七年級(jí)有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納與典型例題有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的入門(mén)與基石，學(xué)好這部分內(nèi)容，不僅能為后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，更能培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和運(yùn)算能力。本章我們將系統(tǒng)梳理有理數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)，并通過(guò)典型例題的解析，幫助同學(xué)們深化理解，掌握解題技巧。一、有理數(shù)的基本概念1.1正數(shù)與負(fù)數(shù)我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)了自然數(shù)和分?jǐn)?shù)（小數(shù)），它們主要用于表示“有”或“多”。但在實(shí)際生活中，我們還會(huì)遇到表示“沒(méi)有”、“不足”或“相反意義”的量。*正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。例如：+3（可省略“+”號(hào)寫(xiě)作3）、+2.5、1/2等。正數(shù)前面的“+”號(hào)，通?？墒÷圆粚?xiě)。*負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。例如：-1、-3.8、-2/3等。負(fù)數(shù)前面的“-”號(hào)，不能省略。*0：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，表示“沒(méi)有”或“基準(zhǔn)”的含義。關(guān)鍵點(diǎn)：引入負(fù)數(shù)后，我們就可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示具有相反意義的量。例如，規(guī)定向東為正，則向西為負(fù)；規(guī)定收入為正，則支出為負(fù)。1.2有理數(shù)的定義與分類(lèi)*有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。*整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)。例如：1，2，0，-1，-3等。*分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)。例如：1/2，-3/4，0.25（可化為1/4），-1.3（可化為-13/10）等。有理數(shù)的分類(lèi)方法通常有兩種：1.按定義分類(lèi)：有理數(shù){整數(shù){正整數(shù),0,負(fù)整數(shù)},分?jǐn)?shù){正分?jǐn)?shù),負(fù)分?jǐn)?shù)}}2.按性質(zhì)（符號(hào)）分類(lèi)：有理數(shù){正有理數(shù){正整數(shù),正分?jǐn)?shù)},0,負(fù)有理數(shù){負(fù)整數(shù),負(fù)分?jǐn)?shù)}}注意：*有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，因此它們都是有理數(shù)。*無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（如π）不能化為分?jǐn)?shù)，因此不是有理數(shù)。二、數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值2.1數(shù)軸數(shù)軸是理解有理數(shù)概念和運(yùn)算的重要工具。*定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸。*數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)（表示0的點(diǎn)）、正方向（通常規(guī)定向右為正方向）、單位長(zhǎng)度（選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，同一數(shù)軸上單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一）。如何畫(huà)數(shù)軸：1.畫(huà)一條水平直線(xiàn)。2.在直線(xiàn)上選取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，標(biāo)記為0。3.規(guī)定向右的方向?yàn)檎较颍?huà)上箭頭。4.根據(jù)需要選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示-1，-2，-3，…。數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系：*任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。*數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。2.2相反數(shù)*定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。特別地，0的相反數(shù)是0。例如：3的相反數(shù)是-3，-5的相反數(shù)是5，a的相反數(shù)是-a。*幾何意義：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)的距離相等。求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)：只需在這個(gè)數(shù)前面加上“-”號(hào)。若原數(shù)帶有符號(hào)，則需要先添括號(hào)再添負(fù)號(hào)。例如：-(+5)=-5，-(-7)=7。2.3絕對(duì)值絕對(duì)值是有理數(shù)中的一個(gè)核心概念，務(wù)必深刻理解。*定義（幾何意義）：在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|。*代數(shù)定義：*一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；*一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；*0的絕對(duì)值是0。用式子表示為：當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a；當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0；當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a。絕對(duì)值的性質(zhì)：1.非負(fù)性：任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0。2.若|a|=|b|，則a=b或a=-b。3.|a|=|-a|。利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小。例如：比較-3和-5的大小。因?yàn)閨-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。三、有理數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算包括加法、減法、乘法、除法和乘方。掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是正確進(jìn)行運(yùn)算的關(guān)鍵。3.1有理數(shù)的加法*法則：1.同號(hào)兩數(shù)相加：取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。例如：(+3)+(+5)=+(3+5)=8；(-2)+(-4)=-(2+4)=-6。2.異號(hào)兩數(shù)相加：絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。例如：(+3)+(-3)=0；(+5)+(-2)=+(5-2)=3；(-7)+(+4)=-(7-4)=-3。3.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。例如：0+(-5)=-5。*運(yùn)算律：*加法交換律：a+b=b+a*加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)運(yùn)用運(yùn)算律可以使一些運(yùn)算簡(jiǎn)便，例如將互為相反數(shù)的數(shù)結(jié)合，將同號(hào)的數(shù)結(jié)合，或?qū)⒛軠愓臄?shù)結(jié)合。3.2有理數(shù)的減法*法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用式子表示為：a-b=a+(-b)例如：5-8=5+(-8)=-3；3-(-4)=3+(+4)=7；-2-(-5)=-2+(+5)=3。注意：減法運(yùn)算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。3.3有理數(shù)的乘法*法則：1.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。2.任何數(shù)同0相乘，都得0。例如：(+3)×(+4)=12；(-2)×(-5)=10；(-3)×2=-6；0×(-7)=0。3.幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。并把各個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值相乘。例如：(-1)×(-2)×(-3)=-6（三個(gè)負(fù)因數(shù)，積為負(fù)）；(-1)×(-2)×3=6（兩個(gè)負(fù)因數(shù)，積為正）。4.幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。*運(yùn)算律：*乘法交換律：a×b=b×a*乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c乘法分配律在簡(jiǎn)化計(jì)算中應(yīng)用廣泛。3.4有理數(shù)的除法*法則：1.除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。用式子表示為：a÷b=a×(1/b)(b≠0)2.兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。例如：8÷(-2)=-4；(-15)÷(-3)=5；0÷6=0。注意：0不能作除數(shù)。3.5有理數(shù)的乘方*定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在a?中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，a?讀作“a的n次方”或“a的n次冪”。例如：23表示3個(gè)2相乘，即2×2×2=8。*乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：1.正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。2.負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。3.0的任何正整數(shù)次冪都是0。例如：(-2)?=16（偶次冪為正）；(-3)3=-27（奇次冪為負(fù)）。*注意：*(-a)?與-a?的區(qū)別：(-a)?是a的相反數(shù)的n次冪；-a?是a的n次冪的相反數(shù)。例如：(-2)2=4，而-22=-4。*1的任何次冪都是1，-1的奇次冪是-1，-1的偶次冪是1。3.6有理數(shù)的混合運(yùn)算順序有理數(shù)的混合運(yùn)算，應(yīng)按以下順序進(jìn)行：1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。在運(yùn)算過(guò)程中，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算的，要盡量運(yùn)用。四、典型例題解析例1：基本概念辨析題目：下列說(shuō)法正確的是（）A.正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)B.0是最小的有理數(shù)C.絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)D.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等思路點(diǎn)撥：本題主要考查有理數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值的基本概念。需要對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷。解答過(guò)程：A.有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，也可以說(shuō)包括正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)。正數(shù)和負(fù)數(shù)中不包含0，而0是有理數(shù)，所以A錯(cuò)誤。B.沒(méi)有最小的有理數(shù)，因?yàn)樨?fù)有理數(shù)可以無(wú)限小，所以B錯(cuò)誤。C.絕對(duì)值等于它本身的數(shù)不僅有正數(shù)，還有0，所以C錯(cuò)誤。D.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，即絕對(duì)值相等，所以D正確。答案：D點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)題目主要考查對(duì)基本概念的準(zhǔn)確理解，需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中吃透定義，注意特殊情況（如0）。例2：數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值的綜合應(yīng)用題目：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示（此處假設(shè)a在原點(diǎn)左側(cè)，距離原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度；b在原點(diǎn)右側(cè)，距離原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度）。（1）寫(xiě)出a、b的值；（2）求a+b，a-b，|a|-|b|的值。思路點(diǎn)撥：根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定a、b的符號(hào)和絕對(duì)值，然后進(jìn)行計(jì)算。解答過(guò)程：（1）由題意可知，a在原點(diǎn)左側(cè)，距離原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以a=-3；b在原點(diǎn)右側(cè)，距離原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以b=2。（2）a+b=(-3)+2=-1；a-b=(-3)-2=(-3)+(-2)=-5；a-b=-3-2點(diǎn)評(píng)：數(shù)軸是理解有理數(shù)概念和進(jìn)行大小比較的重要工具。本題也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的初步應(yīng)用。例3：有理數(shù)的混合運(yùn)算題目：計(jì)算：-1?-(1-0.5)×1/3×[2-(-3)2]思路點(diǎn)撥：按照有理數(shù)混合運(yùn)算的順序進(jìn)行：先算乘方，再算乘除，最后算加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。特別注意-1?與(-1)?的區(qū)別。解答過(guò)程：原式=-1-(0.5)×1/3×[2-9]（先算乘方：-1?=-1，(-3)2=9）=-1-(1/2)×1/3×(-7)（再算小括號(hào)內(nèi)的1-0.5=0.5=1/2，中括號(hào)內(nèi)的2-9=-7）=-1-(1/6)×(-7)（接著算乘法：1/2×1/3=1/6）=-1+7/6（再算乘法：1/6×(-7)=-7/6，前面有負(fù)號(hào)，變?yōu)?7/6）=(-6/6)+7/6（通分，將-1化為-6/6）=1/6（最后算加法）答案：1/6點(diǎn)評(píng)：有理數(shù)的混合運(yùn)算是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要同學(xué)們仔細(xì)審題，嚴(yán)格按照運(yùn)算順序進(jìn)行，同時(shí)注意符號(hào)的處理，步驟清晰，才能保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。例4：利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算題目：計(jì)算：(4/5-3/4+1/2)×(-20)思路點(diǎn)撥：觀察到括號(hào)內(nèi)各分?jǐn)?shù)的分母都是20的因數(shù)，因此可以利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。解答過(guò)程：原式=4/5×(-20)-3/4×(-20)+1/2×(-20)（運(yùn)用乘法分配律a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d）=-16+15-10（分別計(jì)算各項(xiàng)乘積：4/5×(-20)=-16，-3/4×(-20)=+15，1/2×(-20)=-10）=(-16-10)+15（結(jié)合負(fù)數(shù)先相加）=-26+15=-11答案：-11點(diǎn)評(píng)：乘法分配律是簡(jiǎn)化有理數(shù)混合運(yùn)算的有力工具，恰當(dāng)運(yùn)用可以大大減少計(jì)算量，提高正確率。五、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議有理數(shù)這一章概念較多，運(yùn)算量大，是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。學(xué)好本章，建議同學(xué)們：1.重視概念理解：對(duì)于正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值等基本概