593期【解三角】二輪解三角形6講本講適合一二輪時(shí)快速過一遍解三角形部分的知識點(diǎn)、技巧、題型等，包括解三角形中的基本結(jié)論與應(yīng)用、對邊對角模型及應(yīng)用、平方差公式與射影定理、爪型三角形中的范圍與技巧、處理解三角形范圍問題的8大角度、三角形中的特殊點(diǎn)及軌跡問題目錄TOC\o"1-2"\h\u3941一、解三角形中的基本結(jié)論與應(yīng)用 22369二、對邊對角模型及應(yīng)用 56659三、平方差公式與射影定理 98880四、爪型三角形中的范圍與技巧 1430211五、處理解三角形范圍問題的8大角度 206504角度1、對邊對角模型 2026312角度2、正弦定理邊角轉(zhuǎn)化 2126859角度3、齊次邊型分式結(jié)構(gòu) 2212526角度4、余弦定理求角的最值 231553角度5、秦九韶公式 2530159角度6、爪型三角形與等面積方法 2613586角度7、斯特瓦爾特定理與均值不等式 2630721角度8、恒等變換型目標(biāo)函數(shù) 2826749六、三角形中的特殊點(diǎn)及軌跡問題 30一、解三角形中的基本結(jié)論與應(yīng)用（一）基本結(jié)論1、1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有(為的外接圓的半徑).2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；④.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）3、三角形面積公式：．4、余弦定理：在中，有，推論：；變形：.5、解三角形所涉及的其它知識（1）三角形內(nèi)角和定理（2）三角形邊角不等關(guān)系：.6、誘導(dǎo)公式在中的應(yīng)用（1）；（2）（二）典例分析【例1】【例1】在中，若，則（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)正弦定理，可知，，，代入原式可得,又，，則，，，得.故選：B【例【例2】在中，角，，所對的邊分別為，，，，.（1）求外接圓的面積；（2）若，，求的周長.【解析】（1）∵，∴，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，得，又，故，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）∴外接圓的半徑，∴外接圓的面積為.由及得：，，∵，則為銳角，∴，故.如圖所示，在中，由余弦定理得，，解得，則的周長為.【例【例3】（2020新課標(biāo)Ⅲ卷）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A. B.2 C.4 D.8【解析】設(shè)，故選：C二、對邊對角模型及應(yīng)用（一）基本原理對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關(guān)范圍.1、結(jié)合1、結(jié)合余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實(shí)現(xiàn)周長或者面積的最值.2、結(jié)合正弦定理構(gòu)建周長或者面積關(guān)于角的目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)處理最值或者范圍.3、注意到其在焦點(diǎn)三角形中的應(yīng)用.（二）典例分析【例【例1】（2020年全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.【解析】（1）由正弦定理可得：，，.（2）方法1：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）周長，周長的最大值為.方法2.設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．此時(shí)周長的最大值為．【例【例2】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）求角C的大??；（2）若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．【解析】（1）由以及，可得，即，即，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即，即，由于，故，又，故，故或，解得或（舍去），故.（2）由正弦定理得，即，．所以的面積，．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，故面積的取值范圍是．【點(diǎn)睛】當(dāng)限制角的范圍時(shí)，函數(shù)方法比不等式方法的就更具有操作性和普適性.【例【例3】在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，，求的取值范圍．【解析】（1）在銳角中，所以.（2）解：由（1）知，所以，因?yàn)?，由正弦定理所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，又三角形為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】在對邊對角模型下，若已知，那么形如等結(jié)構(gòu)的范圍均可利用函數(shù)關(guān)系等求出.【例【例4】在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若．（1）求B；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)正弦定理可得：，即，又，故，又，因此．由正弦定理：，∴，，又，故，是銳角三角形，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因此，，，故，∴．【例【例5】設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為且.（1）求角的大??；（2）若，求的周長的取值范圍.【解析】（1）（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）解得：三、正余弦平方差公式與射影定理本節(jié)介紹解三角形中常用的兩個(gè)恒等式，第一個(gè)是三角平方差公式，其在三角形中的應(yīng)用出現(xiàn)在新教材必修2第54頁16題.射影定理則在老教材必修五中出現(xiàn)，很多全國卷的題目都跟這兩個(gè)恒等式有關(guān)，本文略作介紹（一）基本原理【正余弦平方差公式】【正余弦平方差公式】，.【證明】由正余弦平方差公式還可以推導(dǎo)倍角三角形的一個(gè)重要結(jié)論：【倍角三角形定理】【倍角三角形定理】在中，是的充要條件.【證明】此處僅給出充分性證明，必要性同理可證。當(dāng)時(shí)，由正弦定理，得，由正弦平方差公式，得，由，得，所以，又，所以或（舍去），故.【射影定理】【射影定理】射影定理：在中，（二）全國卷中的應(yīng)用【例【例1】（2022乙卷）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）若，，求的周長．【解析】（1）依題，，由上述結(jié)論（其實(shí)就是展開，熟悉平方差公式的同學(xué)當(dāng)然就知道這里的解題方向了），可得：，故，得證.（2）當(dāng)，時(shí)，，，所以，解得，所以的周長為．【例【例2】（2017年全國新課標(biāo)2卷）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則_______.【解法1】，即，因?yàn)?，所以，故，?【解法2】由射影定理，，故，結(jié)合知.【例【例3】在中，角所對的邊分別是.，則的范圍是_______.【解析】易得，結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)中的平方差公式可得，從而可求得其范圍是.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【例【例4】在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，，則_____.【解法1】，將代入可解得：或，若，則，從而，結(jié)合可得，而顯然，矛盾，所以.【解法2】由倍角三角形定理，，將代入可得：，解得：.【例【例5】在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，則_______.【解析】因?yàn)?，所以由倍角三角形定理，，又，所以可設(shè)，則，從而，故，所以（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）.【例【例6】在中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，已知，則_______.【解法1】.【解法2】由射影定理，.【例【例7】在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且，則的面積為_______.【解析】由射影定理，，又，所以，化簡得：，因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故，又，所以，從而，結(jié)合可得，所以，，故.【例【例8】（2016年新課標(biāo)全國1卷）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求C；（2）若的面積為，求的周長．【解析】(1)由正弦定理得：，∵，，∴，∴，∵，∴．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）由余弦定理得：，，，∴，∴，∴周長為【例【例9】（2013年新課標(biāo)全國2卷）在內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求△面積的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得：，所以，即，因?yàn)?，所以，解得B=；（2）由余弦定理得：，即，由不等式得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以，解得，所以△ABC的面積為=，所以△面積的最大值為．四、爪型三角形中的范圍與技巧人教版教材中多次出現(xiàn)基于爪子構(gòu)型的相關(guān)例題，比如教材必修二53頁到54頁中有很多這樣的例子。爪型三角形是解三角形中非常重要的一種構(gòu)型，其中包含了很多關(guān)于解三角形的重要思想，比如找補(bǔ)角，或者等面積思想，角平分線定理，還有以及利用上述思想結(jié)合正余弦定理推出處理爪型三角形的一些重要結(jié)論：斯特瓦爾特定理，逆定理以及推論。（一）基本原理【爪型三角形】【爪型三角形】爪型三角形的基本幾何特征，如圖。其中與互為補(bǔ)角，余弦值互為相反數(shù)。這個(gè)隱含條件是處理爪型三角形的一個(gè)重要技巧。【斯特瓦爾特定理】【斯特瓦爾特定理】設(shè)為的邊上異于的任一點(diǎn)，則有 ①或． ②【證明】如圖，不失一般性，不妨設(shè)，則由余弦定理，有，．對上述兩式分別乘以，后相加整理，得①式或②式．注：可以看到，斯特瓦爾特定理的證明關(guān)鍵是利用爪型三角形中兩角互補(bǔ)，即：這個(gè)隱含條件是處理爪型三角形的一個(gè)重要技巧.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【斯特瓦爾特定理的逆定理】【斯特瓦爾特定理的逆定理】設(shè)，，依次分別為從點(diǎn)引出的三條射線，，上的點(diǎn)，若，或，則，，三點(diǎn)共線．【證明】令，，對和分別應(yīng)用余弦定理，有，．將上述兩式分別乘以，后相加，再與已知條件式相比較得，由此推出，即證．【斯特瓦爾特定理推廣】【斯特瓦爾特定理推廣】（1）設(shè)為的邊延長線上任一點(diǎn)，則． ③（2）設(shè)為的邊反向延長線上任一點(diǎn)，則． ④【推論1】設(shè)為等腰的底邊上任一點(diǎn)，則．注此推論也可視為以為圓心，為半徑的圓中的圓冪定理．【推論2】設(shè)為的邊上的中線，則．【推論3】設(shè)為的的內(nèi)角平分線，則．注此推論即是爪型三角形常用的等面積思想.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)為的平分線，則設(shè)，那么有等面積可得：，進(jìn)一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉(zhuǎn)化關(guān)系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.【推論4】設(shè)為的的外角平分線，則．【推論5】在中，若分線段滿足，則．注若，則．最后，再從幾何角度來認(rèn)識一類爪型三角形模型，通過初中知識，我們可以用相對簡單的幾何方法求得結(jié)論，從而起到了大題小做的最佳境界.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）如圖，在三角形中，已知角的大小，為邊上一點(diǎn).那么我們可利用初中的相似三角形來求解一些這種條件下的爪型三角形問題。如下圖，過點(diǎn)做的平行線交延長線于，則，且由平行的性質(zhì)可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我們進(jìn)一步指導(dǎo)的長度，以及點(diǎn)為邊上的具體位置，那么在中可以解決很多問題，下面通過例題來分析.（二）典例分析【例【例1】在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大小；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.【解析】（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，.（2）由，又為的中點(diǎn)，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，的面積最大值為.【例【例2】內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角的大?。唬?）是邊上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，因?yàn)椋?，則，又，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因?yàn)?，所以；?）根據(jù)題意可得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⑺裕娣e的最大值為.【例【例3】（2022成都一診）在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.【解法1】，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡得，，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.故答案為：【解法2】如上圖，由于，故由可得，再加之為角的平分線，則，于是為等邊，則，最后由于，可得：.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）由于，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).下面看利用等面積思想來求解高線問題【例【例4】已知銳角內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若.（1）求角的大??；（2）若，求邊上高的取值范圍.【解析】（1）由條件可知：，，∵，∴，，又，∴，∴，∴；（2）設(shè)邊上的高為，則且，∴，∴由正弦定理得，，又∴，∵為銳角三角形，∴，解得：，∴，∴，∴邊上高的取值范圍是；綜上，，邊上高的取值范圍是.【例【例5】已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D，若恰好為函數(shù)的最大值，且此時(shí)，求3a＋4b的最小值．【解析】（1），則函數(shù)的最小正周期.（2）由（1）可知，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，則，，因?yàn)槠椒?，所以，則點(diǎn)分別到的距離，由，則，即，整理可得，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故最小值為.五、處理解三角形范圍問題的8大角度角度1、對邊對角模型對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關(guān)范圍.【例【例1】（2020年全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.【解析】（1）由正弦定理可得：，，.（2），即.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），周長，周長的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)于此題第二問，標(biāo)準(zhǔn)的對邊對角模型，還可以得到下列的相關(guān)問題若,求面積的最大值.若為銳角三角形，求的取值范圍.若為銳角三角形，求的取值范圍.相關(guān)解答比較簡單，此處不再贅述.角度2、正弦定理邊角轉(zhuǎn)化在正弦定理中：此時(shí)，我們并非一定需要對邊對角，實(shí)際上，只要知道任意一邊和一角，即可結(jié)合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關(guān)系，下面我通過例題予以分析.【例【例2】（2019全國3卷）的內(nèi)角對邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)椋氲?，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是角度3、齊次邊型分式結(jié)構(gòu)在這一部分中，我們經(jīng)常會(huì)看到諸如：等結(jié)構(gòu)，這種類型當(dāng)然還可利用正弦定理轉(zhuǎn)化為純角結(jié)構(gòu)，所以，我們只需要做的就是消元，把三個(gè)角消成一個(gè)角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.【例【例3】（2022新高考1卷）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【解析】（1）由已知條件得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為．【例【例4】在銳角中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【解析】在銳角中，，因?yàn)?，?所以，，解得，所以，，而，所以，所以由正弦定理可知：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），因?yàn)?，所以，所以，?故選：A.角度4、余弦定理求角的最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結(jié)構(gòu)，同時(shí)，在上的嚴(yán)格單調(diào)性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來找到角的最值.若，倘若再能找到這樣一個(gè)約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個(gè)均值結(jié)構(gòu)，利用均值不等式即可求得最值，下面通過例題予以分析.【例【例5】已知中，角的對邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.【例【例6】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，進(jìn)而可得因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以又因?yàn)?，所以角A的最大值為【例【例7】若的內(nèi)角滿足，則的最小值是【分析】所求的最值可想到余弦定理用邊進(jìn)行表示，，考慮角化邊得到：，進(jìn)而消去計(jì)算表達(dá)式的最值即可【解析】由可得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）答案：角度5、秦九韶公式秦九韶公式求范圍是近年來解三角形模考試題中熱門考察方向之一，相關(guān)內(nèi)容是人教版新教材的閱讀內(nèi)容，未來完全有可能出現(xiàn)在高考試題中.【例【例8】秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)．秦九韶把已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內(nèi)角，，的對邊．已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】由得，，即，所以，，所以，即時(shí)，．故選：A．【例【例9】已知，，是的內(nèi)角，，的對邊．已知中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】中，因?yàn)?，所以，則，即，又，則，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值為，故選：A角度6、爪型三角形與等面積方法如圖，設(shè)為的平分線，則設(shè)，那么有等面積可得：，進(jìn)一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉(zhuǎn)化關(guān)系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.【例【例10】（2022成都一診）在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.【解析】，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡得，，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.故答案為：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）角度7、斯特瓦爾特定理與均值不等式基本結(jié)論：如圖：當(dāng)設(shè)為的邊中點(diǎn)時(shí)，.注：該結(jié)論還可由證得.更一般的情形即斯特瓦爾特定理，此處不再贅述，我們通過例題展示【例【例11】在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.【解析】（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）由，又為的中點(diǎn)，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，的面積最大值為.【例【例12】內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角的大小；（2）是邊上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，因?yàn)?，所以，則，又，所以，因?yàn)?，所以；?）根據(jù)題意可得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲP(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，面積的最大值為.角度8、恒等變換型目標(biāo)函數(shù)這類最值問題的特點(diǎn)是利用恒等變換化簡函數(shù)，它們的目標(biāo)函數(shù)往往不是上面的類型，而且有點(diǎn)“丑”，你需要做的就是耐心美化目標(biāo)函數(shù)，直到找到可以入手的結(jié)構(gòu)！【例【例13】已知在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由，知，，，，因?yàn)?、，則，，因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，，則，因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，則，，故選：A.【例【例14】在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C．六、三角形中的特殊點(diǎn)及軌跡問題本節(jié)介紹解三角形中的特殊點(diǎn)與軌跡問題，特殊點(diǎn)主要指的是布洛卡點(diǎn)與費(fèi)馬點(diǎn)，軌跡問題主要指的是阿波羅尼斯圓和焦點(diǎn)三角形軌跡，最后再介紹一種常用的三角形：萊洛三角形.這些問題都多次出現(xiàn)在高考和各地模考中，具有豐富的背景，值得我們深入研究.【布洛卡點(diǎn)】【布洛卡點(diǎn)】定義：已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),若∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α,則P為布洛卡點(diǎn),∠α為布洛卡角.【例【例1】（2013全國1卷）在中，，，，為內(nèi)一點(diǎn)，且.（1）若，求；（2）若，設(shè)，求.【解析】（1）由已知，∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.故（2）設(shè)，由已知得，在?PBA中，由正弦定理得，化簡得，故.【費(fèi)馬點(diǎn)】【費(fèi)馬點(diǎn)】若三角形內(nèi)有一點(diǎn)，滿足到三角形三頂點(diǎn)連線最短，則該點(diǎn)被稱為“