691期【圓錐】雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)7結(jié)論圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象，其中具有相同焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線更是出題的常用模型。在近年高考及全國(guó)各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問(wèn)題，此類問(wèn)題因涉及知識(shí)的交匯、體現(xiàn)綜合運(yùn)用能力，學(xué)生面對(duì)此類問(wèn)題往往束手無(wú)策，這一期就簡(jiǎn)單來(lái)談?wù)勲p曲線與橢圓共焦點(diǎn)能激發(fā)出哪些有趣的結(jié)論！附，有關(guān)雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)8應(yīng)用及更多練習(xí)題，可以在公眾號(hào)內(nèi)搜索小π之前推送的資料《482期【圓錐】橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)常用7結(jié)論與8應(yīng)用（76頁(yè)）》鏈接：/s/Bga3Ov3BbZZkYIg7-BaqYg共焦點(diǎn)常用7結(jié)論【結(jié)論1】【結(jié)論1】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結(jié)論2】【結(jié)論2】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式得．【結(jié)論3】【結(jié)論3】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，則．證明：由結(jié)論2得，又．注意到．【結(jié)論【結(jié)論4】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則．證明：．【評(píng)注】結(jié)論4反映之間的等量關(guān)系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結(jié)論【結(jié)論5】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）證法2：借助焦點(diǎn)三角形面積公式運(yùn)用面積公式，設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為，雙曲線的虛半軸長(zhǎng)為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結(jié)論【結(jié)論6】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．證明：橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點(diǎn)處的切線，該切線的斜率為，；又由結(jié)論1得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．【結(jié)論【結(jié)論7】若點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且它們?cè)邳c(diǎn)處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．注：有關(guān)雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)8應(yīng)用及更多練習(xí)題，可以在公眾號(hào)內(nèi)搜索小π之前推送的資料《482期【圓