CO=24,

：.CD=\7,AB=71

,/AABD與△BCD等高，

,SAABD_48_7

??=一而一斤

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰題型的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定

理,根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，在ABC中，AB=AC,ADIBC于點(diǎn)D,延長DC到點(diǎn)￡使CE=CD,過點(diǎn)￡作跖〃AO交AC的

延長線于點(diǎn)區(qū)連接4區(qū)DF.

A

(1)求證：四邊形AO正是平行四邊形；

⑵若BD=2,AE=5,直接寫出CF的長.

【答案】⑴見解析

(2)CF=V13

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理

等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

⑴證,ASA),得核=4),再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得=A￡=5,再由等腰三角形的性質(zhì)得8=80=2,則Z)石=2CD=4,進(jìn)而由勾

股定理得研=3,然后利用勾股定理求出Cb的長即可.

【詳解】⑴證明：?.?E尸〃AD,

:.NFEC=NADC、

在△FCE與，ACZ)中，

NFEC=NADC

<CE=CD,

NFCE=/ACD

二.FCEqACD(ASA),

：.EF=AD,

又.EF//AD,

二?四邊形4DFE是平行四邊形；

(2)解：由(1)可知四邊形4OFE是平行四邊形，

.-.DF=AE=5,

vAB=AC,ADIBC,

:.CD=BD=2,

:.CE=CD=2t

:.DE=2CD=4t

\'EF//AD,

:.EF1BC,

/.ZDEF=90°.

:.EF=JDF?-DE?=752-42=3，

:.CF=>ICE2+EF2=V22+32=V13.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，尸是力。的中點(diǎn)，延長8C到點(diǎn)E,使=連接CF.

(1)求證：四邊形CEE正是平行四邊形；

⑵若A3=4,AD=6,ZA=12()。，求。E的長和平行四邊形A8C。的面積.

【答案】(1)見解析

⑵平行四邊形A3CD的面積為12后，DE=V13

【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

(1)由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知A。BC,旦AO=AC;然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合已知

條件推知四邊形CEQb的對(duì)邊平行目.相等，即四邊形CEQF是平行四邊形；

(2)如圖，過點(diǎn)〃作于點(diǎn)〃構(gòu)造含30度角的直角DCH和直角DHE.通過解直角,DC”和在直

角工中運(yùn)用勾股定理來求線段￡7)的長度.

【詳解】⑴證明：在平行四邊形A8CD中，A。3C且AO=8C,

???尸是4)的中點(diǎn)，

???DF=-AD,

2

?：CE=-BC.

2

???DF=CE,

???DF=CE,DF\\CE,

???四邊形是平行四邊形;

(2)如圖,過點(diǎn)D作。，上BE于點(diǎn)、//

VAB|CD,Z4=120°,

/.ZZX?E=60°.

V/A?=4.

，CO=A8=4,

???在RtDC”中，NDCE=60。，

???/CD"=30。

???CH=2,

，DH=ylDC2-CH2=>/42-22=25/3，

，平行四邊形ABCD的面積為BCDH=Af>DH=6x26=126,

在平行四邊形CEDF中，。七二。/=；4。=3,

則EH=CE-CH=3-2=1,

.?.在RtDHE中，

DE=^DH2+EH2=,(2可+12=V13.

5.如圖是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).以8c的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用

無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖1中，先畫48c的角平分線BD,再畫點(diǎn)。關(guān)于直線8。軸對(duì)稱的點(diǎn)E-,

(2)在圖2中，先在AC上畫點(diǎn)F,使乙46尸=45。，再畫Y/3尸G.

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析

【分析】⑴取格點(diǎn)八使A8=8/，取AF的中點(diǎn)G,連接BG,交AC于點(diǎn)。，8。即為，ABC的角平分線，

連接尸。并延長，交A8于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為所求；

(2)取格點(diǎn)。連接08,AD,易得△A8O為等腰直角三角形，進(jìn)而得到487)=45。，則用X4C的交點(diǎn)即為點(diǎn)

”，取A5的中點(diǎn)N,連接FN并倍長,得到點(diǎn)M，連接M4,并倍長,得到點(diǎn)G,連接汽;，即可得到XABFG.

【詳解】(1)解：如圖所示，30,點(diǎn)E即為所求；

由圖可知：A^=V37+47=5=BF.

???G為"的中點(diǎn)，

???BGLAF,8G平分NA3C,

VACJ.BC,AC,8G交于點(diǎn)

，DEJ.AB,

???DE=CD,

又BD=BD,

RtBDEgRtBDC,

:?BE=BC,

???BO為CE的中垂線，即：CE關(guān)于5。對(duì)稱;

(2)如圖，點(diǎn)F,"BFG即為所求.

由圖可知：AB=AD=V32+42=5,BD=712+72=5X/2,

,AB2+AD2=BD2>

???△A3。為等腰直角三角形，

???乙隹產(chǎn)二45。,

由圖可知：AMN^BFN,AM=AG,

：.BF=AM=AG,Z1AMN="FN,

；?B/〃AM,即：BF//AG,

???四邊形/WPG是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查無刻度直尺格點(diǎn)作圖.涉及等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，平行四邊形

的判定，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn),是解題的關(guān)鍵.

6.【問題探究】如圖,六邊形A8COE廠的六個(gè)內(nèi)角均為120。，分別延長CB、E4交于點(diǎn)G,得到，ABG.請(qǐng)

判斷.A8G的形狀，并證明你的結(jié)論.

【結(jié)論應(yīng)用】若AB=3,8c=5,8=4,DE=1,直接寫出六邊形A8C。律的周長為.

【答案】問題探究：A8G為等邊三角形;理由見解析;結(jié)論應(yīng)用：22

【分析】問題探究：根據(jù)/48。=/以尸=120。，得出

ZABG=180°-ZABC=60°,ZBAG=180°-/BAF=60。，證明ZABG=NG=NR4G,即可證明結(jié)論;

結(jié)論應(yīng)用：延長CD.正交于點(diǎn)〃根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出

NG=N〃=60。、AB=AG=BG=3,。石=O"=E"=1,證明四邊形CG-7為平行四邊形，得出

GF=CH=5,FH=CG=S,^\\\AF=GF-AG=5-3=2,￡F==8-1=7,最后求出結(jié)果即

可.

【詳解】解：問題探究：，48G為等邊三角形.理由如下：

???六邊形AI3CDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120。，

/.ZABC=ZBAF=120°,

???ZABG=180°-ZABC=60°.NBAG=180°-ZBAF=60°,

:.ZG=180。-60。-60。=60。，

ZABG=ZG=ZBAG,

??.ABG為等邊三角形.

延長CO,FE交「?點(diǎn)H,如圖所示：

根據(jù)問題探究可知，△DEW、ABG都是等邊一角形，

/G=/H=60°,AI3=AG=BG=3,DE=DH=EH=1,

/.CG=BC+BG=5+3=8,CH=CD+DH=4+1=5,

???ZC=120°,

:.ZC+ZG=180°,ZC+Z//=180°,

???CH||GF,CG//FH,

???四邊形CGFH為平行四邊形，

：.GF=CH=5tFH=CG=8,

???A/=G產(chǎn)一AG=5—3=2,EF=FH-EH=S-\=7,

:.六邊形ABCDEF的周長為：

3+5+4+1+7+2=22.

故答案為：22.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，鄰補(bǔ)角的計(jì)

算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定方法.

7.如圖，點(diǎn)E為平行四邊形A8Q)的邊A。上的一點(diǎn),連接出并延長，使班'=8七,連接EC并延長，使

CG=C￡,連接柘，〃為尸G的中點(diǎn)，連接OH,AF.

(1)若NBAE=65。，NZX?E=25。，求NOEC的度數(shù)；

(2)求證：四邊形AFHO為平行四邊形；

⑶連接石“，交8c于點(diǎn)0,若OB=OE,/G=8,直接寫出O”的長度.

【答案】(1)ZDEC=40°

(2)見解析

(3)。”=2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理.、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行

四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

⑴由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得，人力;鳥。，AD//BC,N84￡=N8CD,再證3C是&EFG的中位線，得

BC//FH,正出AD〃FH,40=然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(3)連接3"，EH,C",由三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解：.四邊形八BCD為平行四邊形，

;.NBAE=NBCD=65。,AD//BC,

:.NDEC=NBCE,

???NBCE=/BCD-ZDCE=65°-25°=40。，

.-.ZDEC=ZBCE=40°;

(2)證明：.?四邊形A8CD為平行四邊形，

/.AD=I3C,AD//BCt5AE=NBCD,

BF=BE,CG=CEt

」.BC是，所G的中位線，

/.BC//FG,BC=-FG,

2

，為AG的中點(diǎn),

：.FH=-FG,

2

：,BC//FH,BC=FH,

:.AD//FH,AD=FH,

???四邊形A/77O為平行四邊形;

(3)如圖，連接BH,EH、CIf,

?：CE=CG,FH=HG,

:.CH=-EF,CH//EF,

2

EB=BF=-EF,

2

:.BE=CH,

???四邊形為平行四邊形,

:.OB=OC,OE=OH、

\OB=OE,

:.OE=OH=OB=OC=-BC,

2

BC=-FG=BC=-x8=4,

22

:.0H=-BC=2.

2

易錯(cuò)點(diǎn)三：沒有分類討論

易錯(cuò)提醒：對(duì)于沒有給出圖形的題目，我們要根據(jù)題意自己畫出圖形,這時(shí)候就要注意分類討論,要時(shí)刻保

持分類討論的思想,具體問題具體分析.

例5.在平行四邊形A8CD中，40=8,4E平分交直線8C于點(diǎn)E,。/平分NAOC交直線8C于點(diǎn)

尸，且E尸二2,則A8的長為（）

A.3B.5C.2或3D.3或5

【答案】I）

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等侑得出A8=8EC/=CZ），然后分類討論即

可求解.

【詳解】解：如圖所示，平行四邊形A8C。中，AO=8,

??.BC=AD=8,BC//AC,CD=ABt

NDAE=NAEB,ZADF=/DFC,

,/AE平分ZRAD交直線皮:于點(diǎn)E,D戶平分^ADC交直線卜點(diǎn)、F,

/.NBAE=/DAE,/ADF=NCOE

ZBAE=ZAEB,4CFD=NCDF,

/.AB=BE,CF=CD,

?:EF=2,

BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8,

???AB=5;

如圖，同理可得A8=B￡C/=CD

D

；.BC=BE+CF+EF=2AB+EF=8,

???￡”=2,

AB=3,

綜上分析可知，A8的長為3或5,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義,平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，熟練掌握平行四邊形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.平行四邊形A8C。中，A8=2,BC=3,AE_L8C交直線3。于E,若平行四邊形A8CQ的面積為36,

則CE的長為.

【答案】2或4/4或2

【分析】分兩種情形考慮：如圖1中，當(dāng)高AE在平行四邊形內(nèi)部時(shí)，如圖2中，當(dāng)高?在平行四邊形外部

時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理艮］可解決問題.

【詳解】解：如圖1中，當(dāng)高AE在平行四邊形內(nèi)部時(shí)，

圖1

???3XAE=G，

:.AE=y/3,

在R/A8E中，

■:AB=2,AE=y/3,

:.BE=yiAB2-AE2=百_（揚(yáng)2=1,

，EC=CB-BE=3-\=2.

如圖2中，當(dāng)高4E在平行四邊形外部時(shí),

圖2

由第一種情況可知￡4:1.

:.CE=EB+BC=l+3=4,

故答案為：2或4.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，有兩種情形，考慮問

題要全面,屬于中考常考題型.

變式1.已知YA3CO中，AB=8cm,BC=5cm,過點(diǎn)“作_LCD交CD所在的直線于〃若8〃=4cm,則

DH=cm.

【答案】5或11

【分析】分類討論：①〃在CO上，可求C〃=3,從而可求，②〃在QC的延長線上，同理即可求解..

【詳解】解：①如圖，”在CO上，

?,BHLCD,

\2BHC907,

：.CH=\IBC2-BH2

=^52-42=3?

???四邊形48co是平行四邊形,

.-.CD=AB=S,

:.DH=CD-CH=5;

②如圖，，在。C的延長線上，

由①同理可求：CH=3,

:.DH=CD+CH=\\;

綜上所述，DH=5cm或11cm,

故答案：5或11.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理,掌握平行四邊形的性質(zhì)，找出〃的不同位置是解題的關(guān)

鍵.

變式2.已知在YA8co中，和/C的平分線分別交直線A。交于點(diǎn)￡人若河=5,石尸=3,則AO的長

為.

【答案】7

【分析】由題意知，分①￡F在線段A。上，如圖1;②￡F在直線AD上，如圖2;③當(dāng)E"一點(diǎn)在線段

人。上，一點(diǎn)在線段的延長線上，如圖3;三種情況求解;根據(jù)題意可知。產(chǎn)=DC=5,AE=AB=5,然后根

據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷求解口】可.

【詳解】解：由題意知，分三種情況求解：

①E,產(chǎn)在線段AO上，如圖1,

圖1

由題意如NDCF=NRCF,ZARE=NCRE,CD=AH=5,

??,BC//AD,

J￡DFC=NBCF,ZAEB=NCBE,

???ZDCF=ZDFC,ZABE=ZAEB,

JDF=DC=5,AE=AB=5,

EF=3,

???DE-DF-EF-2,

???AD=AE+DE=7;

②E,”在直線AO上，如圖2,

同①，可知OF=DC=5,AE=AB=5,

???EF=FA+AE>5>3,

?.?此情況不成立；

③當(dāng)Ef一點(diǎn)在線段AO匕一點(diǎn)在線段4。延長線上，如圖3,

同①，可知。"=￡>€=5,AE=AB=5.

EF=DF+DE>5>3,

???此情況不成立；

綜上所述，AO的長為7,

故答案為:7.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線,等角對(duì)等邊等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于分情況討論求解.

變式3.過平行四邊形A8C。對(duì)角線交點(diǎn)。作直線力，分別交直線48于點(diǎn)￡交直線CO于點(diǎn)￡若

AB=3,AE=5,則ZF的長是.

【答案】8或2/8或2

【分析】由題意易得〃在8的延長線上或￡在DC的延長線上:所以。尸的長不唯一,根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)尸在OC的反向延長線上時(shí)，如圖1所示，

FDC

BE

四邊形ABC。是平行四邊形

：.AO=CO,FC//AE,NF=NE,

在zMOE和，CO產(chǎn)中,

NF=NE

NFOC=NAOE

CO=AO

:.^COFAOE(AAS)

AE=CF=5

AB=CD=3

.?.BE=DF=5—3=2

:.DF=2

當(dāng)尸在DC的延長線上時(shí)，如圖2所示,

同理可得：的=5+3=8,

DF=8.

故答案為：8或2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及性質(zhì)，解題時(shí)要注意6點(diǎn)的位置不唯一，要

分別討論，這是解題關(guān)鍵.

變式4.四邊形48co是平行四邊形，AB=5,/胡。的平分線交直線8c于點(diǎn)E,若CE=2,貝!YA8C。的

周長為.

【答案】16或24/24或16

【分析】可分兩種情況：當(dāng)E點(diǎn)在線段上時(shí)；當(dāng)E點(diǎn)在線段8c延長線上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)知

BC//AD,由平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可得N4E4=NK4E,進(jìn)而可求解屈的長，即可求得8C的長,

再根據(jù)平行四邊形的周長可求解.

【詳解】解：當(dāng)E點(diǎn)在線段8c卜時(shí)，如圖：

/.BC〃AD、

:.ZBEA=ZEADt

AE平分

;.ZBAE=NEAD,

:.ZBEA=ZBAE,

BE—AB,

*.AB=5,

:.BE=5,

CE=2,

fiC=BE+CE=5+2=7,

???立行四邊形ABC￡)的周長為：2X(5+7)=24,

當(dāng)E點(diǎn)在線段BC延長線上時(shí),如圖

四邊形A8CO為平行四邊形，

BC//AD,

.\ZBEA=ZEAJ),

AE平分NBA。，

.?.NBAE=NEAD,

，NBEA=/BAE,

BE=AB,

AB=5,

/.BE=5,

,.?CE=2,

..BC=BE-CE=5-2=3,

「?平行四邊形48CQ的周長為：2X(5+3)=16,

綜上,平行四邊形八BCO的周長為16或24.

故答案為：16或24.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，證明破=反求解況:的長是解題的關(guān)鍵.

1.四邊形ABCO是平行四邊形，AB=12,的平分線交直線3C于點(diǎn)E,若C￡=4,則四邊形A8CO的

周長為.

【答案】56或40/40或56

【分析】可分兩種情況：當(dāng)￡在線段8c上時(shí)，當(dāng)￡在線段8c延長線上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)知8C〃A?

由平行線的性質(zhì)即角平分線的

定義可得=進(jìn)而可求解電的長，即可求得8C的長，再根據(jù)平?行四邊形的周長可求解.

【詳解】解：當(dāng)月在線段BC上時(shí)，如圖,

???四邊形48co是平行四邊形，

???BC//AD,

'ZBEA=ZEADt

???AE平分N84D,

/.ZME=ZE4Z),

AZBA￡=ZBE4,

BE=AB、

*/AB=\2,

，跖二12,

VCE=4,

/.BC=BE+CE=12+4=16,

???四邊形ABC。的周長為：2x(12+16)=56；

當(dāng)f在線段BC延長線1:時(shí),如圖，

???四邊形48co是平行四邊形,

??.BC//AD,

/.ZBEA=ZEADt

丁AE平分一曲￡>,

???ZBAE二NEAD、

^ABAE=ZBEA,

BE=AB,

VAB=\2,

/.BE=\2,

VCE=4,

.??BC=BE-CE=12-4=8,

???四邊形A8CO的周長為：2X(12+8)=40；

綜上：四邊形A8CO的周長為56或40,

故答案為：56或40

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，證明跖=他求解的的長是解題的關(guān)鍵.

2.平行四邊形A3CO的周長為16cm,NA8C的角平分線交邊AD所在直線于點(diǎn)￡且AE：ED=3：2,則

AB=.

【答案】6cm或3cm/3cm或6cm

【分析】證一A班:是等腰三角形,分兩種情況,分別求得答案即可.

【詳解】

圖1

解：分兩種情況：

①角平分線4。在YABCD內(nèi)部,如圖1,

.四邊形A8CD是平行四邊形，

AD//BC,AB=CD,AD=BC,

A8+AO=gxl6=8（cm）,ZAEB=/CBE,

Z44C的平分線交AD所在的直線「點(diǎn)E,

:.ZABE=NCBE,

:.ZABE=ZAEB.

-'-AB=AE,

AE:ED=3:2t

AB:AD=3:5,

3

.：A8的長為：8x-=3（cm）.

o

ADE

②角平分線AQ在YABCD外部,如圖2,

?四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AD//BC,AB=CD,AD=BC,

，AB+4O=gxl6=8（cm）,ZAEB=NCBE,

ZABC的平分線交AO所在的直線于點(diǎn)E,

；.ZABE=NCBE,

:.ZABE=ZAEB,

.'.AB=AE,

.AE:ED=3:2,

：.AB:AD=3;\,

3

的長為：8x-=6（cm）.

故答案為：6cm或女m.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).注意分類討論.

3.在YA8CD中，NA3C的平分線交直線AO于點(diǎn)E,A8=4,OE=1,則YA3CD的周長為.

【答案】14或18

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，分類討論：①當(dāng)N/WC的平分線在4。上,②當(dāng)N/WC

的平分線在A。的延長線上，即可.

【詳解】???四邊形A3CD是平行四邊形，

，AD〃BC,AB=DC,

???ZAEB=ZCBE,

①當(dāng)NA8C的平分線在4。上,如圖1,

???/A8c的平分線交直線AOr點(diǎn)E,

???ZABE=NCBE,

工ZAEB=ZABE,

：,AE=AB=4,

*/DE=l,

AD=5,

：.CA%。=4+4+5+5=18；

②當(dāng)/A8C的平分線在AD的延長線上,如圖2,

,/AD^BC,

：.AE//BC,

JZAEB=NCBE、

?：/ABC的平分線交直線AO于點(diǎn)E,

???ZABE=Z.CBE,

ZAEB=ZABE,

?tAE=AB=4,

,/DE=\,

：,AD=3,

:.CABCD=4+4+3+3=14；

???平行四邊形ABC。的周長為：14或18.

故答案為：14或18.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和等腰三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊.

4.如圖,在平行四邊形A8CO中，ZD=50°,以點(diǎn)片為圓心，BC長為半徑作弧,交直線AA與點(diǎn)￡連接CE,

則/OCE的度數(shù)為.

【答案】65?；?55。

【分析】如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)6在6c上方時(shí)，先由等邊對(duì)等角得到“=再由平行四邊形的性質(zhì)得到

AB//CD,Z^=ZD=50°,利用三角形內(nèi)角和定理求出/E的度數(shù)即可利用平行線的性質(zhì)得到答案；如圖2

所示，當(dāng)點(diǎn)￡在BC下方時(shí)，先求出/ABC,N8CD的度數(shù),進(jìn)而得到NE6C的度數(shù),再根據(jù)等邊對(duì)等角和三

角形內(nèi)角和定理求出N8CE的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)￡在8C上方時(shí)：由題意得，

/.4E=/BCE,

???四邊形48CQ是平行四邊形，ZD=50°.

AB//CD,NB=ND=50°,

二65。，

工/DCE=NE=65°,

圖1

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)￡在8C下方時(shí),

???四邊形4BCO是平行四邊形,

AZABC=ZD=50°,AD//BC,

二ZEBC=130°.ZBCD=1800-ZD=130°,

BE=BC,

,/8CE=/EJ8。。-

2

：.ZDCE=/BCD+NBCE=I55C;

綜上所述，NOCE的度數(shù)為65。或155。,

故答案為：65?；?55。.

E圖2