幾何上凸函數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)=x^2\)在區(qū)間\([0,+\infty)\)上是（）A.凹函數(shù)B.凸函數(shù)C.既非凹也非凸D.不確定2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上二階可導(dǎo)且\(f''(x)>0\)，則\(f(x)\)在\(I\)上是（）A.凸函數(shù)B.凹函數(shù)C.線性函數(shù)D.常值函數(shù)3.以下函數(shù)中在\(R\)上是凸函數(shù)的是（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=e^x\)C.\(y=-x^3\)D.\(y=\lnx\)4.凸函數(shù)\(f(x)\)滿足對(duì)于任意\(x_1,x_2\inI\)，\(\lambda\in[0,1]\)，有（）A.\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)B.\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\geq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)C.\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)=\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)D.以上都不對(duì)5.函數(shù)\(f(x)=-x\)在\(R\)上是（）A.凸函數(shù)B.凹函數(shù)C.既是凸函數(shù)又是凹函數(shù)D.既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)6.若\(f(x)\)是區(qū)間\([a,b]\)上的凸函數(shù)，\(x_1,x_2,x_3\in[a,b]\)且\(x_1<x_2<x_3\)，則以下式子成立的是（）A.\(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\)B.\(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\)C.\(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\)D.無(wú)確定關(guān)系7.函數(shù)\(f(x)=x\)在區(qū)間\((-\infty,+\infty)\)上（）A.是凸函數(shù)但不是凹函數(shù)B.是凹函數(shù)但不是凸函數(shù)C.既是凸函數(shù)又是凹函數(shù)D.既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)8.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上，\(f'(x)\)單調(diào)遞增，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上是（）A.凸函數(shù)B.凹函數(shù)C.無(wú)法確定D.線性函數(shù)9.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在區(qū)間\((-\infty,0)\)上是（）A.凸函數(shù)B.凹函數(shù)C.既凸又凹D.非凸非凹10.凸函數(shù)\(f(x)\)的圖像特點(diǎn)是（）A.任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下方B.任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方C.圖像是直線D.圖像是折線二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些函數(shù)是凸函數(shù)（）A.\(y=x^4\)B.\(y=2x^2+1\)C.\(y=-x^2\)D.\(y=3x\)2.對(duì)于凸函數(shù)\(f(x)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.若\(f(x)\)二階可導(dǎo)，則\(f''(x)\geq0\)B.滿足Jensen不等式C.其切線斜率單調(diào)遞增（若可導(dǎo)）D.函數(shù)圖像是上凸的（向下彎曲）3.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上是凸函數(shù)，\(x_1,x_2\inI\)，\(\lambda\in(0,1)\)，則有（）A.\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)B.當(dāng)\(f(x)\)二階可導(dǎo)時(shí)，\(f'(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖像上任意弦的中點(diǎn)在對(duì)應(yīng)弧段中點(diǎn)的上方D.若\(x_1<x_2\)，則\(f(x_1)\leqf(x_2)\)4.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是凸函數(shù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）B.\(y=\cosx\)（\(x\in[0,\pi]\)）C.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)（\(x\geq0\)）D.\(y=\log_2x\)（\(x>0\)）5.關(guān)于凸函數(shù)與凹函數(shù)，正確的是（）A.函數(shù)\(f(x)\)是凸函數(shù)，則\(-f(x)\)是凹函數(shù)B.線性函數(shù)既是凸函數(shù)又是凹函數(shù)C.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是凸函數(shù)，則\(f(x)+g(x)\)也是凸函數(shù)D.凸函數(shù)一定是單調(diào)遞增函數(shù)6.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上是凸函數(shù)，且\(f(x)\)可導(dǎo)，則（）A.\(f'(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增B.對(duì)于任意\(x_0\in(a,b)\)，\(f(x)\geqf(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)C.函數(shù)圖像的切線斜率隨\(x\)增大而增大D.\(f(x)\)在\((a,b)\)上有最大值7.以下函數(shù)性質(zhì)與凸函數(shù)相關(guān)的是（）A.中點(diǎn)凸性B.切線支撐性質(zhì)C.函數(shù)的單調(diào)性D.Jensen不等式成立8.已知\(f(x)\)是凸函數(shù)，\(g(x)\)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(f(g(x))\)是凸函數(shù)B.\(g(f(x))\)不一定是凸函數(shù)C.\(f(x)+g(x)\)是凸函數(shù)D.\(f(x)g(x)\)是凸函數(shù)9.凸函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([m,n]\)上滿足（）A.\(f(x)\)在\([m,n]\)上連續(xù)（若滿足一定條件）B.\(f(x)\)在\([m,n]\)上的最大值在端點(diǎn)處取得C.\(f(x)\)在\([m,n]\)上的最小值可能在區(qū)間內(nèi)部取得D.\(f(x)\)在\([m,n]\)上的圖像是下凸的（向上彎曲）10.下列判斷函數(shù)凸性的方法正確的是（）A.利用二階導(dǎo)數(shù)判斷，若\(f''(x)\geq0\)則為凸函數(shù)B.利用定義判斷，驗(yàn)證\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)C.觀察函數(shù)圖像形狀判斷D.利用一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判斷，若\(f'(x)\)單調(diào)遞增則為凸函數(shù)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)=-2x^2\)在\(R\)上是凸函數(shù)。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上滿足\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\geq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)，則\(f(x)\)是凸函數(shù)。（）3.凸函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)。（）4.函數(shù)\(y=\tanx\)在其定義域內(nèi)是凸函數(shù)。（）5.若\(f(x)\)二階可導(dǎo)且\(f''(x)=0\)恒成立，則\(f(x)\)既是凸函數(shù)又是凹函數(shù)。（）6.對(duì)于凸函數(shù)\(f(x)\)，若\(x_1<x_2\)，則\(f(x_1)<f(x_2)\)。（）7.線性函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）不是凸函數(shù)。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上，\(f'(x)\)單調(diào)遞減，則\(f(x)\)是凸函數(shù)。（）9.凸函數(shù)\(f(x)\)圖像上任意兩點(diǎn)間的弦的斜率隨著兩點(diǎn)橫坐標(biāo)間距的增大而增大。（）10.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是凸函數(shù)，那么\(f(x)g(x)\)也是凸函數(shù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述判斷一個(gè)函數(shù)是否為凸函數(shù)的常用方法。答案：常用方法有：定義法，驗(yàn)證\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)；二階導(dǎo)數(shù)法，若\(f(x)\)二階可導(dǎo)，\(f''(x)\geq0\)則為凸函數(shù)；一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)性法，\(f'(x)\)單調(diào)遞增則為凸函數(shù)。2.說(shuō)明凸函數(shù)的Jensen不等式內(nèi)容。答案：若\(f(x)\)是區(qū)間\(I\)上的凸函數(shù)，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\inI\)，\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\geq0\)且\(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1\)，則\(f(\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i)\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)\)。3.舉例說(shuō)明一個(gè)凸函數(shù)和一個(gè)凹函數(shù)，并說(shuō)明其判斷依據(jù)。答案：凸函數(shù)\(f(x)=x^2\)，\(f''(x)=2>0\)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)法是凸函數(shù)；凹函數(shù)\(g(x)=-x^2\)，\(g''(x)=-2<0\)，由二階導(dǎo)數(shù)法知是凹函數(shù)。4.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上是凸函數(shù)，且\(f(x)\)可導(dǎo)，說(shuō)明\(f(x)\)與它在某點(diǎn)\(x_0\in[a,b]\)處切線的關(guān)系。答案：對(duì)于任意\(x\in[a,b]\)，\(f(x)\geqf(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)，即凸函數(shù)圖像在其任意一點(diǎn)處切線的上方。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論凸函數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：在優(yōu)化問(wèn)題中，凸函數(shù)性質(zhì)很關(guān)鍵。若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，那么局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。可利用凸函數(shù)特性設(shè)計(jì)高效算法，如梯度下降法在凸函數(shù)優(yōu)化中有良好收斂性，能快速找到最優(yōu)解，提高優(yōu)化效率。2.探討凸函數(shù)與實(shí)際生活中一些現(xiàn)象的聯(lián)系。答案：如成本函數(shù)，在一定生產(chǎn)規(guī)模內(nèi)可能是凸函數(shù)，隨著產(chǎn)量增加，邊際成本上升。還有效用函數(shù)，一些情況下消費(fèi)者對(duì)商品的邊際效用遞減，反映在函數(shù)上可能呈現(xiàn)凸性。這些聯(lián)系有助于分析經(jīng)濟(jì)、決策等實(shí)際問(wèn)題。3.討論如何利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明一些不等式。答案：可依據(jù)Jensen不等式，構(gòu)造合適的凸函數(shù)和變量取值。比如要證關(guān)于正數(shù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的不等式，找到相關(guān)凸函數(shù)\(f(x)\)，確定\(\lambda_i\)，代入Jensen不等式化簡(jiǎn)，從而證明不等式。4.分析凸函數(shù)和凹函數(shù)在圖像上的本質(zhì)區(qū)別及對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響。答案：凸函數(shù)圖像任意兩點(diǎn)間弧段在兩點(diǎn)連線下方，凹函數(shù)則相反。凸函數(shù)切線斜率遞增，函數(shù)值增長(zhǎng)加快；凹函數(shù)切線斜率遞減，函數(shù)值增長(zhǎng)變慢。這導(dǎo)致凸函數(shù)有一些如Jensen不等式