高中數(shù)學統(tǒng)計學考前復習題集——核心考點梳理與強化訓練同學們，統(tǒng)計學作為高中數(shù)學的重要組成部分，不僅在高考中占有一席之地，更是培養(yǎng)我們數(shù)據(jù)分析與理性思維的關(guān)鍵工具。臨近考試，這份復習題集旨在幫助大家系統(tǒng)梳理核心知識點，鞏固基礎(chǔ)，并通過典型例題與練習，提升解決實際問題的能力。請大家務必結(jié)合課本概念，仔細研讀，動手實踐，爭取在統(tǒng)計部分取得理想成績。---模塊一：隨機抽樣統(tǒng)計的第一步是獲取可靠的數(shù)據(jù)，而隨機抽樣是保證數(shù)據(jù)代表性的基礎(chǔ)。我們需要理解不同抽樣方法的適用場景和操作步驟，并能準確區(qū)分。一、基礎(chǔ)回顧1.簡單隨機抽樣：從總體中逐個抽取，且每個個體被抽到的概率相等。常用方法有抽簽法和隨機數(shù)法。其特點是操作簡便，適用于總體容量不大的情況。2.系統(tǒng)抽樣：將總體均勻分成若干部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個個體。步驟為：編號、分段、確定起始編號、抽取樣本。適用于總體容量較大且個體分布較均勻的情況。3.分層抽樣：將總體按某種特征分成若干層，然后從每層中獨立地抽取一定數(shù)量的個體。其優(yōu)點是能使樣本更具代表性，適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況。二、典型例題與練習例題1：某中學高一年級有學生若干名，為了了解學生每天用于休息的時間，決定抽取容量為n的樣本進行調(diào)查。若該校高一年級有三個班級，各班學生人數(shù)差異不大，且學生休息習慣可能與班級氛圍有關(guān)。請問應選擇何種抽樣方法？簡述理由。分析：雖然各班人數(shù)差異不大，但休息習慣可能與班級氛圍有關(guān)，即存在潛在的分層特征。此時采用分層抽樣，按班級分層，可以更好地保證樣本中每個班級的學生都有適當?shù)拇恚瑥亩箻颖靖芊从晨傮w的情況。練習1：為了檢查一批零件的質(zhì)量，從中抽取一部分進行檢驗。若這批零件數(shù)量較多且生產(chǎn)過程相對穩(wěn)定，零件質(zhì)量差異較小。下列抽樣方法中最合適的是（）A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.以上均可練習2：某社區(qū)有居民若干戶，其中高收入家庭、中等收入家庭、低收入家庭的戶數(shù)之比約為1:3:2。為了解該社區(qū)居民的消費結(jié)構(gòu)，擬抽取一個容量為m的樣本。若采用分層抽樣，且從高收入家庭中抽取了a戶，求m的值及從低收入家庭中應抽取的戶數(shù)。---模塊二：用樣本估計總體獲取樣本后，如何通過樣本數(shù)據(jù)來估計總體的特征是統(tǒng)計學的核心內(nèi)容。這包括對數(shù)據(jù)分布形態(tài)的描述和數(shù)字特征的計算。一、基礎(chǔ)回顧1.頻率分布表與頻率分布直方圖：*頻率=頻數(shù)/樣本容量。*直方圖中，小矩形的面積=組距×(頻率/組距)=頻率。*所有小矩形的面積之和為1。2.莖葉圖：能保留原始數(shù)據(jù)信息，便于記錄和比較。3.數(shù)字特征：*集中趨勢：平均數(shù)（$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$）、中位數(shù)（將數(shù)據(jù)從小到大排列后，位于中間位置的數(shù)）、眾數(shù)（出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)）。*離散程度：方差（$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$或$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，注意題目要求）、標準差（方差的算術(shù)平方根）。方差和標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大。二、典型例題與練習例題2：某班學生在一次數(shù)學測驗中的成績（單位：分）如下：[具體分數(shù)，此處省略，實際出題時需列出，注意分數(shù)為兩位數(shù)或一位數(shù)，避免四位數(shù)以上]請根據(jù)上述數(shù)據(jù)：（1）繪制頻率分布直方圖（提示：可將成績分成若干組，如[區(qū)間1)，[區(qū)間2)，...）；（2）計算該班學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)和方差（方差計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班學生成績在某一分數(shù)段內(nèi)的概率。練習3：某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖如下（單位：分）：甲：[具體莖葉圖數(shù)據(jù)]乙：[具體莖葉圖數(shù)據(jù)]則下列說法正確的是（）A.甲的得分中位數(shù)大于乙的得分中位數(shù)B.甲的得分平均數(shù)大于乙的得分平均數(shù)C.甲的得分方差大于乙的得分方差D.甲的得分眾數(shù)大于乙的得分眾數(shù)練習4：為了比較兩種新型保溫材料的保溫性能，分別對兩種材料的保溫時長（單位：小時）進行了若干次測試，得到兩組數(shù)據(jù)。經(jīng)計算，第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\bar{x}_1$，方差為$s_1^2$；第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\bar{x}_2$，方差為$s_2^2$。若$\bar{x}_1>\bar{x}_2$且$s_1^2<s_2^2$，則哪種材料的保溫性能更優(yōu)？請說明理由。---模塊三：變量間的相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中，許多變量之間存在著相互影響、相互制約的關(guān)系。我們需要通過統(tǒng)計方法來分析和揭示這種關(guān)系。一、基礎(chǔ)回顧1.散點圖：直觀判斷兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系及相關(guān)的類型（正相關(guān)、負相關(guān)、線性相關(guān)、非線性相關(guān)）。2.線性相關(guān)：若散點圖中的點大致分布在一條直線附近，則稱兩個變量線性相關(guān)。3.回歸直線方程：對于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x和y，其回歸直線方程為$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$。*其中，$\hat=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}$。*回歸直線一定過樣本中心點$(\bar{x},\bar{y})$。4.獨立性檢驗（$\chi^2$檢驗）：用于判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系。*基本思想是通過計算$\chi^2$統(tǒng)計量，與臨界值比較來判斷“兩個變量有關(guān)系”這一結(jié)論的可信程度。*$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$（其中n為樣本容量）。二、典型例題與練習例題3：某研究機構(gòu)對兒童的年齡x（歲）與身高y（cm）進行了調(diào)查，得到如下一組數(shù)據(jù)：x:[具體年齡數(shù)據(jù)，如3,4,5,6,7]y:[對應身高數(shù)據(jù)，如90,100,108,115,120]（1）畫出散點圖，判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）若具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程；（3）利用所求回歸方程，預測年齡為8歲兒童的平均身高。（注：計算過程中，可保留兩位小數(shù)）練習5：在對某地區(qū)飲食習慣與胃病患病率的調(diào)查中，共調(diào)查了n人，其中飲食習慣良好者m1人，患胃病人數(shù)為a；飲食習慣不良者m2人，患胃病人數(shù)為b。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；（2）若計算得到的$\chi^2$值大于某一臨界值，據(jù)此能否在犯錯誤的概率不超過某一特定值的前提下認為飲食習慣與胃病患病率有關(guān)？（需根據(jù)給定臨界值表判斷）練習6：下列關(guān)于變量間相關(guān)關(guān)系的說法正確的是（）A.若兩個變量的相關(guān)系數(shù)r趨近于0，則這兩個變量沒有相關(guān)關(guān)系B.回歸直線方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$中，$\hat$的正負反映了變量x與y相關(guān)性的強弱C.樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是[-1,1]D.獨立性檢驗中，$\chi^2$值越大，說明兩個分類變量有關(guān)系的把握越小---模塊四：統(tǒng)計案例綜合應用統(tǒng)計學的最終目的是解決實際問題。綜合運用所學知識，對實際情境中的數(shù)據(jù)進行收集、整理、分析，并做出推斷和預測，是對我們能力的全面考察。一、綜合應用要點1.明確問題：清晰理解需要解決的問題是什么。2.數(shù)據(jù)收集：根據(jù)問題特點選擇合適的抽樣方法。3.數(shù)據(jù)整理與分析：選擇適當?shù)膱D表展示數(shù)據(jù)，計算相關(guān)的數(shù)字特征，分析變量間的關(guān)系。4.得出結(jié)論：基于分析結(jié)果，給出合理的解釋或預測。5.反思與評價：對結(jié)論的可靠性和局限性進行思考。二、典型例題與練習例題4：某超市為了提高銷售額，計劃推出一項促銷活動。為確定哪種促銷方案更有效，超市隨機選取了A、B兩個規(guī)模相似的分店進行試點。A店采用方案一，B店采用方案二。一段時間后，記錄了兩店每天的銷售額（單位：萬元）：A店銷售額：[若干天數(shù)據(jù)]B店銷售額：[若干天數(shù)據(jù)]假設(shè)兩店銷售額均服從正態(tài)分布，且方差相等。（1）分別計算A、B兩店銷售額的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)所學統(tǒng)計知識，你認為哪種促銷方案更有效？請說明理由（可考慮使用假設(shè)檢驗的思想，或通過比較平均數(shù)、方差來分析）。（3）若超市決定在全市推廣更有效的方案，還需要考慮哪些因素？練習7：某校高二年級對學生的物理成績和數(shù)學成績進行了統(tǒng)計，想了解物理成績優(yōu)秀（90分及以上）是否與數(shù)學成績優(yōu)秀有關(guān)。現(xiàn)隨機抽取了若干名學生，其中物理優(yōu)秀的學生中數(shù)學優(yōu)秀的有a人，數(shù)學不優(yōu)秀的有b人；物理不優(yōu)秀的學生中數(shù)學優(yōu)秀的有c人，數(shù)學不優(yōu)秀的有d人。（1）請根據(jù)題意完成2×2列聯(lián)表；（2）若計算得到$\chi^2$值為k，已知當$\chi^2>6.635$時，有99%的把握認為兩個變量有關(guān)系；當$\chi^2>3.841$時，有95%的把握認為兩個變量有關(guān)系。若k=7.0，則可以得出什么結(jié)論？---復習建議與溫馨提示1.回歸課本，夯實基礎(chǔ)：統(tǒng)計學的概念和公式較多，務必理解其內(nèi)涵，準確記憶。2.動手實踐，注重過程：對于計算類問題（如平均數(shù)、方差、回歸直線方程、$\chi^2$值），要親自動手演算，熟練掌握計算步驟，注意計算的準確性。3.圖表結(jié)合，直觀分析：學會從圖表中獲取信息，如圖形的趨勢、數(shù)據(jù)的集中或離散程度等。繪制圖表時要規(guī)范。4.聯(lián)系實際，理解意義：學習統(tǒng)計的目的在于應用，要理