614期【概率】較難概率問題中的隨機游走與馬爾科夫背景在19年全國一卷高考概率壓軸之后，全國各地?？枷破鹆丝疾爝@類較難概率問題的熱潮。雖然現(xiàn)在已將過去了四年之久，但依舊是模擬考試追逐的熱點問題，同學(xué)們在備考中不能掉以輕心。這類問題特點是概率統(tǒng)計與數(shù)列交匯，涉及面廣，內(nèi)涵豐富。處理這類問題需要巧妙利用數(shù)列的通項、性質(zhì)、求和等數(shù)列的知識。受高中知識的局限，我們同學(xué)對這類問題理解還僅停留在概率結(jié)合數(shù)列考察的表面上，其實在更高視角下，這類問題蘊含著隨機游走模型以及馬爾科夫過程等高等概率論的內(nèi)容。這一期，就借19年全國1卷壓軸題（如下圖）來稍微介紹一下隨機游走模型以及馬爾科夫過程的概念?！尽?9年全國1卷T21】為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【知識精講】【【轉(zhuǎn)移概率】對于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率.【【一維隨機游走模型】設(shè)數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）另一方面，由于，代入上式可得：.進一步，我們假設(shè)在與處各有一個吸收壁，當(dāng)點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：【【馬爾可夫鏈】若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無關(guān).（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【典例精講】【【例12019年全國1卷T21】為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【解析】【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.【點睛】1.雖然此時學(xué)生未學(xué)過全概率公式，但命題人也直接把給出，并沒有讓考生推導(dǎo)這個遞推關(guān)系，實際上，由前面的基本原理，我們可以看到，這就是一維隨機游走模型.【例2】【例2】袋中共有8個乒乓球，其中有5個白球，3個紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補一個紅球放入袋中，重復(fù)上述過程n次后，袋中紅球的個數(shù)記為Xn.(1)求隨機變量X2的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X2)；(2)求隨機變量Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)關(guān)于n的表達式．【分析】【詳解】(1)由題意可知X2＝3,4,5.當(dāng)X2＝3時，即兩次摸球均摸到紅球，其概率是P(X2＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,8))×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,8))＝eq\f(9,64)，當(dāng)X2＝4時，即兩次摸球恰好摸到一紅球，一白球，其概率P(X2＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(1,8)C\o\al(1,8))＋eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4),C\o\al(1,8)C\o\al(1,8))＝eq\f(35,64)，當(dāng)X2＝5時，即兩次摸球均摸到白球的概率是P(X2＝5)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4),C\o\al(1,8)C\o\al(1,8))＝eq\f(5,16)，所以隨機變量X2的概率分布如下表所示：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）X2345Peq\f(9,64)eq\f(35,64)eq\f(5,16)故數(shù)學(xué)期望E(X2)＝3×eq\f(9,64)＋4×eq\f(35,64)＋5×eq\f(5,16)＝eq\f(267,64).(2)設(shè)P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0,1,2,3,4,5，則p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5.P(Xn＋1＝3)＝eq\f(3,8)p0，P(Xn＋1＝4)＝eq\f(5,8)p0＋eq\f(4,8)p1，P(Xn＋1＝5)＝eq\f(4,8)p1＋eq\f(5,8)p2，P(Xn＋1＝6)＝eq\f(3,8)p2＋eq\f(6,8)p3，P(Xn＋1＝7)＝eq\f(2,8)p3＋eq\f(7,8)p4，P(Xn＋1＝8)＝eq\f(1,8)p4＋eq\f(8,8)p5，所以E(Xn＋1)＝3×eq\f(3,8)p0＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝eq\f(29,8)p0＋eq\f(36,8)p1＋eq\f(43,8)p2＋eq\f(50,8)p3＋eq\f(57,8)p4＋eq\f(64,8)p5＝eq\f(7,8)(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝eq\f(7,8)E(Xn)＋1.由此可知，E(Xn＋1)－8＝eq\f(7,8)[E(Xn)－8]．又E(X1)－8＝－eq\f(35,8)，所以數(shù)列{E(Xn)－8}是以－eq\f(35,8)為首項，eq\f(7,8)為公比的等比數(shù)列，所以E(Xn)－8＝－eq\f(35,8)n－1＝－5·n，即E(Xn)＝8－5·n.【例3】【例3】(2022·河南模擬)湖南省會城市長沙又稱星城，是楚文明和湖湘文化的發(fā)源地，是國家首批歷史文化名城．城內(nèi)既有岳麓山、橘子洲等人文景觀，又有岳麓書院、馬王堆漢墓等名勝古跡，每年都有大量游客來長沙參觀旅游．為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中eq\f(1,3)的人計劃只游覽岳麓山，另外eq\f(2,3)的人計劃既游覽岳麓山又參觀馬王堆．每位游客若只游覽岳麓山，則記1分；若既游覽岳麓山又參觀馬王堆，則記2分．假設(shè)每位首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客計劃是否參觀馬王堆相互獨立，視頻率為概率．(1)從游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從游客中隨機抽取n人(n∈N*)，記這n人的合計得分恰為n＋1分的概率為Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；(3)從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為n分的概率為an，隨著抽取人數(shù)的無限增加，an是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由．【分析】【詳解】由題意知，每位游客計劃不參觀馬王堆的概率為eq\f(1,3)，參觀馬王堆的概率為eq\f(2,3)，則X的可能取值為3,4,5,6，P(X＝3)＝3＝eq\f(1,27)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,3)·2＝eq\f(2,9)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,3)·2·eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，P(X＝6)＝3＝eq\f(8,27)，所以X的分布列如下表所示：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）X3456Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以E(X)＝3×eq\f(1,27)＋4×eq\f(2,9)＋5×eq\f(4,9)＋6×eq\f(8,27)＝5.(2)因為這n人的合計得分為n＋1分，則其中只有1人計劃參觀馬王堆，所以Pn＝Ceq\o\al(1,n)·eq\f(2,3)·n－1＝eq\f(2n,3n)，設(shè)Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,32)＋eq\f(6,33)＋…＋eq\f(2n,3n)，則eq\f(1,3)Sn＝eq\f(2,32)＋eq\f(4,33)＋eq\f(6,34)＋…＋eq\f(2n－1,3n)＋eq\f(2n,3n＋1)，由兩式相減得eq\f(2,3)Sn＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,32)＋eq\f(2,33)＋…＋eq\f(2,3n)－eq\f(2n,3n＋1)＝2×－eq\f(2n,3n＋1)＝1－eq\f(2n＋3,3n＋1)，所以P1＋P2＋…＋Pn＝Sn＝eq\f(3,2).(3)在隨機抽取的若干人的合計得分為(n－1)分的基礎(chǔ)上再抽取1人，則這些人的合計得分可能為n分或(n＋1)分，記“合計得n分”為事件A，“合計得(n＋1)分”為事件B，A與B是對立事件．因為P(A)＝an，P(B)＝eq\f(2,3)an－1，所以an＋eq\f(2,3)an－1＝1(n≥2)，即an－eq\f(3,5)＝－eq\f(2,3)(n≥2)．因為a1＝eq\f(1,3)，則數(shù)列是首項為－eq\f(4,15)，公比為－eq\f(2,3)的等比數(shù)列，所以an－eq\f(3,5)＝－eq\f(4,15)n－1，n≥1，所以an＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)n－1＝eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)·n.因為0<<1，則當(dāng)n→∞時，n→0，所以an→eq\f(3,5)，所以隨著抽取人數(shù)的無限增加，an趨近于常數(shù)eq\f(3,5).【例4】【例4】足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（1）求（直接寫出結(jié)果即可）；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。驹斀狻浚?）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（2）第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列．則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大【提升訓(xùn)練】1．（2022?寧德模擬）某市旅游局為盡快恢復(fù)受疫情影響的旅游業(yè)，準(zhǔn)備在本市的景區(qū)推出旅游一卡通（年卡）．為了更科學(xué)的制定一卡通的有關(guān)條例，市旅游局隨機調(diào)查了2019年到本市景區(qū)旅游的1000個游客的年旅游消費支出（單位：百元），并制成如圖頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖，可近似地認(rèn)為到本市景區(qū)旅游的游客，其旅游消費支出服從正態(tài)分布，，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．（1）若2019年到本市景區(qū)旅游游客為500萬人，試估計2019年有多少游客在本市的年旅游消費支出不低于1820元；（2）現(xiàn)依次抽取個游客，假設(shè)每個游客的旅游消費支出相互獨立，記事件表示“連續(xù)3人的旅游消費支出超出”．若表示的概率，，，為常數(shù)），且．求，及，；判斷并證明數(shù)列從第三項起的單調(diào)性，試用概率統(tǒng)計知識解釋其實際意義．（參考數(shù)據(jù)：，，【分析】（1）由直方圖可得，即可得到，結(jié)合已知的，可知旅游費用支出不低于1820元的概率為，求得概率后乘以500得答案．（2）先由題意求得與的值，再列關(guān)于，的方程組求解，的值；由，利用作差法可得從第三項起數(shù)列單調(diào)遞減．其實際意義為隨著抽查人數(shù)的增加，事件“不連續(xù)3人的旅游費用支出超出”的可能性會越來越小．（即最終會出現(xiàn)連續(xù)3人的旅游費用支出超出這一事件）．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】（1）直方圖可得，，，元，旅游費用支出不低于1820元的概率為，，估計2019年有11.4萬的游客在本市的年旅游費用支出不低于1820元．（2），，由，即，解得；數(shù)列從第三項起單調(diào)遞減．，故，又，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即從第三項起數(shù)列單調(diào)遞減．由此，可知隨著抽查人數(shù)的增加，事件“不連續(xù)3人的旅游費用支出超出”的可能性會越來越?。醋罱K會出現(xiàn)連續(xù)3人的旅游費用支出超出這一事件）．2.（2022?湖南模擬）一個袋子中現(xiàn)有7個除顏色外完全相同的小球，其中白球4個，紅球3個．規(guī)定取球規(guī)則：從袋中隨機取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補一個紅球放入袋中，重復(fù)上這過程次后，記袋中紅球的個數(shù)為．（1）求隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（2）記隨機變量的數(shù)學(xué)期望為，①求證：數(shù)列為等比數(shù)列；②求關(guān)于的表達式．【分析】（1）由題意可知，4，5．利用相互獨立、互斥事件的概率計算公式即可得出．（2）①設(shè)，，1，2，3，4．可得，．利用概率與數(shù)學(xué)期望計算公式即可證明數(shù)列為等比數(shù)列；②根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求得關(guān)于的表達式【詳解】（1）隨機變量的可能取值為，4，5，，，所以的概率分布列為345，所以的數(shù)學(xué)期望．（2）①設(shè)，，1，2，3，4．則，．；；；；；，．由此可知，，又，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；②由①可知．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．①求P2，P3；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。敬鸢浮?1)12；(2)①，；②證明過程見詳解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大【分析】（1）設(shè)該選手答對的題目個數(shù)為，該選手在第一輪的得分為η，可得，再寫出的所有可能取值，分別求出其對應(yīng)的概率，進而得到的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望，從而可求得的數(shù)學(xué)期望；（2）①直接根據(jù)題意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率為；②先根據(jù)題意建立與的關(guān)系式，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，進而可得到的通項公式，從而可比較P7，P8．【詳解】（1）設(shè)該選手答對的題目個數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，易知的所有可能取值為0，1，2，則，，，故的分布列為012P則，所以．（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，則．②由第n次回答的是甲的概率為，得當(dāng)n≥2時，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）則，即，又，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．4．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級中學(xué)校考一模）近兩年因為疫情的原因，線上教學(xué)越來越普遍了．為了提升同學(xué)們的聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進行專注度監(jiān)測，即要求同學(xué)們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在認(rèn)真聽課，否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了．經(jīng)過一個月對全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計，平均每次專注度監(jiān)測有的同學(xué)能夠正常完成簽到．為了能夠進一步研究同學(xué)們上課的專注度情況，我們做如下兩個約定：①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分．請回答如下兩個問題：(1)若一節(jié)課老師會進行3次專注度監(jiān)測，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？(2)記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計得分恰為分的概率為（比如：表示累計得分為分的概率，表示累計得分為的概率），求：①的通項公式；②的通項公式．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)二項分布的期望求解，求得三次監(jiān)測中完成簽到次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再求結(jié)果即可；（2）求得的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得；再結(jié)合累加法，以及等比數(shù)列前項和公式，即可求得.【詳解】（1）設(shè)某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測中完成簽到的次數(shù)為，由題可知，，故，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)某班同學(xué)3次專注度監(jiān)測的總得分為，根據(jù)題意，故.故某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學(xué)期望是.（2）①由題可知，根據(jù)題意，，故可得故數(shù)列為首項，公比為的等比數(shù)列，則.②根據(jù)上式可得，則，故的通項公式.5．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．【答案】(1)分布列見解析，；(2)（i）證明見解析；（ii）答案見解析.【分析】（1）由題意知的取值為，求出X的每個值對應(yīng)的概率,即可求得分布列,根據(jù)期望公式求得期望;（2）（i）求得，根據(jù)時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，可得，由此變形得可證明結(jié)論；（ii）求出，當(dāng)時，,即可解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．【詳解】（1）由題意知的取值為，；；；所以X的分布列為012所以；（2）（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，于是有，即，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列;（ii），所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù).6．（2022·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)經(jīng)計算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動，若遙控車最終停在“勝利大本營”（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到“勝利大本營”或“微笑大本營”時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到萬元）.【答案】(1)；；(2)；(3)證明見解析，參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元.【分析】（1）利用直方圖求平均值的公式即得；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可；（3）由題可得，利用定義證明其為等比數(shù)列，結(jié)合累加法得出的表達式，由此得到，，設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0，分別求出或0的概率，然后求出期望即可.【詳解】（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：；（2）∵，∴.（3）由題可知，遙控車移到第格有兩種可能：①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，∴，∴時，，又∵，∴當(dāng)時，數(shù)列首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，以上各式相加，得，∴時，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）∴到達“勝利大本營”的概率，∴設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，則或0，∴的期望，∴參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元7．（2022·江蘇南京·南京市江寧高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．【答案】(1)分布列見解析，(2)①證明見解析；②【分析】（1）先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學(xué)期望；滿足.【詳解】（1）解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項分布依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：X0123P期望．（2）解析：遞推求解①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，∴是以為首項．公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故．8．（2022·山西太原·統(tǒng)考二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓(xùn)練中的兩個重要訓(xùn)練項目．(1)假設(shè)發(fā)點球時，球員等可能地選擇