線(xiàn)性代數(shù)期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(A+B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C2.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則（）成立A.\(A\)的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)B.\(A\)的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)C.方程組\(Ax=0\)只有零解D.方程組\(Ax=0\)有非零解答案：D3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，則\(A\)的秩\(r(A)\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)答案：A4.設(shè)\(n\)階方陣\(A\)滿(mǎn)足\(A^2-A-2E=O\)，則\(A^{-1}\)等于（）A.\(A-E\)B.\(\frac{1}{2}(A-E)\)C.\(A+E\)D.\(\frac{1}{2}(A+E)\)答案：D5.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三維向量空間\(R^3\)的一組基，則下列向量組中，不是\(R^3\)的基的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)答案：C6.設(shè)\(A\)為\(n\)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個(gè)不同特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)線(xiàn)性相關(guān)B.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)正交C.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)長(zhǎng)度相等D.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)的內(nèi)積為\(1\)答案：B7.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的特征值為（）A.\(1,2,3\)B.\(6,3,2\)C.\(2,3,6\)D.\(3,2,1\)答案：B8.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A\)與\(B\)有相同的行列式D.\(A\)與\(B\)有相同的秩答案：B9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的特征值全為\(1\)，則\(A\)一定（）A.可逆B.不可逆C.與單位矩陣相似D.與單位矩陣合同答案：C10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列命題正確的是（）A.若\(A\)，\(B\)都可逆，則\(AB\)可逆B.若\(A\)，\(B\)都不可逆，則\(AB\)不可逆C.若\(AB\)可逆，則\(A\)，\(B\)都可逆D.若\(AB\)不可逆，則\(A\)，\(B\)都不可逆答案：ABC2.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)是一組\(n\)維向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則其任意部分組也線(xiàn)性無(wú)關(guān)B.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線(xiàn)性相關(guān)，則其任意部分組也線(xiàn)性相關(guān)C.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則\(r\leqslants\)D.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中存在\(r\)個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，則\(r\gts\)答案：AC3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則（）A.齊次線(xiàn)性方程組\((\lambdaE-A)x=0\)的非零解向量都是\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量B.\(\lambda\)的幾何重?cái)?shù)不超過(guò)它的代數(shù)重?cái)?shù)C.若\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個(gè)不同特征值，則\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)D.\(A\)的屬于\(\lambda\)的特征向量的線(xiàn)性組合仍為\(A\)屬于\(\lambda\)的特征向量答案：ABC4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(A\)與\(B\)有相同的跡D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式答案：ABCD5.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)答案：ABD6.設(shè)二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣），下列說(shuō)法正確的是（）A.\(f\)正定的充要條件是\(A\)的特征值全大于\(0\)B.\(f\)正定的充要條件是\(A\)的各階順序主子式全大于\(0\)C.若\(f\)正定，則對(duì)任意非零向量\(X\)，都有\(zhòng)(f(X)\gt0\)D.若\(f\)負(fù)定，則\(A\)的特征值全小于\(0\)答案：ABCD7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=r\)，則（）A.\(A\)中至少有一個(gè)\(r\)階子式不為\(0\)B.\(A\)中所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為\(0\)C.\(A\)中存在\(r\)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量D.\(A\)中任意\(r\)個(gè)列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)答案：ABC8.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三維向量空間\(R^3\)的一組基，\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，則（）A.\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線(xiàn)性無(wú)關(guān)B.\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)是\(R^3\)的一組基C.向量\(\alpha_1\)可由\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線(xiàn)性表示D.向量\(\beta_1\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線(xiàn)性表示答案：ABCD9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列關(guān)于\(A\)的秩的性質(zhì)正確的是（）A.\(r(A^T)=r(A)\)B.\(r(kA)=r(A)\)（\(k\neq0\)）C.\(r(A+B)\leqslantr(A)+r(B)\)D.\(r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}\)答案：ABCD10.設(shè)\(A\)為\(n\)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，下列結(jié)論正確的是（）A.\(A\)必可對(duì)角化B.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)C.\(A\)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交D.存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對(duì)角矩陣答案：ABCD三、判斷題1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（√）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線(xiàn)性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示。（√）3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（√）4.相似矩陣一定有相同的特征向量。（×）5.若\(A\)為正交矩陣，則\(\vertA\vert=1\)。（×）6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2\)是正定二次型。（×）7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=n\)，則\(A\)可逆。（√）8.若\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（√）9.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1),\alpha_4=(1,1,1)\)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（×）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的特征值全為\(0\)，則\(A=O\)。（×）四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有多個(gè)。首先，\(\vertA\vert\neq0\)；其次，\(r(A)=n\)；還可以說(shuō)\(A\)可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積；另外，齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=0\)只有零解；以及非齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=b\)有唯一解；\(A\)的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)等。2.說(shuō)明向量組線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。答案：對(duì)于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，如果存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱(chēng)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線(xiàn)性相關(guān)。若只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時(shí)，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立，則稱(chēng)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。3.簡(jiǎn)述實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)。答案：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣具有諸多重要性質(zhì)。其一，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。其二，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交。其三，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可對(duì)角化，即存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對(duì)角矩陣。其四，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣\(A\)正定的充要條件是其特征值全大于\(0\)，且各階順序主子式全大于\(0\)。4.簡(jiǎn)述二次型正定的判定方法。答案：判定二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣）正定的方法如下：一是看\(A\)的特征值，若\(A\)的特征值全大于\(0\)，則二次型正定；二是檢查\(A\)的各階順序主子式，若各階順序主子式全大于\(0\)，二次型正定；還可以根據(jù)定義，對(duì)任意非零向量\(X\)，都有\(zhòng)(f(X)\gt0\)，則二次型正定。五、討論題1.討論矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系。答案：矩陣的秩與向量組的秩密切相關(guān)。對(duì)于一個(gè)\(m\timesn\)矩陣\(A\)，它的行向量組構(gòu)成一個(gè)\(n\)維向量組，列向量組構(gòu)成一個(gè)\(m\)維向量組。矩陣\(A\)的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。這意味著我們可以通