598期【概率】二輪概率12專題概率統(tǒng)計在高考中扮演著很重要的角色，概率統(tǒng)計解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，考查熱點為古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的實際應(yīng)用等．回顧近幾年的高考試題，可以看出概率統(tǒng)計解答題，大多緊密結(jié)合社會實際，以現(xiàn)實生活為背景設(shè)置試題，注重知識的綜合應(yīng)用與實際應(yīng)用，作為考查實踐能力的重要載體，命題者要求考生會收集，整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，建立數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實際問題．【知識精講】（一）涉及的概率知識層面主要考查隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件還是獨(dú)立重復(fù)試驗，以便選擇正確的計算方法，進(jìn)行概率計算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，也要掌握幾種常見?？嫉母怕史植寄Ｐ停弘x散型有二項分布、超幾何分布，連續(xù)型有正態(tài)分布．考查運(yùn)用概率知識解決簡單實際問題的能力，1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．稱為隨機(jī)變量的方差，它刻畫了隨機(jī)變量與其均值的偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)=1\*GB3①；=2\*GB3②．（2）均值與方差的性質(zhì)若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且（3）分布列的求法=1\*GB3①與排列、組合有關(guān)分布列的求法．由排列、組合、概率知識求出概率，再求出分布列．=2\*GB3②與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計概率，再求出分布列．=3\*GB3③與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．=4\*GB3④與獨(dú)立事件（或獨(dú)立重復(fù)試驗）有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個概率，再列出分布列．（4）常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型=1\*GB3①二項分布；=2\*GB3②超兒何分布．2、常見的連續(xù)型概率分布模型正態(tài)分布．（二）概率分布與不同知識背景結(jié)合考查對實際問題的解決能力1、與數(shù)列結(jié)合的實際問題2、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實際問題3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實際問題4、與統(tǒng)計結(jié)合的實際問題5、與其他背景結(jié)合的實際問題【解題技巧精講】【【專題1求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望】【規(guī)律方法】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）【【專題2超幾何分布與二項分布】【規(guī)律方法】超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．一般地，在含有件產(chǎn)品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，且，稱為超幾何分布列．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則．此時稱隨機(jī)變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．此時有．【【專題3概率與其它知識的交匯問題】【規(guī)律方法】在知識交匯處設(shè)計試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一，概率作為高中數(shù)學(xué)具有實際應(yīng)用背景的主要內(nèi)容，除與實際應(yīng)用問題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學(xué)知識對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．這類題型具體來說有兩大類：1、所給問題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識為載體的概率問題．求解時需要利用相關(guān)知識把所給問題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識求解．2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行求解；或者把問題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式，再通過構(gòu)造特殊數(shù)列求通項或求和．【【專題4期望與方差的實際應(yīng)用】【規(guī)律方法】數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實際生活中，越來越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差來對事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進(jìn)行評估，通過計算分析可以比較科學(xué)地得出各個方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（1）若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量的期望，當(dāng)時，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，還需要用來比較這兩個隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實際問題的需要來判斷．【【專題5正態(tài)分布】【規(guī)律方法】解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：（1）對稱軸標(biāo)準(zhǔn)差分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸為．【【專題6統(tǒng)計圖表】【規(guī)律方法】1、制作頻率分布直方圖的步驟．第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表；第四步：畫頻率分布直方圖．2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點．（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總體個數(shù)．3、用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法．（1）眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標(biāo)；（2）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)；（3）平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標(biāo)之積的和．【【專題7回歸分析】【規(guī)律方法】線性回歸分析的原理、方法和步驟：（1）利用圖表和數(shù)字特征可以對數(shù)據(jù)做簡單的分析，但是用回歸直線方程可以對數(shù)據(jù)的未來值進(jìn)行預(yù)測．在選取數(shù)據(jù)觀察的時候，要注意大量相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)比不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)更有價值，近期的數(shù)據(jù)比過去久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)更有價值．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系的方法：散點圖，相關(guān)系數(shù)．（3）相關(guān)指數(shù)與相關(guān)系數(shù)在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸．【【專題8獨(dú)立性檢驗】【規(guī)律方法】解獨(dú)立性檢驗應(yīng)用問題的注意事項．（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．（2）在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆．（3）在實際問題中，獨(dú)立性檢驗的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯．（4）對判斷結(jié)果進(jìn)行描述時，注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤，應(yīng)是對假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他．【【專題9與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題】【規(guī)律方法】1、在與體育比賽規(guī)則有關(guān)的問題中，一般都會涉及分組，處理該類問題時主要借助于排列組合．對于分組問題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運(yùn)用．2、與體育比賽有關(guān)的問題中最常見的就是輸贏問題，經(jīng)常涉及“多人淘汰制問題”“三局兩勝制問題”“五局三勝制問題”“七局四勝制問題”，解決這些問題的關(guān)鍵是認(rèn)識“三局兩勝制”“五局三勝制”等所進(jìn)行的場數(shù)，贏了幾場與第幾場贏，用互斥事件分類，分析事件的獨(dú)立性，用分步乘法計數(shù)原理計算概率，在分類時要注意“不重不漏”（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）．3、在體育比賽問題中，比賽何時結(jié)束也是經(jīng)常要考慮的問題，由于比賽賽制已經(jīng)確定，而比賽的平均場次不確定，需要對比賽的平均場次進(jìn)行確定，常用的方法就是求以場數(shù)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，然后比較大?。?、有些比賽會采取積分制，考查得分的分布列與數(shù)學(xué)期望是?？碱}型，解題的關(guān)鍵是辨別它的概率模型，常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布，要注意分布是相互獨(dú)立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項分布，有的只是局部二項分布．【【專題10決策型問題】【規(guī)律方法】求解決策型問題的求解流程為：第一步：先確定函數(shù)關(guān)系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根據(jù)期望進(jìn)行最后的決策．【【專題11條件概率】【規(guī)律方法】1．條件概率的概念條件概率揭示了，，三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）2．條件概率的性質(zhì)設(shè)，則(1)；(2)如果B與C是兩個互斥事件，則；(3)設(shè)事件和B互為對立事件，則．【【專題12全概率公式、貝葉斯公式】【規(guī)律方法】1．全概率公式在全概率的實際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復(fù)雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意的事件，有.我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2．貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意事件，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）有，3．在貝葉斯公式中，和分別稱為先驗概率和后驗概率．專題目錄TOC\o"1-1"\h\u31501【專題1】求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望 1016694【專題2】超幾何分布與二項分布 133950【專題3】概率與其它知識的交匯問題 1792【專題4】期望與方差的實際應(yīng)用 218642【專題5】正態(tài)分布 253117【專題6】統(tǒng)計圖表 298069【專題7】回歸分析 3429281【專題8】獨(dú)立性檢驗 391299【專題9】與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題 4421854【專題10】決策型問題 483271【專題11】條件概率 5226971【專題12】全概率公式、貝葉斯公式 586181【真題再現(xiàn)】 705992【提升訓(xùn)練】 76【專題1】求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望【【專題1求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望】【規(guī)律方法】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）【典型例題】例1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）甲?乙兩個代表隊各有3名選手參加對抗賽．比賽規(guī)定：甲隊的1，2，3號選手與乙隊的1，2，3號選手按編號順序各比賽一場，某隊連贏3場，則獲勝，否則由甲隊的1號對乙隊的2號，甲隊的2號對乙隊的1號加賽兩場，勝場多者最后獲勝（每場比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果）．已知甲隊的1號對乙隊的1，2號選手的勝率分別是0．5，0．6，甲隊的2號對乙隊的1，2號選手的勝率都是0．5，甲隊的3號對乙隊的3號選手的勝率也是0．5，假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲隊僅比賽3場獲勝的概率；（2）已知每場比賽勝者可獲得200個積分，求甲隊隊員獲得的積分?jǐn)?shù)之和的分布列及期望．【解析】（1）甲隊1，2，3號選手與乙隊1，2，3號選手比賽獲勝的概率分別為，，甲隊比賽3場獲勝的概率為=；（2）X所以可能取得值為；，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），，，．即X0200400600800P0．1250．0750．26250．4250．1125所以．例2．（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）我校舉辦“學(xué)黨史”知識測試活動，每位教師3次測試機(jī)會，規(guī)定按順序測試，一旦測試合格就不必參加以后的測試，否則3次測試都要參加．甲教師3次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數(shù)列，他第一次測試合格的概率不超過，且他直到第二次測試才合格的概率為，乙教師3次測試每次測試合格的概率均為，每位教師參加的每次測試是否合格相互獨(dú)立．（1）求甲教師第一次參加測試就合格的概率P；（2）設(shè)甲教師參加測試的次數(shù)為m，乙教師參加測試的次數(shù)為n，求的分布列．【解析】（1）由甲教師3次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數(shù)列，又甲教師第一次參加測試就合格的概率為P，故而甲教師參加第二、三次測試合格的概率分別是、，由題意知，，解得或（舍），所以甲教師第一次參加測試就合格的概率為．（2）由（1）知甲教師參加第二、三次測試合格的概率分別是、，由題意知，的可能取值為2，3，4，5，6，由題意可知，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），，，，所以的分布列為：23456P例3．（2022春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）受新冠肺炎疫情的影響，某商場的銷售額受到了不同程度的沖擊，為刺激消費(fèi)，該商場開展一項促銷活動，凡在商場消費(fèi)金額滿300元的顧客可以免費(fèi)抽獎一次，抽獎的規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中：紅色小球1個，白色小球3個，黃色小球6個，顧客從箱子中依次不放回地摸出3個球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎．將顧客摸出的3個球的顏色分成以下四種情況：A：1個紅球2個白球；B：3個白球；C：恰有1個黃球；D：至少兩個黃球，若四種情況按發(fā)生的機(jī)會從小到大的順序分別對應(yīng)一等獎，二等獎，三等獎，不中獎．（1）寫出顧客分別獲一?二?三等獎時所對應(yīng)的概率；（2）已知顧客摸出的第一個球是白球，求該顧客獲得二等獎的概率；（3）若五名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨(dú)立．記中獎的人數(shù)為，求的分布列和期望．【解析】（1）由題意可得：，，所以中一等獎的概率為，二等獎的概率為，三等獎的概率為（2）記事件為顧客摸出的第一個球是白球，事件為顧客獲得二等獎，則．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（3）由（1）知一名顧客中獎的概率為．由題意可得，，所以則分布列為012345【專題2】超幾何分布與二項分布【【專題2超幾何分布與二項分布】【規(guī)律方法】超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．一般地，在含有件產(chǎn)品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，且，稱為超幾何分布列．一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則．此時稱隨機(jī)變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．此時有．【典型例題】例4．（2022春·北京·高三北京鐵路二中?？茧A段練習(xí)）2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績．北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運(yùn)動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動知識競賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率0．10．10．30．30．2（1）如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取10個學(xué)生，問各抽取多少人？（2）在（1）條件下，再從這10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；（3）以這100名參賽學(xué)生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）因為成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計，共人，抽樣比為，所以成績?yōu)椤傲己谩钡某槿∪耍煽優(yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取人．（2）抽取的6人中至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類：3個優(yōu)3個良和4個優(yōu)2個良，故至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率．（3）由題意知，的可能取值，，，．由題可知，任意1名學(xué)生競賽得分“優(yōu)秀”的概率為，競賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布，；；；．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故的分布列為數(shù)學(xué)期望．例5．（2022·浙江·模擬預(yù)測）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，…，7的球槽內(nèi)．（1）如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗，求小球落入6號球槽的概率；（2）某商場店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎促銷活動，顧客只要在商場購物消費(fèi)每滿800元就能得到一次抽獎機(jī)會，如消費(fèi)400元沒有抽獎機(jī)會，消費(fèi)900元有一次抽獎機(jī)會，消費(fèi)1700元有兩次抽獎機(jī)會等，一次抽獎小球掉入號球槽得到的獎金為（元），其中．（ⅰ）求一次抽獎的獎金（元）的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知某顧客在商場消費(fèi)2000元，設(shè)他所得的獎金為（元），求．【解析】（1）記事件A：小球落入6號球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．所以．（2）（i）記隨機(jī)變量M：小球掉入號球槽，則M的可能取值為：1，2，3，4，5，6，7．由題意可得；；；；所以M的分布列為：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）M1234567P因為，所以X的可能取值為：0，40，80，120．其中，，，．所以一次抽獎的獎金（元）的分布列為：X04080120P所以數(shù)學(xué)期望為．（ii）某顧客在商場消費(fèi)2000元，可以抽獎2次，所以他所得的獎金為．因為，所以．例6．（2022春·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小區(qū)為了加強(qiáng)對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng)．為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖．（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶．若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于時，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值．【解析】（1）隨機(jī)變量所有可能的取值為0，1，2．則，，，012所以．（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知，每天對甲類生活物資的需求平均值為（）則購買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購買量為，從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為．若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，則，若k戶的可能性最大，則，，得，即，解得，由于，故．【專題3】概率與其它知識的交匯問題【【專題3概率與其它知識的交匯問題】【規(guī)律方法】在知識交匯處設(shè)計試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一，概率作為高中數(shù)學(xué)具有實際應(yīng)用背景的主要內(nèi)容，除與實際應(yīng)用問題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學(xué)知識對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．這類題型具體來說有兩大類：1、所給問題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識為載體的概率問題．求解時需要利用相關(guān)知識把所給問題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識求解．2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行求解；或者把問題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式，再通過構(gòu)造特殊數(shù)列求通項或求和．【典型例題】例7．（2022春·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┩稊S一枚均勻的骰子，每次擲得的點數(shù)為1或6時得2分，擲得的點數(shù)為2，3，4，5時得1分；獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分；（1）設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機(jī)變量X的分布與期望；（2）設(shè)最終得分為n的概率為，證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；【解析】（1）的可能取值為2，3，4，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），，∴的分布列為234數(shù)學(xué)期望．（2）由題意知，，，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，綜上：．例8．（2022春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從單位正方體的頂點出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點，設(shè)該螞蟻經(jīng)過步回到點的概率．（I）分別寫出的值；（II）設(shè)頂點出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點的概率為，求的值；（III）求．【解析】（1）．（2）由于頂點出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點的概率為，則由出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點的概率也是，并且由出發(fā)經(jīng)過步不可能到這四個點，所以當(dāng)為奇數(shù)時，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，．（3）同理，由分別經(jīng)步到點的概率都是，由出發(fā)經(jīng)過再回到的路徑分為以下四類：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）①由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；②由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；③由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；④由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；所以，又，所以，即，所以，故．綜上所述，．例9．（2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品分為兩類不同劑型和．現(xiàn)對其進(jìn)行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測過程相互獨(dú)立，兩次檢測均合格，試劑品才算合格．（1）設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑和合格的種類數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員逐一使用試劑品進(jìn)行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當(dāng)時，最大，求的值．【解析】（1）劑型合格的概率為：；劑型合格的概率為：．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則，，，則X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望．（2）檢測3人確定“感染高危戶”的概率為，檢測4人確定“感染高危戶”的概率為，則．令，因為，所以，原函數(shù)可化為．因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．此時，所以．【專題4】期望與方差的實際應(yīng)用【【專題4期望與方差的實際應(yīng)用】【規(guī)律方法】數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實際生活中，越來越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差來對事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進(jìn)行評估，通過計算分析可以比較科學(xué)地得出各個方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（1）若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量的期望，當(dāng)時，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，還需要用來比較這兩個隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實際問題的需要來判斷．【典型例題】例10．（2022春·河南·高三期末）根據(jù)疫情防控的需要，某地設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預(yù)防性消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称肥欠窀腥静《?，在入關(guān)檢疫時需要對其進(jìn)行化驗，若結(jié)果為陽性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒有該病毒．對于份樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需要檢驗n次；二是混合檢驗，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這k份全為陰性，檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，需要對它們再次取樣逐份檢驗，則k份檢驗的次數(shù)共為次，若每份樣本沒有病毒的概率為，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的．（1）若取得8份樣本，采用逐個檢測，發(fā)現(xiàn)恰有2個樣本檢測結(jié)果為陽性的概率為，求的最大值點；（2）若對取得的8份樣本，考慮以下兩種檢驗方案：方案一：采用混合檢驗；方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗，若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p的取值范圍（精確到0．01）．【解析】（1）根據(jù)題意可知，每份樣本檢測結(jié)果為陰性的概率為，則陽性概率為；則8份樣本，采用逐個檢測，發(fā)現(xiàn)恰有2個樣本檢測結(jié)果為陽性的概率即，所以，因為，所以當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減；所以在時取得最大值，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即的最大值點．（2）若采用方案一，則需要檢驗的次數(shù)為8次，即檢驗次數(shù)的期望值；若采用方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗，則每組檢測結(jié)果為陰性的概率為，則為陽性的概率為；所以檢驗次數(shù)的所有可能取值為；當(dāng)兩組檢測結(jié)果全為陰性時，檢驗次數(shù)為2次，則；當(dāng)兩組檢測結(jié)果一組為陰性，另一組為陽性時，檢測次數(shù)為6次，則；當(dāng)兩組檢測結(jié)果全為陽性時，檢驗次數(shù)為10次，則；此時，方案二的檢驗次數(shù)的期望值；若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，即，得即p的取值范圍為例11．（2022春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機(jī)變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則，其中為任意大于0的實數(shù)．切比雪夫不等式可以使人們在隨機(jī)變量的分布未知的情況下，對事件的概率作出估計．（1）證明離散型切比雪夫不等式；（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù)．在一次抽獎游戲中，有個不透明的箱子依次編號為，編號為的箱子中裝有編號為的個大小?質(zhì)地均相同的小球．主持人邀請位嘉賓從每個箱子中隨機(jī)抽取一個球，記從編號為的箱子中抽取的小球號碼為，并記．對任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論．附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對于離散型隨機(jī)變量滿足，則有．【答案】（1）證明見解析（2）不能保證，證明見解析【分析】通過方差的計算公式，結(jié)合變形即可證明．結(jié)合所給公式，再變形式子來解出，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾．（1）設(shè)的所有可能取值為取的概率為．則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）

（2）（2）由參考公式，．，用到而，故．當(dāng)時，，因此，不能保證．例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一臺機(jī)器設(shè)備由和兩個要件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，發(fā)生故障的概率分別記作，假設(shè)和相互獨(dú)立．設(shè)表示一次運(yùn)轉(zhuǎn)過程中需要維修的要件的數(shù)目，若．（1）求出；（2）依據(jù)隨機(jī)變量的分布，求和；（3）若表示需要維修的數(shù)目，表示需要維修的數(shù)目，寫出和的關(guān)系式，并依據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的性質(zhì)，求和．【解析】（1）因為，所以，，．（2）由（1）得的分布列為：0120．720．260．02所以，．（3）由題意可得，且均服從兩點分布，所以，，所以，因為相互獨(dú)立，所以．【專題5】正態(tài)分布【【專題5正態(tài)分布】【規(guī)律方法】解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：（1）對稱軸標(biāo)準(zhǔn)差分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸為．【典型例題】例13．（2022春·福建泉州·高三福建省南安國光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)在一次考試后，對本年級學(xué)生物理成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績（均在50~100分之間），將抽取的成績分組為，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這300名同學(xué)物理平均成績與第三四分位數(shù)的估計值；（結(jié)果精確到1）（2）已知全年級同學(xué)的物理成績服從正態(tài)分布，其中?。?）中的，經(jīng)計算，=11，現(xiàn)從全年級隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績，求該成績在區(qū)間的概率（結(jié)果精確到0．1）；（3）根據(jù)（2）的條件，用頻率估計概率，現(xiàn)從全年級隨機(jī)選取n名同學(xué)的物理成績，若他們的成績都在的概率不低于1%，求n的最大值（n為整數(shù)）．附：，若，則，．【解析】（1）．，則這300名同學(xué)物理平均成績與第三四分位數(shù)的估計值分別為73，79（2），（3），即，故的最大值為20．例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個學(xué)生在每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的概率均為0．1．（1）將每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時，對于任意實數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0．1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0．06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0．5636便是的值．0．000．010．020．030．040．050．060．070．080．090．00．50000．50400．50800．51200．51600．51990．52390．52790．53190．53590．10．53980．54380．54780．55170．55570．55960．56360．56750．57140．57530．20．57930．58320．58710．59100．59480．59870．60260．60640．61030．61410．30．61790．62170．62550．62930．63310．63680．64040．64430．64800．65170．40．65540．65910．66280．66640．67000．67360．67720．6808，0．68440．68790．50．69150．69500．69850．70190．70540．70880．71230．7157'0．71900．7224①求在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習(xí)時間閱覽室座位夠用的概率高于0．7，則至少需要添加多少個座位？【解析】（1）由題意可得，隨機(jī)變量X服從二項分布，則，，（2）①由于（1）中二項分布的n值增大，故可以認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項分布，由（1）可得，，可得，則，則，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)可得，，故，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故，在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率為；②查表可得，，則，即，又，故座位數(shù)至少要1016個，，故閱覽室座位至少需要添加22個．例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設(shè)計?方便的操作方式和實用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛．為回饋市場并擴(kuò)大用戶量，該APP在2022年以競價形式做出優(yōu)惠活動，活動規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過官網(wǎng)提交自己的報價（報價低于原價），但在報價時間截止之前無法得知其他人的報價和當(dāng)月參與活動的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競價時間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價，出價不低于優(yōu)惠價的人將獲得數(shù)額為原價減去優(yōu)惠價的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月下載該APP時使用．小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動，為了預(yù)測最低成交價，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計了今年2到6月參與活動的人數(shù)，如下表所示：時間t（月）23456參與活動的人數(shù)y（萬人）0．50．611．41．7（1）若可用線性回歸模型擬合參與活動的人數(shù)y（單位：萬人）與時間t（單位：月）之間的關(guān)系，請用最小二乘法求y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測今年7月參與活動的人數(shù)；（2）某自媒體對200位擬參加今年7月份活動的人進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：報價X（單位：元）頻數(shù)206060302010①求這200人的報價X（單位：元）的平均值和方差（同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點值代替）；②假設(shè)所有參與活動的人的報價X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由①中所求的樣本平均數(shù)及估計，若2022年7月計劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請你合理預(yù)測該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價，并說明理由．參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，，；②，，；③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【解析】（1）由題意可得，，又因為，，所以，，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時，可得（萬人），故預(yù)計今年7月參與活動的人數(shù)為萬人；（2）①依題意可得這200人的報價（單位：元）的平均值，方差；②由①可知，依題意發(fā)放的優(yōu)惠名額為張，預(yù)測參加的人數(shù)為人，所以能夠得到優(yōu)惠名額的概率，設(shè)下載優(yōu)惠價為，則又，，因為，所以，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以預(yù)測該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價為元．【專題6】統(tǒng)計圖表【【專題6統(tǒng)計圖表】【規(guī)律方法】1、制作頻率分布直方圖的步驟．第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表；第四步：畫頻率分布直方圖．2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點．（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總體個數(shù)．3、用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法．（1）眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標(biāo)；（2）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)；（3）平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標(biāo)之積的和．【典型例題】例16．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測）為了響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，某校實施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1．（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由直方圖可知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，因為數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為．（2）由（1）知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，由題意可知，，的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望．例17．（2022·貴州貴陽·貴陽六中?？家荒＃┠承＝M織1000名學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探索知識競賽，成績分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為400．（1）求出直方圖中a，b，c的值；（2）估計中位數(shù)（精確到0．1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）若用頻率估計概率，設(shè)從這1000人中抽取的6人，得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）依題意可得：，又a，b，c成等差數(shù)列，所以且，解得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以．（2）因為，設(shè)中位數(shù)為，則，所以，解得：，即中位數(shù)約為，平均數(shù)為．（3）由題意可知：得分在區(qū)間內(nèi)概率為，根據(jù)條件可知：的所有可能值為，且，所以．例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進(jìn)行：第一階段由評委為所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)X都在內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”）時，發(fā)現(xiàn)Y滿足：．（1）試確定n的所有取值，并求k；（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無緣獲獎也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級，且附加賽獲獎等級在第一階段獲獎等級基礎(chǔ)上，最多升高一級）．已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎．①求學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A最終獲獎等級的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）根據(jù)題意，X在內(nèi)，按5為組距可分成5個小區(qū)間，分別是，，，，，因為，由，，所以．每個小區(qū)間的頻率值分別是由，解得．（2）①由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率．由（1）知，學(xué)生B的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間，，，，的概率分別是：，，，，．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）我們用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中記“學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級”為事件W，則．②學(xué)生A最終獲得一等獎的概率是，學(xué)生B最終獲得一等獎的概率是，，，．所以的分布列為：012P．【專題7】回歸分析【【專題7回歸分析】【規(guī)律方法】線性回歸分析的原理、方法和步驟：（1）利用圖表和數(shù)字特征可以對數(shù)據(jù)做簡單的分析，但是用回歸直線方程可以對數(shù)據(jù)的未來值進(jìn)行預(yù)測．在選取數(shù)據(jù)觀察的時候，要注意大量相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)比不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)更有價值，近期的數(shù)據(jù)比過去久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)更有價值．（2）判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系的方法：散點圖，相關(guān)系數(shù)．（3）相關(guān)指數(shù)與相關(guān)系數(shù)在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸．【典型例題】例19．（2022春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用．在消費(fèi)者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴(kuò)大．某公司為適應(yīng)市場并增強(qiáng)市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應(yīng)2017~2021年）（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；（2）試求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)．（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：相關(guān)系數(shù)．線性回歸方程的斜率，截距．附：相關(guān)性弱一般強(qiáng)【解析】（1）由條形統(tǒng)計圖，得，，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）．所以．因為相關(guān)系數(shù)，所以與具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān)．（2），所以，所以．由題意知，2023年對應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時，，故預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人．例20．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．平均溫度21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)/個7112124661153251．92．43．03．24．24．75．8（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，（計算結(jié)果精確到0．01）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到以上時紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，假設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為．該地今后4年中至少有兩年需要人工防治的概率．參考數(shù)據(jù)52151771371781．33．6附：回歸方程．【解析】（1）由散點圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程類型．對兩邊取自然對數(shù)，得，令，則，由數(shù)據(jù)得，，，所以，，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，則y關(guān)于x的回歸方程為；（2）若今后4年中有X年需要人工防治，且服從，所以，今后4年中至少有兩年需要人工防治的概率．例21．（2022·全國·模擬預(yù)測）住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等六部門發(fā)布通知提出，到2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平明顯提升．我國生活垃圾主要有填埋、焚燒與堆肥三種處理方式，隨著我國垃圾處理結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化調(diào)整，焚燒處理逐漸成為市場主流．根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，對2013—2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y166188220249286331389463（1）由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0．01）（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)；（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，還能用所求的線性回歸方程預(yù)測嗎？請簡要說明理由．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，，，，，，．【解析】（1）由題意，，，相關(guān)系數(shù)，因為y與x的相關(guān)系數(shù)，接近于1，所以y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系；（2）由題意得，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，易知2022年對應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時，，所以預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)為513；（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，不能用所求線性回歸方程預(yù)測，理由如下（說出一點即可）：①線性回歸方程具有時效性，不能預(yù)測較遠(yuǎn)情況；②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)有可能達(dá)到上限，一段時間內(nèi)不再新建；③受國家政策的影響，可能產(chǎn)生新的生活垃圾無害化處理方式．【專題8】獨(dú)立性檢驗【【專題8獨(dú)立性檢驗】【規(guī)律方法】解獨(dú)立性檢驗應(yīng)用問題的注意事項．（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．（2）在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆．（3）在實際問題中，獨(dú)立性檢驗的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯．（4）對判斷結(jié)果進(jìn)行描述時，注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤，應(yīng)是對假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他．【典型例題】例22．（2022·河南·模擬預(yù)測）為了檢測產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)從甲、乙兩條生產(chǎn)線上分別抽取件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)值的范圍為．根據(jù)該產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的產(chǎn)品為“優(yōu)等品”，否則為“非優(yōu)等品”．抽樣統(tǒng)計后得到的數(shù)據(jù)如下：質(zhì)量指標(biāo)值甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量（1）填寫下面的列聯(lián)表，計算，并判斷能否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān)；優(yōu)等品非優(yōu)等品合計甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量合計（2）由于樣本中來自乙生產(chǎn)線“非優(yōu)等品”的個數(shù)多于來自甲生產(chǎn)線的，為找出原因，該廠質(zhì)量控制部門在抽出的“非優(yōu)等品”中，按甲、乙生產(chǎn)線采用分層抽樣的方法抽出件產(chǎn)品，然后再從中隨機(jī)抽出件產(chǎn)品進(jìn)行全面分析，求其中至少有件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的概率．附：，．k【解析】（1）依題意可得列聯(lián)表如下表所示：優(yōu)等品非優(yōu)等品合計甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量合計所以，，所以，沒有的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān)．（2）由列聯(lián)表可知，甲、乙生產(chǎn)的“非優(yōu)等品”之比為，按甲、乙生產(chǎn)線采用分層抽樣的方法抽出件產(chǎn)品，則甲生產(chǎn)線應(yīng)抽出件產(chǎn)品，分別記為、、，乙生產(chǎn)線應(yīng)抽出件產(chǎn)品，分別記為、、、，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）從隨機(jī)抽出件產(chǎn)品，所有的情況為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，至少有件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品所包含的情況有：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，故所求概率為．例23．（2022·重慶江北·?？家荒＃榱擞嗅槍π缘靥岣邔W(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人．求第次傳球后球在甲手中的概率．附：0．0100．0050．0016．6357．87910．828【解析】（1），故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A，選到的學(xué)生為男生為事件B，則，則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，設(shè)，則，所以，解得：，所以，其中，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故，故第次傳球后球在甲手中的概率為．例24．（2022春·四川成都·高三校考階段練習(xí)）為考查某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：患病未患病總計沒服用藥203050服用藥xy50總計MN100設(shè)從沒服用藥的動物中任取2只，未患病數(shù)為：從服用藥物的動物中任取2只，未患病數(shù)為，工作人員曾計算過（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，y，M，N的值：（2）求與的均值（期望）并比較大小，請解釋所得結(jié)論的實際含義：（3）能夠以99%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？（參考公式，其中P（K2≥k）0．100．050．0100．001k2．7063．8416．63510．828【解析】（1），，，，，；即，，，；（2）取值為0、1、2，，012P∴取值為0、1、2，，，012P∴∴，即說明藥物有效．（3）∵，∵4．76<6．635，∴不能夠有99%的把握認(rèn)為藥物有效【專題9】與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題【【專題9與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題】【規(guī)律方法】1、在與體育比賽規(guī)則有關(guān)的問題中，一般都會涉及分組，處理該類問題時主要借助于排列組合．對于分組問題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運(yùn)用．2、與體育比賽有關(guān)的問題中最常見的就是輸贏問題，經(jīng)常涉及“多人淘汰制問題”“三局兩勝制問題”“五局三勝制問題”“七局四勝制問題”，解決這些問題的關(guān)鍵是認(rèn)識“三局兩勝制”“五局三勝制”等所進(jìn)行的場數(shù)，贏了幾場與第幾場贏，用互斥事件分類，分析事件的獨(dú)立性，用分步乘法計數(shù)原理計算概率，在分類時要注意“不重不漏”．3、在體育比賽問題中，比賽何時結(jié)束也是經(jīng)常要考慮的問題，由于比賽賽制已經(jīng)確定，而比賽的平均場次不確定，需要對比賽的平均場次進(jìn)行確定，常用的方法就是求以場數(shù)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，然后比較大?。?、有些比賽會采取積分制，考查得分的分布列與數(shù)學(xué)期望是?？碱}型，解題的關(guān)鍵是辨別它的概率模型，常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布，要注意分布是相互獨(dú)立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項分布，有的只是局部二項分布．【典型例題】例25．（2022春·湖北十堰·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動和文化項目比賽，由A部、B部爭奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．（1）記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求，并求當(dāng)取最大值時p的值；（2）當(dāng)時，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．【解析】（1）X可能取值為2，3．；．故，即，則當(dāng)時，取得最大值．（2）當(dāng)時，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為；比分為2∶1或1∶2的概率均為．，則或．即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，不妨設(shè)A部勝，概率為，同理B部勝，概率為，故；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，不妨設(shè)最終A部獲勝，當(dāng)前兩天的比分為2∶0和2∶1時，先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場比賽前兩場，A部一勝一負(fù)，第三場比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為，當(dāng)前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，概率為，故最終A部獲勝的概率為，同理B部勝，概率為，故．所以．例26．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測）甲、乙兩人組成“虎隊”代表班級參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動，每輪活動由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動中，如果兩人都投中，則“虎隊”得3分；如果只有一個人投中，則“虎隊”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊”得0分．已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動中甲、乙投中與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．（1）假設(shè)“虎隊”參加兩輪活動，求：“虎隊”至少投中3個的概率；（2）①設(shè)“虎隊”兩輪得分之和為，求的分布列；②設(shè)“虎隊”輪得分之和為，求的期望值．（參考公式）【解析】（1）設(shè)甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊”至少投中3個記作事件，則．（2）①“虎隊”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，則，，，，，．故的分布列如下圖所示：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）012346②，，，，∴，．例27．（2022·陜西西安·長安一中校考模擬預(yù)測）某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”．小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為．（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；（2）若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時的值．【解析】（1）由題可知，所以可能的情況有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次．故所求概率（2）他們在一輪游戲中獲“優(yōu)秀小組”的概率為因為，所以因為，，，所以，，又所以，令，以，則（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，，他們小組在輪游戲中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿足由，則，所以理論上至少要進(jìn)行輪游戲．此時，，【專題10】決策型問題【【專題10決策型問題】【規(guī)律方法】求解決策型問題的求解流程為：第一步：先確定函數(shù)關(guān)系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根據(jù)期望進(jìn)行最后的決策．【典型例題】例28．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）新冠疫情暴發(fā)以來，各級人民政府采取有效防控措施，時常采用10人一組做核酸檢測（俗稱混檢），某地在核酸檢測中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測呈陽性，為了能找出這1例陽性感染者，且確認(rèn)感染何種病毒，需要通過做血清檢測，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性的表示沒被感染．?dāng)M采用兩種方案檢測：方案甲：將這10人逐個做血清檢測，直到能確定感染人員為止．方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中一組的血清混在一起檢測，若結(jié)果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則對另一組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止．把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測的次數(shù)記為X．（1）求X的數(shù)學(xué)期望；（2）如果每次檢測的費(fèi)用相同，以檢測費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，則，，2，…，8，，所以．（2）把采用方案乙，直到能確定感染人員為止，檢測的次數(shù)記為Y，則Y可取2，3，4，5．，，，，則．設(shè)每次檢測的費(fèi)用均為，則方案甲的平均費(fèi)用為，方案乙的平均費(fèi)用為，因為，所以應(yīng)選擇方案乙．例29．（2022春·廣東廣州·高三廣州市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運(yùn)動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝；若比賽三場還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．己知各場比賽相互獨(dú)立，每場比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為，甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中．（1）若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？（2）為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金13萬元，負(fù)隊獲獎金3萬元；若平局，兩隊各獲獎金4萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計萬元，求的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．【解析】（1）第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率：，第一場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率：，所以當(dāng)時，，即，所以業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽．（2）由題意的可能取值為16或8，由（1）知業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽，此時業(yè)余隊獲勝的概率，專業(yè)隊獲勝的概率，所以非平局的概率，平局的概率，所以，因為，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以．例30．（2022春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》（也稱“強(qiáng)基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強(qiáng)基計劃．強(qiáng)基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．據(jù)悉強(qiáng)基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲?乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為，該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，其中．（1）若，分別求出該考生報考甲?乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）強(qiáng)基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)“該考生報考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目”為事件，“該考生報考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目”為事件，根據(jù)題意可得，（2）設(shè)該考生報考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為，報考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，所以，，，，．則隨機(jī)變量的分布列為：0123，若該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，有，所以，又因為，所以，所以，的取值范圍是．【專題11】條件概率【【專題11條件概率】【規(guī)律方法】1．條件概率的概念條件概率揭示了，，三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2．條件概率的性質(zhì)設(shè)，則(1)；(2)如果B與C是兩個互斥事件，則；(3)設(shè)事件和B互為對立事件，則．【典型例題】例31．將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”，B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由古典概型概率計算公式求出，，，再由條件概率的概率公式計算可得；【詳解】解：將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①②③三個村莊義診的試驗有個基本事件，它們等可能，事件含有的基本事件數(shù)為，則，同理，事件含有的基本事件個數(shù)為，則，所以；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故選：A例32．?dāng)S兩顆均勻的大小不同的骰子，記“兩顆骰子的點數(shù)和為10”為事件A，“小骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于大骰子出現(xiàn)的點數(shù)”為事件B，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用古典概型公式分別計算事件A發(fā)生的概率與事件AB發(fā)生的概率，再利用條件概率計算公式即可算出P(B|A)的值.【詳解】根據(jù)題意，記小骰子的點數(shù)為，大骰子的點數(shù)為，事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3個,事件A發(fā)生的概率，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）而事件AB包含的基本事件有“”一個，可得事件AB發(fā)生的概率，.故選：D例33．2022年3月，全國大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社會的關(guān)注．為了把被感染的人篩查出來，防疫部門決定對全體社區(qū)人員篩查核酸檢測，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設(shè)每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了；如果為陽性，為了明確這k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進(jìn)行檢驗．假設(shè)在接受檢驗的人群中，隨機(jī)抽一人核酸檢測呈陽性概率為，每個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨(dú)立的．(1)若該社區(qū)約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8人一組．請你為防疫部門選擇一種方案，并說明理由；(2)我們知道核酸檢測呈陽性，必須由專家二次確認(rèn)，因為有假陽性的可能；已知該社區(qū)人員中被感染的概率為0.29%，且已知被感染的人員核酸檢測呈陽性的概率為99.9%，若檢測中有一人核酸檢測呈陽性，求其被感染的概率．（參考數(shù)據(jù)：（，）【答案】(1)方案一工作量更少，理由見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)題干，分別得出兩種方案中每組的化驗次數(shù)的可能取值，分別計算概率，列出分布列，根據(jù)分布列求解數(shù)學(xué)期望，比較兩種方案中哪種方案化驗次數(shù)最少即可.（2）根據(jù)已知條件，利用條件概率的計算公式求解即可.(1)解：設(shè)方案一中每組的化驗次數(shù)為，則的取值為1，11，∴，，∴的分布列為：111p0.9700.030．故方案一的化驗總次數(shù)的期望值為：次．設(shè)方案二中每組的化驗次數(shù)為，則的取值為1，9，，∴的分布列為：（關(guān)注（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）12p0.9760.024∴．∴方案二的化驗總次數(shù)的期望為次．∵260<298，∴方案一工作量更少．故選擇方案一.(2)設(shè)事件A：核酸檢測呈陽性，事件B：被感染，則由題意得，由條件概率公式可得，∴該人被感染的概率為.例34．為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對、兩個公司的產(chǎn)品需求量進(jìn)行調(diào)研，準(zhǔn)備從國內(nèi)個人口超過萬的超級大城市和個人口低于萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個城市進(jìn)行統(tǒng)計.若一次抽取個城市，每個城市抽取的可能性均相等.(1)假設(shè)取出小城市的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若取出的個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.【答案】(1)分布列見解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)題意知離散型隨機(jī)變量滿足超幾何分布，利用超幾何分布的概率模型求解即可；（2）分別求出個城市全是超大城市和個城市全是小城市個數(shù)，再利用條件概率求解即可.(1)由題意知可取0，1，2，3，4，，，，，，所以的分布列如下：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）數(shù)學(xué)期望；(2)若個城市全是超大城市，共有：；.若個城市全是小城市，共有：；故若取出的4個城市是同一類城市，全為超大城市的概率為：.例35．設(shè)袋中有5個黃球，3個紅球，2個綠球，試按：(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到綠球的概率；(2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到綠球的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據(jù)條件概率和相互獨(dú)立事件的概率公式計算可得.(1)設(shè)，，，則事件“第三次才摸到綠球”可表示為ABC．有放回時，，，，則．(2)不放回時，，，，則例36．一批同型號的螺釘由編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三臺機(jī)器共同生產(chǎn)，各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)陌俜致史謩e為35%，40%，25%，各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘次品率分別為3%，2%和1%.(1)求從這批螺釘中任取一件是次品的概率；.(2)現(xiàn)從這批螺釘中抽到一顆次品，求該次品來自Ⅱ號機(jī)器生產(chǎn)的概率.【答案】(1)0.021(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式求解即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，再根據(jù)條件概率的計算公式求解即可；(1)設(shè)A表示“螺釘是次品”，B1表示“螺釘由Ⅰ號機(jī)器生產(chǎn)”，B2表示“螺釘由Ⅱ號機(jī)器生產(chǎn)”，B3表示“螺釘由Ⅲ號機(jī)器生產(chǎn)”，則P（B1）=0.35，P（B2）=0.4，P（B3）=0.25，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）P（A|B1）=0.03，P（A|B2）=0.02，P（A|B3）=0.01，P（A）=P（AB1）+P（AB2）+P（AB3）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021，(2)由（1），結(jié)合題意可得P（B2|A）===.例37．今年春季新型冠狀病毒肺炎疫情又有爆發(fā)趨勢，上海醫(yī)療資源和患者需求之間也存在矛盾，海安決定支持上海市.在接到上級通知后，某醫(yī)院部門馬上召開動員會，迅速組織隊伍，在報名請戰(zhàn)的6名醫(yī)生（其中男醫(yī)生4人、女醫(yī)生2人）中，任選3人奔赴上海新冠肺炎防治一線．(1)求所選3人中恰有1名女醫(yī)生的概率；(2)設(shè)“男醫(yī)生甲被選中”為事件A，“女醫(yī)生乙被選中”為事件B，求和．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)古典概型的概率公式以及條件概率的概率公式即可求出．(1)（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)所選3人中恰有1名女醫(yī)生為事件M，，故所選3人中恰有1名女醫(yī)生的概率為.(2)，，．【專題12】全概率公式、貝葉斯公式【【專題12全概率公式、貝葉斯公式】【規(guī)律方法】1．全概率公式在全概率的實際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復(fù)雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意的事件，有.我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2．貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意事件，，有，3．在貝葉斯公式中，和分別稱為先驗概率和后驗概率．【典型例題】例38．從甲地到乙地共有A?B?C三條路線可走，走路線A堵車的概率為0.1，走路線B堵車的概率為0.3，走路線C堵車的概率為0.2，若李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則不堵車的概率為（

）A．0.2 B．0.398 C．0.994 D．0.8【答案】D【分析】根據(jù)全概率公式即可得出答案.【詳解】（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）解：由題意可知，李先生走每條路線的概率均為，走路線A不堵車的概率為0.9，走路線B不堵車的概率為0.7，走路線C不堵車的概率為0.8，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）由全概率公式得，李先生不堵車的概率.故選：D.例39．曲靖一中紫薇大酒店開設(shè)一樓、二樓、三樓三個學(xué)生餐廳，A同學(xué)一天午餐隨機(jī)地選擇一個餐廳就餐．如果中午去一樓餐廳就餐，那么當(dāng)天晚上不去一樓就餐的概率等于0.9；如果中午去二樓餐廳就餐，那么當(dāng)晚去二樓就餐的概率等于0.7；如果中午去三樓餐廳就餐，那么晚上不去三樓就餐的概率等于0.8．還知道A同學(xué)晚上選擇在一樓與三樓就餐的概率相等．那么，A同學(xué)晚上選擇在一樓、二樓、三樓就餐的概率分別等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解答：用表示Ａ同學(xué)中午去第層樓就餐，用表示Ａ同學(xué)當(dāng)天晚上去第層樓就餐，；；．故選：D．例40．新冠病毒存在人際間傳播現(xiàn)象，即存在A傳B，B又傳C，C又傳D的傳染現(xiàn)象，那么A，B，C就被稱為第一代?第二代?第三代傳播者.假設(shè)一個身體健康的人被第一代?第二代?第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸，則被感染的概