630期【導(dǎo)數(shù)】東北三省三校二聯(lián)導(dǎo)數(shù)不用洛必達(dá)還真不好做！昨天，東北三省三校（哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）第二次聯(lián)考導(dǎo)數(shù)壓軸不用洛必達(dá)還真不好做（原題如下）。這一期就解這一道題總結(jié)一下洛必達(dá)法則以及關(guān)于洛必達(dá)法則的典型應(yīng)用?！尽緰|北三省三校二聯(lián)T22】（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求過原點(diǎn)且與相切的直線方程；（2）若有兩個不同的零點(diǎn)、，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.一、此題解析（1）的定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程為：把點(diǎn)帶入切線得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，的切線方程為：又有兩個不同零點(diǎn)，則構(gòu)造函數(shù)，為增函數(shù)，且，即方程有兩個不等實(shí)根令，，則，則設(shè)，設(shè)，在遞增，，則在遞減，所以的最小值為所以，的最小值為3，即的取值范圍為.一、關(guān)于洛必達(dá)在有的問題中，我們要研究函數(shù)的圖象，但函數(shù)存在沒有定義的點(diǎn)，代入解析式計算函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值時，會出現(xiàn)諸如、的不定式，從而無法用初等的方法研究函數(shù)在該點(diǎn)附近的圖象走勢.例如，在研究函數(shù)在附近的圖象時，初等代數(shù)的方法就會顯得束手無策，此時，我們需要用到高等代數(shù)中的一個重要定理：洛必達(dá)法則.【知識精講】【【型及型不定式定義】如果當(dāng)（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.【【定理1（型）】若函數(shù)和滿足下列條件：（1）設(shè)當(dāng)時，及；（2）在點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（3）；那么.【【定理2（型）】若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；

（2），和在與上可導(dǎo)，且；

（3），那么.【【定理3（型）】若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；

(3)，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）那么=.【注意】將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.【【、、、、型轉(zhuǎn)化】1、型的轉(zhuǎn)化：或；2、型的轉(zhuǎn)化：3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類洛必達(dá)法則給了我們一種求極限的簡便方法，在高中數(shù)學(xué)的范疇，一般來說，洛必達(dá)法則的條件都能夠滿足，因此，如果遇到型、型的不定式，就可以把分子分母分別求導(dǎo)，再求極限，所得的結(jié)果與原來的極限值是相等的.下面我們來考慮時，式的極限值，注意到該式的分子，分母，屬于型的不定式，分子分母在附近都能求導(dǎo)，所以兩者相除所得的極限值等于分子分母分別求導(dǎo)之后再相除求極限所得值，即.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）如果我們要作出函數(shù)的圖象，可以先求導(dǎo)研究其單調(diào)性，再作草圖.易求得，令，則，顯然，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，所以在和上均為減函數(shù)，雖然在處沒有定義，但我們已經(jīng)求出了它在時的極限，再求出當(dāng)、時的極限值，，據(jù)此就可以作出函數(shù)的草圖，如下圖所示.洛必達(dá)法則在高等代數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，在高中數(shù)學(xué)里，我們也可以用它來解決一些簡單的求極限問題.下面通過一些實(shí)例來感受洛必達(dá)法則的作用.【注意】①若用了一次洛必達(dá)法則后，仍然滿足洛必達(dá)法則的使用條件，那么可以再用洛必達(dá)法則，直到不滿足洛必達(dá)法則的使用條件為止；②在解答題中使用洛必達(dá)法則，存在被扣分的風(fēng)險，所以本節(jié)的例題和強(qiáng)化訓(xùn)練，我們都只選取小題.解答題中使用洛必達(dá)法則的方法和小題中類似；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）③同學(xué)們提前了解洛必達(dá)法則，主要目的是學(xué)習(xí)一個新的研究函數(shù)的工具，能夠站在更高處，更為透徹地看待問題，不應(yīng)該是為了用它投機(jī)取巧，反而忽略了高中數(shù)學(xué)中本該重點(diǎn)學(xué)習(xí)的初等方法.【典例精講】例1．已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，令，則所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，（1），即在上單調(diào)遞增，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間．（2）對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立．當(dāng)，對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立．記，則，記，則，所以在單調(diào)遞減，又（1），所以，時，，即，所以在單調(diào)遞減．所以，綜上所述，的取值范圍是．例2．設(shè)函數(shù)，其中．（1）時，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；（3）若，成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時，切點(diǎn)為，則，所以，切線方程為，即，所以切線方程為：；（2）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，，①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，②當(dāng)時，△，當(dāng)時，△，，，所以在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)時，△，設(shè)方程的兩個根，，，且，，此時，因?yàn)?，，，，所以，因?yàn)?，，時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，當(dāng)時，△，設(shè)方程的兩個根，，，且，，此時，因?yàn)?，所以，所以，時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有一個極值點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)；（3）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋詴r，，符合題意，當(dāng)時，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以時，，符合題意，當(dāng)時，由，得，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以時，時，不符合題意，當(dāng)時，設(shè)，因?yàn)闀r，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，可得，當(dāng)時，，此時，不合題意，綜上，的取值范圍為，．例3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），在點(diǎn)，（1）處的切線的斜率（1），又（1），切線的方程為，即，由經(jīng)過點(diǎn)，可得．（2）證明：易知為方程的根，由題只需說明當(dāng)和時原方程均沒有實(shí)數(shù)解即可．①當(dāng)時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解，若，，，令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，從而，，此時方程也無解．若，由，記，則，設(shè)，則有恒成立，恒成立，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故令在上遞增，在上遞減（1），可知原方程也無解，由上面的分析可知時，，方程均無解．②當(dāng)時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解，若，和①中的分析同理可知此時方程也無解．若，由，記，則，由①中的分析知，故在恒成立，從而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，如果，即，則，要使方程無解，只需，即有如果，即，此時，，方程一定有解，不滿足．由上面的分析知時，，方程均無解，綜合①②可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，方程有唯一解，的取值范圍為．例4．設(shè)函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍．【解析】（1）時，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．（2）當(dāng)時，，對于任意實(shí)數(shù)，恒成立；當(dāng)時，等價于，令，則，令，則，，所以在上為增函數(shù)，，所以在上為增函數(shù)，，所以，在上為增函數(shù)．而，，由洛必達(dá)法則知，，故．綜上得的取值范圍為．例5．設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；（2）若，成立，求的取值范圍．【解析】（1），定義域?yàn)?，?dāng)時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點(diǎn)．設(shè)，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)．若，即時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點(diǎn)．若，即或，而當(dāng)時此時方程在只有一個實(shí)數(shù)根，此時函數(shù)只有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時方程在都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，此時函數(shù)有兩個極值點(diǎn)；綜上可知當(dāng)時的極值點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng)時的極值點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)時，的極值點(diǎn)個數(shù)為2．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）函數(shù)，，都有成立，即恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以和時，，所以在對應(yīng)區(qū)間遞減，時，，所以在對應(yīng)區(qū)間遞增，因?yàn)椋?，，所以和時，，所以在與上遞增．當(dāng)時，，所以，由的單調(diào)性得，；當(dāng)時，，恒成立；當(dāng)時，，所以，由的單調(diào)性得，所以，綜上，例6．已知函數(shù)，，若對于任意恒成立，求的取值集合．【解析】恒成立，即．當(dāng)時顯然成立，即．當(dāng)時，，令，則，令，則，所以遞增，所以，所以在上恒成立．所以在上遞增，根據(jù)洛必達(dá)法則得，，所以．同理，當(dāng)時，．綜上所述，的取值集合為．例7．設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】已知恒成立，即恒成立．當(dāng)時，為任意實(shí)數(shù)，均有不等式恒成立．當(dāng)時，不等式變形為恒成立．令，則，再令，則．因?yàn)?，所以，所以在上遞增，從而有．進(jìn)而有，所以在上遞增．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，有，，由洛必達(dá)法則得，所以當(dāng)時，．所以恒成立，則．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．例8．若不等式對于恒成立，求的取值范圍．【解析】當(dāng)時，原不等式等價于．記，則．記，則．因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且．因此在上單調(diào)遞減，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）且，故，因此在上