632期【數(shù)例】東北三省三校二聯(lián)數(shù)列新定義題很不錯(cuò)！昨天，東北三省三校（哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）第二次聯(lián)考數(shù)列出的非常不錯(cuò)，屬于新定義類(lèi)型的題目（原題如下）。這一期，就借這道題給備考中的同學(xué)們找?guī)椎佬露x類(lèi)型的題目練練手！【【東北三省三校二聯(lián)T20】（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列，設(shè)，若滿(mǎn)足性質(zhì)：存在常數(shù)，使得對(duì)于任意兩兩不等的正整數(shù)、、，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”.（1）若，判斷數(shù)列是否為“夢(mèng)想數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若，判斷數(shù)列是否為“夢(mèng)想數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）判斷“夢(mèng)想數(shù)列”是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由.一、此題解析（1）由題可知將、相互替換得，兩式相加的當(dāng)時(shí)，，，所以不是“夢(mèng)想數(shù)列”（2），，所以，是“夢(mèng)想數(shù)列”①令，，，則所以，，即、、成等差數(shù)列②令，，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則即所以，所以，，當(dāng)時(shí)也成立.綜上可得，“夢(mèng)想數(shù)列”是等差數(shù)列.歸納幾道數(shù)列新定義題【【例1】如果數(shù)列對(duì)于任意，都有，其中d為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列是“間等差數(shù)列”，d為“間公差”，若數(shù)列滿(mǎn)足，，

求證：數(shù)列是“間等差數(shù)列”，并求間公差d；

設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若的最小值為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【分析】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力．

若數(shù)列滿(mǎn)足，，則：，兩式相減，便可得到結(jié)論.

按照、分兩種情況進(jìn)行討論，分別求出最小值，要使其最小值為，則，解這個(gè)不等式，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】證明：若數(shù)列滿(mǎn)足，，

則：，

兩式相減得：

故：數(shù)列是“間等差數(shù)列”，間公差

解：當(dāng)時(shí)，…

…

易知：當(dāng)時(shí)，最小值

當(dāng)時(shí)，…

…，

當(dāng)時(shí)最小，其最小值為，

要使其最小值為，則，

解得：【【例2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為

求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；

若存在一個(gè)正實(shí)數(shù)M使得對(duì)一切都成立，則稱(chēng)數(shù)列為有界數(shù)列．試判斷此數(shù)列是否為有界數(shù)列，并說(shuō)明理由．【分析】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.

由數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用作差法，即可得出數(shù)列是遞增數(shù)列；

可得，根據(jù)有界數(shù)列的定義即可判斷.

【詳解】證明：

，

，即數(shù)列是遞增數(shù)列．

解：，

數(shù)列是有界數(shù)列．【【例3】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，若，，，再?gòu)娜齻€(gè)條件：①；②，；③，中任選一組作為已知條件，完成下面問(wèn)題的解答.

求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

定義：，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于拔高題.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

利用分類(lèi)討論思想的應(yīng)用求出數(shù)列的和．

【詳解】解：由，得，又，則，

數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

即

若選①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，

若選②由，得，又因?yàn)椋?/p>

所以數(shù)列是以20為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

若選③

由知，，，

則，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以：【【例4】已知數(shù)列，若存在正整數(shù)T，對(duì)一切N，都有，則稱(chēng)數(shù)列為周期數(shù)列，T是它的一個(gè)周期．已知，，求數(shù)列的前40項(xiàng)和數(shù)列1，2，1，2，…的最小正周期是多少？并求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和；【分析】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系以及數(shù)列的求和.

先化簡(jiǎn)，得出其特征，再分組求和即可；

易得數(shù)列的周期，分n為奇數(shù)和偶數(shù)求和即可.

【詳解】解：

故；

最小正周期為2；

，

故【【例5】對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得對(duì)任意的都有成立，那么就把這樣一類(lèi)數(shù)列稱(chēng)作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱(chēng)作數(shù)列的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱(chēng)周期.例如當(dāng)時(shí)是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)是周期為4的周期數(shù)列.

設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，不同時(shí)為，求證：數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，并求數(shù)列的前2019項(xiàng)的和；

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且

①若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

②若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由.【分析】本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征，屬于拔高題.

根據(jù)題意聯(lián)立方程組，解得，又，得證是周期為6的周期數(shù)列，并求得；

利用與的關(guān)系，得或，然后分類(lèi)討論證明；

假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè)，得是周期為6的周期數(shù)列，分類(lèi)討論求得，則恒成立，只要，即可.

【詳解】解：證明：

又，

所以是周期為6的周期數(shù)列，

所以

即數(shù)列的前2019項(xiàng)的和

當(dāng)時(shí)，，

又得

當(dāng)時(shí)，

，

即或

①由有，

則為等差數(shù)列，即，

由于對(duì)任意的n都有，所以不是周期數(shù)列.

②由有，

數(shù)列為等比數(shù)列，即，

存在使得對(duì)任意都成立，

即當(dāng)時(shí)是周期為2的周期數(shù)列.

假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè).

于是，

又即，

所以是周期為6的周期數(shù)列，

的前6項(xiàng)分別為，

則，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，

為使恒成立，只要，即可，

綜上，假設(shè)存在，滿(mǎn)足題設(shè)，，【【例6】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；若存在一個(gè)正實(shí)數(shù)M使得對(duì)一切都成立，則稱(chēng)數(shù)列為有界數(shù)列．試判斷此數(shù)列是否為有界數(shù)列，并說(shuō)明理由．【分析】本題考