714期【導(dǎo)數(shù)】極值點三大充分條件秒殺高考壓軸新高考Ⅱ卷，看似是兩個獨立的小問，實則在第（2）問證明的過程中會用到第（1）問的不等式。如果仔細做一下這道題，你還會發(fā)現(xiàn)這道題考察形式上與2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷(理)·第21題非常相似，都是給出極值點求參數(shù)問題，因此在解法上可以參考18年的課標Ⅲ卷，可以利用極值點第二充分條件解決；但又有所不同，23年新高考Ⅱ卷所給函數(shù)有其特殊性，是個偶函數(shù)，但18年課標Ⅲ卷函數(shù)不具備任何特殊性！在下文中會給出18年的課標Ⅲ卷5種解法，方便讀者和此題作對比。這一期，簡要給同學(xué)們介紹一下極值點的三大充分條件，以及在高考中的應(yīng)用！【知識精講】極值點的必要條件【【極值點的必要條件】已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則是函數(shù)的極值點的必要條件是極值點第一充分條件【【極值點第一充分條件】已知函數(shù)在處連續(xù)，且在某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，①若時,，而若時,，則在處取得極小值；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）②若時,，而若時,，則在處取得極大值；③若在和內(nèi)不變號，則點不是極值點極值點第二充分條件【【極值點第二充分條件】已知函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且，，①若，則在處取得極小值；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）②若，則在處取得極大值；極值點第三充分條件【【極值點第三充分條件】函數(shù)在處階可導(dǎo)，且，，①當為偶數(shù)且，則在處取得極小值；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）②當為偶數(shù)且，則在處取得極大值；【注】若為奇數(shù)，不是函數(shù)的極值點；另外極值點第三充分條件的另外一種表述如下【【極值點第三充分條件】已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，則是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0高中數(shù)學(xué)中，關(guān)于極值點的定義不是很清晰，這是因為嚴格的極值的定義需要用到高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極限等概念。眾所周知，可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值為零僅僅是極值點的一個必要而非充分條件．為了避開極限等概念，高中數(shù)學(xué)判定極值點往往是先判斷出函數(shù)在整個區(qū)間的單調(diào)性，再來確定極值．而當函數(shù)比較復(fù)雜或者含有參數(shù)時，這種方法就很煩瑣．上面給出高等數(shù)學(xué)中的極值點三大充分條件，由于其證明需要用到高等數(shù)學(xué)知識，因而一般學(xué)生不必掌握，但對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以嘗試理解并記住結(jié)論加以應(yīng)用．【典例精講】【【例12023年新高考Ⅱ卷T22】（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當時，取，，則，由（1）可得，且，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，即當時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當時，則，且，則，即當時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）1.當時，利用，換元放縮；2.當時，利用，換元放縮.利用極值點第二充分條件，，，因為是的極大值點，令，得或【點睛】【極值點第二充分條件】已知函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且，，①若，則在處取得極小值；②若，則在處取得極大值；【【例22018年課標Ⅲ卷理T21】已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，，當時，；（2）若是的極大值點，求．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【官方標答】（1）當時，，設(shè)函數(shù)，則當時，；當時，，故當時，所以在上單調(diào)遞增又，故當時，；當時，．（2）(i)若，由(1)知，當時，這與是的極大值點矛盾（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(ii)若，設(shè)函數(shù)由于當時，，故與符號相同又，故是的極大值點，當且僅當是的極大值點如果，則當，且時，，故不是的極大值點（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）如果，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點如果，則則當時，；當時，所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上．另外5種解法【第（1）小問】法一：當時，函數(shù)的定義域為，此時記則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而所以當時，，此時當時，，此時法二：當時，，則，①當時，，此時單調(diào)遞減所以時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增所以時，②當時，，此時單調(diào)遞增所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以當時，綜上所述若，證明：當時，，當時，．【第（2）小問】法一：由可得所以（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因為是的極大值點所以，當時，；當時，又設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，；當時，所以當時，設(shè)，則當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增所以任意時，所以若時，，此時不存在極值，故由(1)知，當時，；當時，顯然，當時，①當時，則（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）若，則，使得當時，，此時不滿足題意，故，即②當時，則若，則，使得當時，，此時，不滿足題意，故，即綜上，，所以．法二：記，當，時，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，即所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點不符合；當時，，顯然可知遞減①，解得，則有，，遞增；時，，遞減，所以，故遞減，又則，，，遞增；，，，遞減此時為的極大值點，符合題意（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）②當時，有，所以在有唯一零點，記為，則，，遞增則，遞增，所以，即，遞增，不符合題意；③當時，有，所以在有唯一零點，記為，則，，遞減則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意綜上可知．法三：利用極限（超綱）若是的極大值點，注意到，則存在充分接近于的，使得當時，，當時，得到一個恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。對任意的，都有，進而有=1\*GB3①當時，，當時，=2\*GB3②當時，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當時，綜上：．法四：利用極值點第三充分條件（超綱）【【極值點第三充分條件】已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0，，，由得下證：當時，是的極大值點，，所以在單增，在單減進而有，從而在單減，當時，，當時，從而在單增，在單減，所以是的極大值點?！军c睛】計算量很大，但不失為一種基本方法，激勵熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖?，還可以從大學(xué)的角度給出一種解法。通過在階的帕德逼近可得，且兩個函數(shù)在處兩個函數(shù)可以無限制逼近，估計這也是考試中心構(gòu)造這個函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。法五：利用極值點第三充分條件推論（超綱）【【引理1】若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【證明】，因為，且，代入化簡即證：，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）令，則易得，，，