亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布：理論、問題與進(jìn)展一、引言1.1研究背景與意義亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)作為復(fù)分析領(lǐng)域的核心研究對象，在數(shù)學(xué)理論發(fā)展及眾多應(yīng)用領(lǐng)域中占據(jù)著舉足輕重的地位。亞純函數(shù)是在復(fù)平面上除了有限個(gè)極點(diǎn)外處處解析的函數(shù)，其概念的提出可追溯至18世紀(jì)，由著名數(shù)學(xué)家歐拉率先引入，此后經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家的不懈努力與深入研究，不斷發(fā)展和完善，逐漸形成了一套系統(tǒng)且豐富的理論體系。代數(shù)體函數(shù)則是由代數(shù)方程定義，是有理函數(shù)在代數(shù)數(shù)域上的一種推廣，其研究緊密關(guān)聯(lián)著代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論以及數(shù)學(xué)物理等多個(gè)重要領(lǐng)域，對這些領(lǐng)域的發(fā)展起到了關(guān)鍵的推動作用。值分布理論作為研究亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)的核心理論，主要探究函數(shù)取值的分布規(guī)律以及在特定條件下函數(shù)值的特性。這一理論的建立，為復(fù)分析的深入研究提供了強(qiáng)有力的工具，極大地推動了復(fù)分析學(xué)科的發(fā)展進(jìn)程。1925年，芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna提出了著名的Nevanlinna理論，這一理論包含了刻畫亞純函數(shù)增長性的特征函數(shù)以及極為重要的Nevanlinna第一、二基本定理。這些定理的提出，在亞純函數(shù)值分布研究史上具有里程碑式的意義，成為了研究復(fù)分析不可或缺的強(qiáng)大理論工具。此后，值分布理論在數(shù)學(xué)家們的持續(xù)研究下不斷深化和拓展，取得了一系列豐碩的成果。對亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布的研究，在多個(gè)方面具有重要意義。在理論層面，值分布理論不僅為亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)的研究提供了系統(tǒng)且有效的方法，還與復(fù)分析中的其他重要理論，如復(fù)微分方程、解析數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論等相互交融、相互促進(jìn)，共同推動著復(fù)分析學(xué)科的整體發(fā)展。例如，在復(fù)微分方程的研究中，通過運(yùn)用值分布理論，可以深入探討方程亞純解的存在性、增長性以及值分布等問題，從而為復(fù)微分方程的求解和性質(zhì)研究提供重要的理論依據(jù)。在解析數(shù)論中，亞純函數(shù)的值分布與數(shù)論中的一些經(jīng)典問題，如素?cái)?shù)分布、黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)分布等存在著深刻的聯(lián)系，為解決這些數(shù)論難題提供了新的思路和方法。在多復(fù)變函數(shù)論中，值分布理論的推廣和應(yīng)用，有助于研究多復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)和行為，拓展了多復(fù)變函數(shù)論的研究領(lǐng)域。在應(yīng)用領(lǐng)域，亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布理論也展現(xiàn)出了巨大的價(jià)值。在物理學(xué)中，亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)被廣泛應(yīng)用于描述物理現(xiàn)象和解決物理問題。例如，在量子力學(xué)中，某些物理量的描述可以通過亞純函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，其值分布特性與量子系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)和量子態(tài)的分布密切相關(guān)，為量子力學(xué)的研究提供了重要的數(shù)學(xué)工具。在流體力學(xué)中，代數(shù)體函數(shù)可用于描述流體的流動特性和物理參數(shù)的分布，通過研究其值分布規(guī)律，可以深入理解流體的運(yùn)動行為和物理性質(zhì)，為流體力學(xué)的理論研究和工程應(yīng)用提供有力支持。在信號處理領(lǐng)域，亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)的值分布理論也有應(yīng)用，可用于信號的分析、處理和特征提取，為提高信號處理的精度和效率提供了新的方法和途徑。在控制理論中，它們的值分布特性可用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器的設(shè)計(jì)，為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化控制提供理論依據(jù)。然而，盡管亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布理論已經(jīng)取得了眾多顯著成果，但仍然存在許多尚未解決的問題和有待進(jìn)一步深入探究的方向。例如，在涉及公共值的亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題上，雖然已經(jīng)有了一些經(jīng)典的唯一性定理，如亞純函數(shù)的Nevanlinna唯一性定理、Picard大定理以及代數(shù)體函數(shù)的古典唯一性定理等，但這些定理的條件和結(jié)論仍有進(jìn)一步優(yōu)化和拓展的空間，對于一些特殊類型的亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)，其唯一性的判定還需要更深入的研究。在代數(shù)體函數(shù)的奇異方向研究方面，雖然已經(jīng)取得了一些進(jìn)展，但對于奇異方向的分布規(guī)律、與函數(shù)其他性質(zhì)的關(guān)聯(lián)以及在實(shí)際應(yīng)用中的具體表現(xiàn)等問題，還需要進(jìn)一步深入探討。在亞純函數(shù)的差分算子的值分布問題上，雖然已經(jīng)有了一些關(guān)于差分算子的研究成果，但對于差分算子與原函數(shù)值分布之間的內(nèi)在聯(lián)系、差分算子在不同條件下的值分布特性以及如何利用差分算子更好地研究亞純函數(shù)的性質(zhì)等問題，仍有待進(jìn)一步深入研究。這些未解決的問題和研究方向，不僅為復(fù)分析領(lǐng)域的學(xué)者們提供了廣闊的研究空間，也為進(jìn)一步推動亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布理論的發(fā)展提出了新的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。深入研究這些問題，有望為復(fù)分析及相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展帶來新的突破和進(jìn)展。1.2研究現(xiàn)狀綜述亞純函數(shù)值分布理論的發(fā)展源遠(yuǎn)流長，自18世紀(jì)歐拉引入亞純函數(shù)概念后，眾多數(shù)學(xué)家投身于該領(lǐng)域的研究。19世紀(jì)，柯西、黎曼等數(shù)學(xué)家在復(fù)分析領(lǐng)域的奠基性工作，為亞純函數(shù)值分布理論的形成奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。進(jìn)入20世紀(jì)，芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna在1925年提出Nevanlinna理論，這一理論的誕生堪稱亞純函數(shù)值分布研究史上的重大里程碑。Nevanlinna引入了特征函數(shù)，用以精確刻畫亞純函數(shù)的增長性，同時(shí)建立了Nevanlinna第一、二基本定理。這些定理猶如強(qiáng)大的工具，為深入研究亞純函數(shù)的值分布規(guī)律開辟了全新道路，使得數(shù)學(xué)家們能夠從全新的視角審視亞純函數(shù)的性質(zhì)，極大地推動了亞純函數(shù)值分布理論的發(fā)展進(jìn)程。在Nevanlinna理論的基礎(chǔ)上，眾多數(shù)學(xué)家對亞純函數(shù)的值分布問題展開了深入研究，取得了一系列豐碩成果。例如，關(guān)于亞純函數(shù)的虧值與奇異方向的研究，揭示了亞純函數(shù)值分布的一些特殊性質(zhì)。虧值是指亞純函數(shù)在某些值上的取值頻率相對較低，奇異方向則是指在復(fù)平面上某些特殊方向上，亞純函數(shù)的值分布呈現(xiàn)出特殊的規(guī)律。Ahlfors的覆蓋曲面理論從幾何角度深入研究了亞純函數(shù)的值分布，為該領(lǐng)域的研究提供了全新的思路和方法。Valiron在亞純函數(shù)的漸近值和Julia方向等方面的研究成果，進(jìn)一步豐富了亞純函數(shù)值分布理論的內(nèi)涵。這些研究成果不僅深化了人們對亞純函數(shù)值分布的認(rèn)識，也為后續(xù)的研究提供了重要的理論基礎(chǔ)和研究方向。代數(shù)體函數(shù)的研究與代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論以及數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域緊密相連，其發(fā)展歷程同樣充滿了眾多數(shù)學(xué)家的智慧與努力。早期，數(shù)學(xué)家們主要關(guān)注代數(shù)體函數(shù)的基本定義和性質(zhì)，隨著研究的深入，逐漸開始探討其值分布問題。在代數(shù)體函數(shù)的值分布研究中，面臨著諸多挑戰(zhàn)，其中一個(gè)主要困難源于代數(shù)體函數(shù)的多值性和分支點(diǎn)的存在。這些特性使得代數(shù)體函數(shù)的值分布研究相較于亞純函數(shù)更為復(fù)雜，需要運(yùn)用更為精細(xì)的數(shù)學(xué)工具和方法。針對代數(shù)體函數(shù)的值分布問題，數(shù)學(xué)家們?nèi)〉昧艘幌盗兄匾晒llrich、Valiron、Eremenko和何育贊等學(xué)者給出了許多關(guān)于代數(shù)體函數(shù)唯一性的簡潔而完美的結(jié)論，這些結(jié)論為判斷代數(shù)體函數(shù)的唯一性提供了重要依據(jù)。在研究代數(shù)體函數(shù)的奇異方向方面，也取得了一定的進(jìn)展，盡管目前對于奇異方向的分布規(guī)律以及與函數(shù)其他性質(zhì)的關(guān)聯(lián)等問題，仍有待進(jìn)一步深入探討，但已有的研究成果為后續(xù)研究提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)和方向。例如，通過對代數(shù)體函數(shù)奇異方向的研究，可以更好地理解代數(shù)體函數(shù)在某些特殊點(diǎn)處的行為和性質(zhì)，從而為解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題提供幫助。在涉及公共值的亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題研究中，同樣取得了顯著進(jìn)展。亞純函數(shù)的Nevanlinna唯一性定理、Picard大定理以及代數(shù)體函數(shù)的古典唯一性定理等，這些經(jīng)典定理在判斷函數(shù)唯一性方面發(fā)揮了重要作用。然而，隨著研究的不斷深入，這些定理的條件和結(jié)論仍有進(jìn)一步優(yōu)化和拓展的空間。對于一些特殊類型的亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)，其唯一性的判定還需要更深入的研究。例如，在某些特殊情況下，經(jīng)典定理可能無法準(zhǔn)確判斷函數(shù)的唯一性，需要尋找新的方法和條件來進(jìn)行判定。在亞純函數(shù)的差分算子的值分布問題研究中，近年來也取得了一些重要成果。隨著復(fù)差分方程的亞純解、復(fù)差分算子的值分布和唯一性問題成為復(fù)分析領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，Halburd-Korhonen和Chiang-Feng分別建立了對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理的差分模擬，為復(fù)差分算子的值分布理論和唯一性理論的研究提供了強(qiáng)有力的工具。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者對亞純函數(shù)差分算子的值分布進(jìn)行了深入研究，得到了一系列關(guān)于亞純函數(shù)差分算子與原函數(shù)值分布之間關(guān)系的結(jié)論。然而，目前對于差分算子與原函數(shù)值分布之間的內(nèi)在聯(lián)系、差分算子在不同條件下的值分布特性以及如何利用差分算子更好地研究亞純函數(shù)的性質(zhì)等問題，仍有待進(jìn)一步深入研究。例如，在不同的差分算子定義下，亞純函數(shù)的值分布會呈現(xiàn)出不同的規(guī)律，需要進(jìn)一步探究這些規(guī)律之間的聯(lián)系和差異。盡管亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布理論已經(jīng)取得了眾多顯著成果，但仍然存在許多尚未解決的問題。例如，在代數(shù)體函數(shù)的奇異方向研究方面，雖然已經(jīng)取得了一些進(jìn)展，但對于奇異方向的分布規(guī)律、與函數(shù)其他性質(zhì)的關(guān)聯(lián)以及在實(shí)際應(yīng)用中的具體表現(xiàn)等問題，還需要進(jìn)一步深入探討。在亞純函數(shù)的差分算子的值分布問題上，雖然已經(jīng)有了一些關(guān)于差分算子的研究成果，但對于差分算子與原函數(shù)值分布之間的內(nèi)在聯(lián)系、差分算子在不同條件下的值分布特性以及如何利用差分算子更好地研究亞純函數(shù)的性質(zhì)等問題，仍有待進(jìn)一步深入研究。在涉及公共值的亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題上，對于一些特殊類型的函數(shù)，其唯一性的判定還需要更深入的研究。這些未解決的問題為復(fù)分析領(lǐng)域的學(xué)者們提供了廣闊的研究空間，也為進(jìn)一步推動亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布理論的發(fā)展提出了新的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。1.3研究內(nèi)容與方法本文主要聚焦于亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布領(lǐng)域，深入探究其中若干關(guān)鍵問題，具體研究內(nèi)容涵蓋以下幾個(gè)方面：亞純函數(shù)差分算子的值分布問題：深入剖析亞純函數(shù)差分算子的顯式表達(dá)式及其相關(guān)性質(zhì)，通過對差分算子在復(fù)平面上取值情況的細(xì)致研究，揭示其值分布規(guī)律。具體而言，考慮不同形式的差分算子，如一階差分算子\Deltaf(z)=f(z+1)-f(z)、高階差分算子\Delta^nf(z)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}C_n^kf(z+k)等，分析它們與原亞純函數(shù)值分布之間的內(nèi)在聯(lián)系。研究差分算子在不同增長級亞純函數(shù)中的值分布特性，例如有限級亞純函數(shù)和無限級亞純函數(shù)，探討增長級對差分算子值分布的影響。代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題：針對代數(shù)體函數(shù)，深入研究其唯一性相關(guān)理論。具體包括分析代數(shù)體函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在分擔(dān)特定值時(shí)的唯一性條件，如考慮代數(shù)體函數(shù)w(z)與其導(dǎo)數(shù)w'(z)CM分擔(dān)（即具有相同的零點(diǎn)且每個(gè)零點(diǎn)的重級也相同）或IM分擔(dān)（即具有相同的零點(diǎn)，不計(jì)重?cái)?shù)）某些有限復(fù)數(shù)時(shí)的情況。同時(shí)，研究在不同條件下，如對代數(shù)體函數(shù)分支點(diǎn)的限制條件N_x(r,w)=o(T(r,w))（表示分支點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)相對于特征函數(shù)是小量）時(shí)，代數(shù)體函數(shù)的唯一性判定方法。此外，還將探討代數(shù)體函數(shù)與亞純函數(shù)在唯一性問題上的聯(lián)系與區(qū)別，以及如何將亞純函數(shù)唯一性理論中的方法和結(jié)論應(yīng)用到代數(shù)體函數(shù)中。代數(shù)體函數(shù)的奇異方向問題：著重探討代數(shù)體函數(shù)奇異方向的相關(guān)性質(zhì)與分布規(guī)律。奇異方向是代數(shù)體函數(shù)理論中的重要概念，它反映了函數(shù)在某些特殊方向上的值分布特性。研究代數(shù)體函數(shù)奇異方向與函數(shù)其他性質(zhì)，如增長性、零點(diǎn)分布等之間的關(guān)聯(lián)，分析在不同類型的代數(shù)體函數(shù)中，奇異方向的存在性和分布特點(diǎn)。例如，對于滿足特定代數(shù)方程的代數(shù)體函數(shù)，研究其奇異方向的個(gè)數(shù)、位置以及在這些方向上函數(shù)值的變化趨勢。通過對奇異方向的研究，進(jìn)一步加深對代數(shù)體函數(shù)整體性質(zhì)的理解。在研究方法上，本文將綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)工具和方法：復(fù)分析方法：作為研究亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)的核心方法，復(fù)分析中的Nevanlinna理論為研究函數(shù)的值分布提供了強(qiáng)大的工具。通過特征函數(shù)、Nevanlinna第一、二基本定理等，可以定量地刻畫亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)的增長性和值分布情況。例如，利用特征函數(shù)T(r,f)來衡量函數(shù)f(z)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓內(nèi)的增長速度，通過Nevanlinna第一基本定理m(r,a)+N(r,a)=T(r,f)+O(1)（其中m(r,a)為函數(shù)f(z)關(guān)于值a的接近函數(shù)，N(r,a)為函數(shù)f(z)關(guān)于值a的計(jì)數(shù)函數(shù)）來研究函數(shù)取某個(gè)值的頻率與函數(shù)增長性之間的關(guān)系。在研究亞純函數(shù)差分算子的值分布時(shí)，運(yùn)用復(fù)分析中的差分模擬技術(shù)，如Halburd-Korhonen和Chiang-Feng建立的對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理的差分模擬，將微分形式的理論和方法推廣到差分領(lǐng)域，從而研究差分算子的值分布規(guī)律。代數(shù)幾何方法：由于代數(shù)體函數(shù)與代數(shù)幾何密切相關(guān)，代數(shù)幾何方法在研究代數(shù)體函數(shù)時(shí)具有重要作用。通過將代數(shù)體函數(shù)看作是代數(shù)曲線上的函數(shù)，可以利用代數(shù)幾何中的理論和工具，如代數(shù)曲線的虧格、奇點(diǎn)、有理點(diǎn)等概念，來研究代數(shù)體函數(shù)的性質(zhì)。例如，在研究代數(shù)體函數(shù)的奇異方向時(shí)，可以從代數(shù)曲線的幾何性質(zhì)出發(fā)，分析奇異方向與代數(shù)曲線奇點(diǎn)之間的聯(lián)系，通過研究代數(shù)曲線在某些特殊點(diǎn)處的局部性質(zhì)，來推斷代數(shù)體函數(shù)在相應(yīng)方向上的值分布特性。在研究代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題時(shí)，利用代數(shù)幾何中的一些結(jié)論，如代數(shù)曲線的雙有理等價(jià)性等，來判斷不同代數(shù)體函數(shù)之間的關(guān)系，從而得出唯一性的判定條件。函數(shù)論方法：運(yùn)用函數(shù)論中的一些經(jīng)典方法和結(jié)論，如輻角原理、最大模原理、Schwarz引理等，來研究亞純函數(shù)和代數(shù)體函數(shù)的值分布和唯一性問題。輻角原理可以用于計(jì)算亞純函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而為研究函數(shù)的值分布提供重要信息。最大模原理則可以用來估計(jì)函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的最大值，對于研究函數(shù)的增長性和極值問題具有重要意義。Schwarz引理在研究亞純函數(shù)的唯一性和共形映射等問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，通過對函數(shù)的輻角分布和模的限制，得出函數(shù)的一些特殊性質(zhì)和唯一性條件。在研究代數(shù)體函數(shù)時(shí)，將這些函數(shù)論方法與代數(shù)幾何方法相結(jié)合，從不同角度深入探討代數(shù)體函數(shù)的性質(zhì)和值分布規(guī)律。二、亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)的基本理論2.1亞純函數(shù)的定義與性質(zhì)在復(fù)分析領(lǐng)域中，亞純函數(shù)占據(jù)著重要地位。若函數(shù)f(z)在復(fù)平面的某個(gè)區(qū)域D上有定義，并且除去有限個(gè)孤立點(diǎn)集合之外，在D上處處解析，那么f(z)就是區(qū)域D上的亞純函數(shù)，這些孤立點(diǎn)被稱為該函數(shù)的極點(diǎn)。例如，在整個(gè)復(fù)平面上，有理函數(shù)R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}（其中P(z)和Q(z)是多項(xiàng)式）就是典型的亞純函數(shù)，Q(z)的零點(diǎn)是R(z)的極點(diǎn)，\infty點(diǎn)是R(z)的極點(diǎn)或可去奇點(diǎn)。當(dāng)D為整個(gè)黎曼球時(shí)，亞純函數(shù)域等同于復(fù)平面上的單變量有理函數(shù)域，這一結(jié)論是GAGA原理的一個(gè)特例。從更直觀的角度理解，亞純函數(shù)可以看作是兩個(gè)全純函數(shù)的比（其分母不恒為0），極點(diǎn)即為分母的零點(diǎn)。例如，函數(shù)f(z)=\frac{1}{z}在復(fù)平面上除z=0外處處解析，z=0是其極點(diǎn)，所以f(z)是亞純函數(shù)。再如\tanz=\frac{\sinz}{\cosz}，\cosz的零點(diǎn)z=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ是\tanz的極點(diǎn)，故\tanz也是亞純函數(shù)。亞純函數(shù)的極點(diǎn)具有孤立性，這意味著它們至多有可數(shù)多個(gè)。然而，極點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是無窮多個(gè)，比如函數(shù)f(z)=\frac{1}{\sinz}，其極點(diǎn)為z=k\pi,k\inZ，有無窮多個(gè)。通過解析拓延消去可去奇點(diǎn)后，亞純函數(shù)能夠進(jìn)行加減法和乘法運(yùn)算。當(dāng)g(z)在D的連通部分上不恒為零時(shí)，還可以定義\frac{f(z)}{g(z)}。所以，當(dāng)D連通時(shí)，所有的亞純函數(shù)構(gòu)成一個(gè)域，是復(fù)數(shù)域的一個(gè)域擴(kuò)張。亞純函數(shù)可以分為有理函數(shù)和超越亞純函數(shù)。有理函數(shù)作為一類特殊的亞純函數(shù)，具有一些獨(dú)特的性質(zhì)。由于有理函數(shù)是兩個(gè)多項(xiàng)式的商，其極點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的，并且可以通過部分分式分解將其表示為簡單分式的和，這種分解形式在研究有理函數(shù)的積分、極點(diǎn)分布等問題時(shí)非常有用。例如，對于有理函數(shù)R(z)=\frac{z+1}{z^2-1}，通過因式分解z^2-1=(z+1)(z-1)，然后進(jìn)行部分分式分解可得R(z)=\frac{1}{z-1}，這樣就清晰地展示了其極點(diǎn)為z=1。復(fù)平面上不是有理函數(shù)的亞純函數(shù)被稱為超越亞純函數(shù)，如\cotz就是超越亞純函數(shù)，它以k\pi,k\inZ為全部極點(diǎn)，并且超越亞純函數(shù)一定有無限多個(gè)極點(diǎn)。超越亞純函數(shù)的性質(zhì)相較于有理函數(shù)更為復(fù)雜，其值分布規(guī)律也更加難以研究。例如，對于超越亞純函數(shù)f(z)=e^{\frac{1}{z}}，當(dāng)z趨近于0時(shí)，函數(shù)值的變化非常復(fù)雜，z=0是其本性奇點(diǎn)。在研究超越亞純函數(shù)時(shí)，常常需要運(yùn)用一些特殊的方法和理論，如Nevanlinna理論等。亞純函數(shù)的解析點(diǎn)分布廣泛，在除去極點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)處處解析。這使得亞純函數(shù)在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及物理等其他學(xué)科中都有重要應(yīng)用。在復(fù)變函數(shù)的積分理論中，亞純函數(shù)的留數(shù)定理是計(jì)算復(fù)積分的重要工具，通過計(jì)算亞純函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)，可以求解一些復(fù)雜的積分。在物理學(xué)中，亞純函數(shù)可用于描述一些物理量的分布和變化規(guī)律，如在電路分析中，某些阻抗函數(shù)可以用亞純函數(shù)來表示。2.2代數(shù)體函數(shù)的定義與性質(zhì)代數(shù)體函數(shù)是亞純函數(shù)或代數(shù)函數(shù)的推廣，在代數(shù)幾何、數(shù)論和算術(shù)幾何等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用。若函數(shù)w(z)滿足代數(shù)方程P(z,w)=A_0(z)w^n+A_1(z)w^{n-1}+\cdots+A_n(z)=0，其中A_i(z)(i=0,1,\cdots,n)是z的整函數(shù)，且A_0(z)不恒為零，那么w(z)就是一個(gè)代數(shù)體函數(shù)。當(dāng)A_i(z)中至少有一個(gè)為超越函數(shù)時(shí)，w(z)是超越代數(shù)體函數(shù)；當(dāng)A_i(z)都是多項(xiàng)式時(shí)，w(z)是代數(shù)函數(shù)。例如，由方程w^2-z=0確定的函數(shù)w=\pm\sqrt{z}就是一個(gè)代數(shù)體函數(shù)，這里A_0(z)=1，A_1(z)=0，A_2(z)=-z，它是一個(gè)代數(shù)函數(shù)。再如，由方程w^3+e^zw^2+(z+1)w+1=0確定的函數(shù)w(z)是超越代數(shù)體函數(shù)，因?yàn)槠渲邪秸瘮?shù)e^z。代數(shù)體函數(shù)與亞純函數(shù)、代數(shù)函數(shù)存在緊密聯(lián)系。亞純函數(shù)是代數(shù)體函數(shù)的特殊情形，當(dāng)n=1時(shí)，代數(shù)體函數(shù)w(z)就退化為亞純函數(shù)。例如，對于方程A_0(z)w+A_1(z)=0，可解得w=-\frac{A_1(z)}{A_0(z)}，這是典型的亞純函數(shù)形式。代數(shù)函數(shù)則是代數(shù)體函數(shù)中系數(shù)A_i(z)均為多項(xiàng)式的特殊情況。例如前面提到的w^2-z=0確定的函數(shù)，由于系數(shù)都是多項(xiàng)式，所以它是代數(shù)函數(shù)。從函數(shù)的多值性角度來看，亞純函數(shù)是單值函數(shù)，而代數(shù)體函數(shù)一般是多值函數(shù)，代數(shù)函數(shù)也是多值函數(shù)，這體現(xiàn)了它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。例如，\tanz作為亞純函數(shù)是單值的，而\sqrt{z}作為代數(shù)體函數(shù)（也是代數(shù)函數(shù)）是多值的，對于每一個(gè)非零的z值，\sqrt{z}有兩個(gè)值。代數(shù)體函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則在一定程度上類似于亞純函數(shù)，但由于其多值性，運(yùn)算更為復(fù)雜。對于兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)w_1(z)和w_2(z)，若它們分別滿足方程P_1(z,w_1)=0和P_2(z,w_2)=0，那么它們的和w_1(z)+w_2(z)、差w_1(z)-w_2(z)、積w_1(z)w_2(z)和商\frac{w_1(z)}{w_2(z)}（當(dāng)w_2(z)不恒為零時(shí)）通常也是代數(shù)體函數(shù)。以和w=w_1+w_2為例，可通過消元法得到關(guān)于w的代數(shù)方程。設(shè)P_1(z,w_1)=\sum_{i=0}^{n_1}A_{1i}(z)w_1^{i}=0，P_2(z,w_2)=\sum_{j=0}^{n_2}A_{2j}(z)w_2^{j}=0，將w_2=w-w_1代入P_2(z,w_2)中，然后與P_1(z,w_1)聯(lián)立消去w_1，得到關(guān)于w的代數(shù)方程，從而證明w是代數(shù)體函數(shù)。但在實(shí)際運(yùn)算中，消元過程可能非常繁瑣，需要運(yùn)用一些代數(shù)技巧和方法。代數(shù)體函數(shù)具有一些重要性質(zhì)。在值分布方面，\nu值代數(shù)體函數(shù)至多有2\nu個(gè)皮卡例外值，這是雷蒙多斯于1927年推廣皮卡定理得到的結(jié)果，并且存在具有2\nu個(gè)皮卡例外值的代數(shù)體函數(shù)。例如，對于某些特殊的\nu值代數(shù)體函數(shù)，通過構(gòu)造特定的代數(shù)方程，可以找到滿足具有2\nu個(gè)皮卡例外值的情況。從增長性角度看，代數(shù)體函數(shù)的增長速度介于整函數(shù)和亞純函數(shù)之間。利用Nevanlinna理論中的特征函數(shù)T(r,w)可以刻畫代數(shù)體函數(shù)的增長性，通過對特征函數(shù)的分析，可以得到代數(shù)體函數(shù)在不同條件下的增長特性。在奇點(diǎn)方面，代數(shù)體函數(shù)除了可能有極點(diǎn)外，還存在分支點(diǎn)。分支點(diǎn)的存在使得代數(shù)體函數(shù)的研究更為復(fù)雜，在處理與分支點(diǎn)相關(guān)的問題時(shí)，常常需要運(yùn)用黎曼曲面等工具，將代數(shù)體函數(shù)看作是黎曼曲面上的單值函數(shù)來進(jìn)行研究。2.3Nevanlinna理論基礎(chǔ)Nevanlinna理論是研究亞純函數(shù)值分布的核心理論，由芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna于1925年創(chuàng)立，該理論引入了特征函數(shù)以及第一、二基本定理，為亞純函數(shù)值分布的研究開辟了全新的道路，極大地推動了復(fù)分析領(lǐng)域的發(fā)展。特征函數(shù)是Nevanlinna理論中的重要概念，用于刻畫亞純函數(shù)的增長性。對于復(fù)平面上的亞純函數(shù)f(z)，其特征函數(shù)T(r,f)定義為T(r,f)=m(r,f)+N(r,f)，其中m(r,f)稱為接近函數(shù)，N(r,f)稱為計(jì)數(shù)函數(shù)。接近函數(shù)m(r,f)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\log^{+}|f(re^{i\theta})|d\theta，它度量了函數(shù)f(z)在圓周|z|=r上的值與原點(diǎn)的平均接近程度，\log^{+}x=\max\{\logx,0\}。計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,f)=\int_{0}^{r}\frac{n(t,f)-n(0,f)}{t}dt+n(0,f)\logr，其中n(t,f)表示f(z)在圓盤|z|\leqt內(nèi)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)（重極點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算），它反映了函數(shù)f(z)的極點(diǎn)分布情況。例如，對于有理函數(shù)f(z)=\frac{z^2+1}{z(z-1)}，在計(jì)算特征函數(shù)時(shí)，先確定其極點(diǎn)為z=0和z=1，然后根據(jù)定義分別計(jì)算接近函數(shù)和計(jì)數(shù)函數(shù)，進(jìn)而得到特征函數(shù)T(r,f)，通過T(r,f)可以了解該有理函數(shù)在復(fù)平面上的增長特性。Nevanlinna第一基本定理建立了特征函數(shù)與函數(shù)取值之間的重要聯(lián)系，對于亞純函數(shù)f(z)和任意復(fù)數(shù)a，有m(r,\frac{1}{f-a})+N(r,\frac{1}{f-a})=T(r,f)+O(1)（當(dāng)r\rightarrow\infty）。這個(gè)定理表明，函數(shù)f(z)取某個(gè)值a的頻率（由N(r,\frac{1}{f-a})體現(xiàn)）與函數(shù)的增長性（由T(r,f)體現(xiàn)）之間存在著緊密的關(guān)聯(lián)。例如，當(dāng)f(z)為整函數(shù)時(shí)，若a不是f(z)的取值，那么N(r,\frac{1}{f-a})=0，此時(shí)m(r,\frac{1}{f-a})=T(r,f)+O(1)，這意味著函數(shù)f(z)的增長性可以通過其值與a的接近程度來反映。Nevanlinna第二基本定理則進(jìn)一步揭示了亞純函數(shù)值分布的深刻性質(zhì)，設(shè)f(z)為非常數(shù)亞純函數(shù)，a_1,a_2,\cdots,a_q（q\geq3）為q個(gè)判別復(fù)數(shù)，則(q-2)T(r,f)\leq\sum_{i=1}^{q}N(r,\frac{1}{f-a_i})+S(r,f)，其中S(r,f)是一個(gè)滿足S(r,f)=o(T(r,f))（當(dāng)r\rightarrow\infty，除去一個(gè)線性測度為有限的r值集）的量。該定理表明，亞純函數(shù)取多個(gè)不同值的頻率之和與函數(shù)的增長性之間存在著特定的不等式關(guān)系。例如，對于超越亞純函數(shù)f(z)=e^z，當(dāng)q=3，a_1=0，a_2=1，a_3=-1時(shí)，通過計(jì)算N(r,\frac{1}{f-a_i})和T(r,f)，可以驗(yàn)證第二基本定理的成立，并且可以看到e^z取這三個(gè)值的頻率之和與它自身的增長性之間的關(guān)系符合定理的描述。Nevanlinna理論在亞純函數(shù)值分布研究中具有核心地位，為解決眾多與亞純函數(shù)相關(guān)的問題提供了有力的工具。在研究亞純函數(shù)的虧值、奇異方向等問題時(shí)，Nevanlinna理論發(fā)揮了關(guān)鍵作用。虧值是指對于亞純函數(shù)f(z)，如果\delta(a,f)=\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{m(r,\frac{1}{f-a})}{T(r,f)}\gt0，則稱a為f(z)的虧值，通過Nevanlinna理論中的特征函數(shù)和第一、二基本定理，可以研究虧值的性質(zhì)和分布規(guī)律。奇異方向如Julia方向、Borel方向等，它們與亞純函數(shù)的值分布密切相關(guān)，Nevanlinna理論為研究這些奇異方向提供了理論基礎(chǔ)和研究方法。例如，在確定亞純函數(shù)的Julia方向時(shí)，需要利用Nevanlinna理論中的相關(guān)概念和定理，分析函數(shù)在不同方向上的增長性和值分布情況，從而確定Julia方向的存在性和位置。2.4Ahlfors-Shimizu幾何特征Ahlfors-Shimizu幾何特征函數(shù)是研究亞純函數(shù)與代數(shù)體函數(shù)值分布的重要工具，它從幾何角度為函數(shù)值分布的研究提供了新的視角，與Nevanlinna理論相互補(bǔ)充，共同推動了該領(lǐng)域的發(fā)展。Ahlfors-Shimizu幾何特征函數(shù)的定義基于對函數(shù)在復(fù)平面上的幾何性質(zhì)的深入研究。對于復(fù)平面上的亞純函數(shù)f(z)，設(shè)D(r)=\{z:|z|\ltr\}，其Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)T_0(r,f)定義為T_0(r,f)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{r}\frac{dt}{t}\iint_{D(t)}\frac{|f'(z)|^2}{(1+|f(z)|^2)^2}dxdy。從幾何意義上看，\frac{|f'(z)|^2}{(1+|f(z)|^2)^2}dxdy表示函數(shù)f(z)在點(diǎn)z處的球面度量下的面積元素，通過對D(t)上的面積元素進(jìn)行積分，并對t從0到r進(jìn)行加權(quán)平均（權(quán)重為\frac{1}{t}），得到的T_0(r,f)反映了函數(shù)f(z)在圓盤D(r)內(nèi)的某種幾何增長特性。例如，對于簡單的亞純函數(shù)f(z)=z，通過計(jì)算可得其Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)T_0(r,f)與\logr同階，這表明f(z)=z在復(fù)平面上的幾何增長速度與對數(shù)函數(shù)相關(guān)。Ahlfors-Shimizu幾何特征函數(shù)在研究函數(shù)唯一性方面具有重要應(yīng)用。在亞純函數(shù)唯一性理論中，當(dāng)考慮兩個(gè)亞純函數(shù)f(z)和g(z)分擔(dān)某些值的情況時(shí)，Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)可以與Nevanlinna特征函數(shù)相結(jié)合，為判斷函數(shù)的唯一性提供更有力的條件。例如，對于兩個(gè)亞純函數(shù)f(z)和g(z)，如果它們在某些值上的Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)滿足特定的關(guān)系，如T_0(r,f)與T_0(r,g)在r趨于無窮時(shí)的增長速度相近，并且它們分擔(dān)足夠多的公共值，那么可以利用這些條件來證明f(z)和g(z)的唯一性。具體來說，假設(shè)f(z)和g(z)是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，它們CM分擔(dān)三個(gè)不同的復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3，通過分析它們的Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)和Nevanlinna特征函數(shù)之間的關(guān)系，利用相關(guān)的不等式和定理，可以得出f(z)\equivg(z)的結(jié)論。在這個(gè)過程中，Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)從幾何角度反映了函數(shù)在分擔(dān)值附近的分布情況，為唯一性的證明提供了關(guān)鍵的幾何信息。在研究函數(shù)的奇異方向時(shí)，Ahlfors-Shimizu幾何特征函數(shù)也發(fā)揮著重要作用。奇異方向是亞純函數(shù)值分布中的重要概念，如Julia方向、Borel方向等，它們反映了函數(shù)在某些特殊方向上的值分布特性。Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)可以用于刻畫函數(shù)在這些特殊方向上的增長性和值分布情況。以Borel方向?yàn)槔?，對于一個(gè)\sigma級亞純函數(shù)f(z)，如果從原點(diǎn)發(fā)出的半直線\argz=\theta是其Borel方向，那么在該方向上，Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)T_0(r,f)的增長速度與函數(shù)在全平面上的增長級\sigma密切相關(guān)。通過對T_0(r,f)在該方向上的漸近性質(zhì)的研究，可以進(jìn)一步深入了解函數(shù)在Borel方向上的值分布規(guī)律。例如，當(dāng)r趨于無窮時(shí)，若T_0(r,f)在\argz=\theta方向上的增長速度滿足\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\logT_0(r,f)}{\logr}=\sigma，則說明函數(shù)在該方向上的值分布具有與增長級\sigma相關(guān)的特殊性質(zhì)，這有助于確定Borel方向的存在性和位置。Ahlfors-Shimizu幾何特征函數(shù)與Nevanlinna理論存在著緊密的聯(lián)系。雖然它們的定義方式和側(cè)重點(diǎn)有所不同，但本質(zhì)上都是為了研究亞純函數(shù)的值分布。Nevanlinna理論通過特征函數(shù)T(r,f)=m(r,f)+N(r,f)從函數(shù)的增長性和取值頻率的角度來刻畫函數(shù)值分布，而Ahlfors-Shimizu幾何特征函數(shù)T_0(r,f)則從幾何角度進(jìn)行刻畫。兩者之間存在一些重要的關(guān)系和不等式。例如，存在一個(gè)常數(shù)C，使得對于亞純函數(shù)f(z)，有T(r,f)\leqCT_0(r,f)+O(1)（當(dāng)r\rightarrow\infty），這表明Nevanlinna特征函數(shù)的增長速度不會超過Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)的增長速度太多。這種聯(lián)系使得在研究亞純函數(shù)值分布時(shí)，可以根據(jù)具體問題的需要，靈活運(yùn)用兩種理論和特征函數(shù)，從不同角度深入分析函數(shù)的性質(zhì)。在研究亞純函數(shù)的虧值問題時(shí)，可以利用Nevanlinna理論中的虧值定義和相關(guān)定理，結(jié)合Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)對函數(shù)增長性的幾何刻畫，更全面地了解虧值與函數(shù)幾何性質(zhì)之間的關(guān)系。三、亞純函數(shù)值分布問題研究3.1亞純函數(shù)差分算子的值分布3.1.1差分算子的定義與性質(zhì)在亞純函數(shù)的研究中，差分算子是一種重要的工具，它為研究亞純函數(shù)的性質(zhì)提供了新的視角。對于復(fù)平面上的亞純函數(shù)f(z)，其差分算子通常定義為\Deltaf(z)=f(z+1)-f(z)，這是一階差分算子的基本形式。通過不斷迭代，可以得到高階差分算子。例如，二階差分算子\Delta^2f(z)=\Delta(\Deltaf(z))=(f(z+2)-f(z+1))-(f(z+1)-f(z))=f(z+2)-2f(z+1)+f(z)。一般地，n階差分算子\Delta^nf(z)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}C_n^kf(z+k)，其中C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}是組合數(shù)。差分算子對亞純函數(shù)的變換會帶來一系列性質(zhì)的改變。從解析性角度看，若f(z)在區(qū)域D上亞純，那么\Deltaf(z)在D上同樣亞純。這是因?yàn)閒(z+1)與f(z)在D上的解析性相同，它們的差\Deltaf(z)也保持了亞純性。例如，對于亞純函數(shù)f(z)=\frac{1}{z}，f(z+1)=\frac{1}{z+1}，則\Deltaf(z)=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z}=-\frac{1}{z(z+1)}，\Deltaf(z)在復(fù)平面上除z=0和z=-1外處處解析，仍然是亞純函數(shù)。在增長性方面，差分算子與原函數(shù)的增長性密切相關(guān)。設(shè)f(z)是有限級亞純函數(shù)，其增長級\rho(f)=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\logT(r,f)}{\logr}（其中T(r,f)是Nevanlinna特征函數(shù)）。對于一階差分算子\Deltaf(z)，有T(r,\Deltaf)\leqT(r+1,f)+T(r,f)+O(1)。當(dāng)r\rightarrow\infty時(shí)，若\rho(f)\lt\infty，則\rho(\Deltaf)\leq\rho(f)。例如，若f(z)=e^z，T(r,f)=e^r，\Deltaf(z)=e^{z+1}-e^z=e^z(e-1)，T(r,\Deltaf)=e^r(e-1)，此時(shí)\rho(f)=\rho(\Deltaf)=1。差分算子與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算存在明顯差異。從運(yùn)算形式上看，導(dǎo)數(shù)f'(z)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}，是基于極限的無窮小量運(yùn)算，而差分算子\Deltaf(z)=f(z+1)-f(z)是基于有限增量1的運(yùn)算。在零點(diǎn)和極點(diǎn)分布上，導(dǎo)數(shù)f'(z)的零點(diǎn)與f(z)的極值點(diǎn)相關(guān)，而差分算子\Deltaf(z)的零點(diǎn)則與f(z)在z和z+1處取值相等的點(diǎn)相關(guān)。例如，對于f(z)=z^2，f'(z)=2z，f'(z)的零點(diǎn)為z=0，而\Deltaf(z)=(z+1)^2-z^2=2z+1，\Deltaf(z)的零點(diǎn)為z=-\frac{1}{2}。在增長性方面，導(dǎo)數(shù)f'(z)的增長級一般與f(z)相同（對于整函數(shù)，若f(z)的增長級為\rho，則f'(z)的增長級也為\rho），但差分算子\Deltaf(z)的增長級可能會受到原函數(shù)增長級以及周期1的影響。例如，對于周期亞純函數(shù)f(z)=\sin(2\piz)，f'(z)=2\pi\cos(2\piz)，\rho(f)=\rho(f')=1，而\Deltaf(z)=\sin(2\pi(z+1))-\sin(2\piz)=0，\rho(\Deltaf)=0，這表明差分算子在處理周期函數(shù)時(shí)，其增長性可能會發(fā)生特殊變化，與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果不同。3.1.2差分算子值分布定理與案例分析亞純函數(shù)差分算子的值分布定理是研究差分算子取值規(guī)律的重要理論基礎(chǔ)。其中，對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理的差分模擬在相關(guān)研究中起著關(guān)鍵作用。設(shè)f(z)是有窮級亞純函數(shù)，c是非零常數(shù)，則有m(r,\frac{f(z+c)}{f(z)})=S(r,f)，其中S(r,f)是一個(gè)滿足S(r,f)=o(T(r,f))（當(dāng)r\rightarrow\infty，除去一個(gè)線性測度為有限的r值集）的量。這個(gè)引理為研究差分算子的值分布提供了重要的工具，類似于Nevanlinna理論中對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理在研究亞純函數(shù)值分布時(shí)的作用?；趯?shù)導(dǎo)數(shù)引理的差分模擬，結(jié)合Nevanlinna理論，可以得到一些關(guān)于差分算子的值分布定理。例如，設(shè)f(z)是有窮級超越亞純函數(shù)，c是非零常數(shù)，a(z)是f(z)的小函數(shù)（即滿足T(r,a)=o(T(r,f))，當(dāng)r\rightarrow\infty），若f(z)和\Delta_cf(z)=f(z+c)-f(z)CM分擔(dān)a(z)（即f(z)-a(z)與\Delta_cf(z)-a(z)有相同的零點(diǎn)且每個(gè)零點(diǎn)的重級也相同），那么可以通過Nevanlinna理論中的相關(guān)方法，如利用特征函數(shù)T(r,f)、計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,f)和接近函數(shù)m(r,f)之間的關(guān)系，來推導(dǎo)f(z)的一些性質(zhì)。以具體亞純函數(shù)f(z)=e^z為例，c=1，a(z)=0。首先計(jì)算\Delta_1f(z)=e^{z+1}-e^z=e^z(e-1)。f(z)和\Delta_1f(z)都沒有零點(diǎn)，即它們CM分擔(dān)0。根據(jù)Nevanlinna理論，T(r,f)=e^r，T(r,\Delta_1f)=e^r(e-1)。由于f(z)和\Delta_1f(z)CM分擔(dān)0，可以利用相關(guān)的值分布定理進(jìn)行分析。根據(jù)Nevanlinna第二基本定理的差分模擬形式，對于f(z)和\Delta_1f(z)分擔(dān)0的情況，有T(r,f)+T(r,\Delta_1f)\leqN(r,\frac{1}{f})+N(r,\frac{1}{\Delta_1f})+S(r,f)+S(r,\Delta_1f)，因?yàn)镹(r,\frac{1}{f})=N(r,\frac{1}{\Delta_1f})=0，所以T(r,f)+T(r,\Delta_1f)\leqS(r,f)+S(r,\Delta_1f)，又因?yàn)镾(r,f)=o(T(r,f))，S(r,\Delta_1f)=o(T(r,\Delta_1f))，所以T(r,f)和T(r,\Delta_1f)的增長速度符合定理的預(yù)期。這驗(yàn)證了在這種情況下，差分算子值分布定理的正確性。再考慮f(z)=\frac{1}{z}，c=1，a(z)=0。\Delta_1f(z)=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z}=-\frac{1}{z(z+1)}。f(z)的零點(diǎn)為z=\infty，\Delta_1f(z)的零點(diǎn)為z=0和z=-1，它們不CM分擔(dān)0。此時(shí)，通過計(jì)算特征函數(shù)T(r,f)=\logr，T(r,\Delta_1f)=\logr+O(1)，可以發(fā)現(xiàn)不滿足上述分擔(dān)條件下的值分布定理形式，進(jìn)一步說明了定理的應(yīng)用范圍與分擔(dān)條件的緊密聯(lián)系。3.1.3與傳統(tǒng)值分布結(jié)論的比較與拓展差分算子值分布結(jié)論與傳統(tǒng)亞純函數(shù)值分布結(jié)論存在顯著差異，同時(shí)也對傳統(tǒng)理論的研究范圍進(jìn)行了重要拓展。從差異方面來看，傳統(tǒng)亞純函數(shù)值分布主要研究函數(shù)本身在復(fù)平面上的取值分布規(guī)律，例如Nevanlinna理論通過特征函數(shù)刻畫函數(shù)取某個(gè)值的頻率與函數(shù)增長性之間的關(guān)系。而差分算子值分布則關(guān)注函數(shù)經(jīng)過差分變換后的值分布情況，其研究對象是差分算子\Deltaf(z)或高階差分算子\Delta^nf(z)。在零點(diǎn)分布上，傳統(tǒng)理論中函數(shù)f(z)的零點(diǎn)與差分算子\Deltaf(z)的零點(diǎn)分布不同。對于f(z)=z^2，f(z)的零點(diǎn)是z=0，而\Deltaf(z)=(z+1)^2-z^2=2z+1，其零點(diǎn)是z=-\frac{1}{2}。在增長性方面，傳統(tǒng)理論中函數(shù)的增長性與差分算子作用后的增長性也有所不同。對于有限級亞純函數(shù)f(z)，雖然\rho(\Deltaf)\leq\rho(f)，但在某些情況下，如對于周期亞純函數(shù)，其差分算子的增長性可能會發(fā)生特殊變化。對于f(z)=\sin(2\piz)，\rho(f)=1，而\Deltaf(z)=\sin(2\pi(z+1))-\sin(2\piz)=0，\rho(\Deltaf)=0，這在傳統(tǒng)值分布結(jié)論中是沒有出現(xiàn)的特殊情況。差分算子值分布對傳統(tǒng)理論的研究范圍進(jìn)行了拓展。在研究函數(shù)的唯一性問題時(shí)，傳統(tǒng)理論主要考慮函數(shù)本身與其他函數(shù)分擔(dān)值的情況來判斷唯一性。而引入差分算子后，可以研究函數(shù)與其差分算子分擔(dān)值的唯一性問題。設(shè)f(z)是有窮級超越亞純函數(shù)，a(z)是f(z)的小函數(shù)，若f(z)和\Deltaf(z)CM分擔(dān)a(z)，可以得到關(guān)于f(z)的一些唯一性結(jié)論。在研究函數(shù)的增長性與值分布關(guān)系時(shí)，傳統(tǒng)理論主要基于函數(shù)自身的特征函數(shù)進(jìn)行分析。差分算子值分布則通過研究差分算子的特征函數(shù)與原函數(shù)特征函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步深化了對函數(shù)增長性與值分布關(guān)系的理解。通過對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理的差分模擬，可以建立差分算子的Nevanlinna理論，從而拓展了傳統(tǒng)值分布理論在差分領(lǐng)域的應(yīng)用。在研究復(fù)差分方程的亞純解時(shí)，差分算子值分布理論為分析方程解的存在性、唯一性以及解的值分布提供了重要的工具，這是傳統(tǒng)值分布理論所未涉及的領(lǐng)域。例如，對于復(fù)差分方程\Deltaf(z)+a(z)f(z)=b(z)，利用差分算子值分布理論，可以研究其亞純解f(z)的增長性和值分布情況，判斷解的存在條件和唯一性條件。3.2亞純函數(shù)的唯一性問題3.2.1亞純函數(shù)唯一性相關(guān)理論亞純函數(shù)的唯一性是復(fù)分析領(lǐng)域中一個(gè)核心且饒有趣味的研究方向，其旨在探究在何種特定條件下，一個(gè)亞純函數(shù)能夠被唯一確定。這一問題的研究不僅對于深入理解亞純函數(shù)的本質(zhì)特性具有重要意義，還在復(fù)分析的眾多分支，如復(fù)微分方程、解析數(shù)論等領(lǐng)域中有著廣泛且關(guān)鍵的應(yīng)用。在亞純函數(shù)唯一性理論中，Nevanlinna五值定理和四值定理占據(jù)著基石性的地位，它們是該領(lǐng)域早期的重要成果，為后續(xù)的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。Nevanlinna五值定理表明，若兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)f(z)和g(z)CM分擔(dān)（即具有相同的零點(diǎn)且每個(gè)零點(diǎn)的重級也相同）五個(gè)判別的復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3,a_4,a_5，那么f(z)\equivg(z)。從數(shù)學(xué)原理上看，該定理的證明基于Nevanlinna理論中的特征函數(shù)和第一、二基本定理。通過利用特征函數(shù)T(r,f)和T(r,g)來刻畫函數(shù)的增長性，以及計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{f-a_i})和N(r,\frac{1}{g-a_i})來表示函數(shù)取a_i值的頻率，結(jié)合第一、二基本定理中的不等式關(guān)系，經(jīng)過一系列嚴(yán)密的推導(dǎo)和論證，最終得出f(z)和g(z)相等的結(jié)論。例如，對于兩個(gè)亞純函數(shù)f(z)=\frac{z+1}{z-1}和g(z)=\frac{z+2}{z-2}，若它們CM分擔(dān)五個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如0,1,2,3,4，則可根據(jù)Nevanlinna五值定理判斷它們必然相等，盡管在實(shí)際情況中，這樣的函數(shù)構(gòu)造可能較為復(fù)雜，但定理為判斷函數(shù)的唯一性提供了明確的依據(jù)。Nevanlinna四值定理則指出，若兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)f(z)和g(z)CM分擔(dān)四個(gè)判別的復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3,a_4，那么f(z)是g(z)的一個(gè)M?bius變換。M?bius變換是一種形如w=\frac{az+b}{cz+d}（其中ad-bc\neq0）的分式線性變換，它在復(fù)分析中具有重要的幾何和代數(shù)性質(zhì)。Nevanlinna四值定理的證明同樣依賴于Nevanlinna理論，通過巧妙地運(yùn)用特征函數(shù)、計(jì)數(shù)函數(shù)以及相關(guān)的不等式和引理，深入分析函數(shù)在分擔(dān)四個(gè)值時(shí)的性質(zhì)和關(guān)系，從而得出f(z)與g(z)之間的M?bius變換關(guān)系。例如，對于亞純函數(shù)f(z)=\frac{1}{z}和g(z)=\frac{z}{1-z}，若它們CM分擔(dān)四個(gè)復(fù)數(shù)，如0,1,\infty,-1，則根據(jù)Nevanlinna四值定理，f(z)和g(z)之間存在著特定的M?bius變換關(guān)系。分擔(dān)值在亞純函數(shù)唯一性問題中扮演著至關(guān)重要的角色，是判斷函數(shù)唯一性的關(guān)鍵因素。當(dāng)兩個(gè)亞純函數(shù)分擔(dān)某些值時(shí)，這些公共值就像紐帶一樣，將兩個(gè)函數(shù)緊密聯(lián)系起來，為研究它們的唯一性提供了切入點(diǎn)。從直觀上理解，若兩個(gè)函數(shù)在多個(gè)值上取值相同，那么它們在整個(gè)復(fù)平面上的行為可能具有很強(qiáng)的相似性，甚至可能完全相同。在理論層面，通過Nevanlinna理論中的計(jì)數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)，可以定量地描述函數(shù)分擔(dān)值的情況，進(jìn)而建立起與函數(shù)唯一性相關(guān)的不等式和定理。當(dāng)兩個(gè)亞純函數(shù)f(z)和g(z)分擔(dān)值a時(shí)，計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{f-a})和N(r,\frac{1}{g-a})相等，這一條件在推導(dǎo)唯一性結(jié)論時(shí)起著關(guān)鍵作用，它反映了兩個(gè)函數(shù)在取a值的頻率上的一致性，通過與特征函數(shù)T(r,f)和T(r,g)的結(jié)合，可以進(jìn)一步分析函數(shù)的增長性和唯一性。3.2.2公共值與公共函數(shù)的唯一性案例通過具體的函數(shù)案例，能更直觀且深入地理解亞純函數(shù)在具有公共值或公共函數(shù)時(shí)的唯一性情況，以及影響唯一性的各種因素?？紤]亞純函數(shù)f(z)=e^z和g(z)=e^{-z}，它們都沒有零點(diǎn)，即CM分擔(dān)0。根據(jù)Nevanlinna理論，對于f(z)=e^z，其特征函數(shù)T(r,f)=e^r，對于g(z)=e^{-z}，其特征函數(shù)T(r,g)=e^r。雖然它們CM分擔(dān)0，但f(z)\neqg(z)。這表明僅僅CM分擔(dān)一個(gè)值，并不能保證兩個(gè)亞純函數(shù)的唯一性。從Nevanlinna第二基本定理的角度分析，對于f(z)和g(z)，當(dāng)考慮三個(gè)判別復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3時(shí)，(q-2)T(r,f)\leq\sum_{i=1}^{q}N(r,\frac{1}{f-a_i})+S(r,f)，(q-2)T(r,g)\leq\sum_{i=1}^{q}N(r,\frac{1}{g-a_i})+S(r,g)。在這個(gè)案例中，由于f(z)和g(z)分擔(dān)0，N(r,\frac{1}{f-0})=N(r,\frac{1}{g-0})=0，但對于其他值a_i，N(r,\frac{1}{f-a_i})和N(r,\frac{1}{g-a_i})的情況不同，導(dǎo)致它們不滿足唯一性的條件。再看亞純函數(shù)f(z)=\frac{1}{z}和g(z)=\frac{1}{z+1}，它們都有一個(gè)極點(diǎn)，f(z)的極點(diǎn)為z=0，g(z)的極點(diǎn)為z=-1，即它們IM分擔(dān)（即具有相同的零點(diǎn)，不計(jì)重?cái)?shù)）\infty。同樣，f(z)\neqg(z)。在這種情況下，雖然它們IM分擔(dān)\infty，但由于在其他值上的取值情況不同，通過Nevanlinna理論中的計(jì)數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)分析可知，它們不滿足唯一性的判定條件。對于f(z)和g(z)，計(jì)算它們關(guān)于其他值a的計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{f-a})和N(r,\frac{1}{g-a})，會發(fā)現(xiàn)存在差異，這使得它們在整體上不滿足唯一性。當(dāng)兩個(gè)亞純函數(shù)分擔(dān)一個(gè)公共函數(shù)時(shí)，情況更為復(fù)雜。設(shè)f(z)和g(z)是兩個(gè)亞純函數(shù)，且f(z)和g(z)CM分擔(dān)一個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)h(z)。例如，f(z)=h(z)+1，g(z)=h(z)-1，此時(shí)雖然它們CM分擔(dān)h(z)，但f(z)\neqg(z)。這是因?yàn)槌斯埠瘮?shù)h(z)外，它們在其他方面的取值存在差異。通過Nevanlinna理論，分析它們關(guān)于其他值的計(jì)數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)由于f(z)和g(z)在h(z)之外的取值不同，導(dǎo)致它們不滿足唯一性條件。從這些案例可以總結(jié)出，影響亞純函數(shù)唯一性的因素主要包括分擔(dān)值的個(gè)數(shù)、分擔(dān)的方式（CM分擔(dān)或IM分擔(dān)）以及函數(shù)本身的性質(zhì)。分擔(dān)值個(gè)數(shù)越多，滿足唯一性的可能性越大；CM分擔(dān)比IM分擔(dān)更有利于保證唯一性；函數(shù)的增長性、零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布等性質(zhì)也會對唯一性產(chǎn)生重要影響。對于增長速度不同的兩個(gè)亞純函數(shù)，即使它們分擔(dān)一些值，也可能不滿足唯一性。若一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布較為特殊，而另一個(gè)函數(shù)與之不同，那么它們在分擔(dān)某些值時(shí)，也難以保證唯一性。3.2.3特殊條件下的亞純函數(shù)唯一性探討在亞純函數(shù)唯一性問題的研究中，特殊條件下的亞純函數(shù)唯一性探討是一個(gè)重要且富有挑戰(zhàn)性的方向。有限級和超級有限等特殊條件對亞純函數(shù)的行為具有顯著的限制作用，從而深刻地影響著其唯一性。有限級亞純函數(shù)是指其增長級\rho(f)=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\logT(r,f)}{\logr}為有限值的亞純函數(shù)。當(dāng)考慮有限級亞純函數(shù)的唯一性時(shí)，其有限的增長級使得函數(shù)在復(fù)平面上的增長受到一定約束，進(jìn)而為唯一性的判定提供了更有利的條件。設(shè)f(z)和g(z)是兩個(gè)有限級亞純函數(shù)，若它們CM分擔(dān)三個(gè)判別的復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3，根據(jù)Nevanlinna理論，結(jié)合有限級亞純函數(shù)的增長特性，可以得到更精確的唯一性結(jié)論。由于有限級亞純函數(shù)的特征函數(shù)T(r,f)和T(r,g)的增長速度受到限制，在分擔(dān)三個(gè)值的情況下，通過Nevanlinna第二基本定理(q-2)T(r,f)\leq\sum_{i=1}^{q}N(r,\frac{1}{f-a_i})+S(r,f)（q=3時(shí)），可以更有效地分析計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{f-a_i})和N(r,\frac{1}{g-a_i})之間的關(guān)系，從而判斷f(z)和g(z)是否相等。在某些情況下，通過對有限級亞純函數(shù)的增長級進(jìn)行具體的限制，如\rho(f)\lt1，可以進(jìn)一步簡化唯一性的判定條件。當(dāng)\rho(f)\lt1時(shí)，函數(shù)的增長相對較慢，其值分布更為集中，這使得在分擔(dān)值的情況下，更容易滿足唯一性的要求。對于滿足\rho(f)\lt1的有限級亞純函數(shù)f(z)和g(z)，若它們CM分擔(dān)兩個(gè)判別的復(fù)數(shù)a_1,a_2，且滿足一些其他的輔助條件，如N(r,\frac{1}{f-a_1})+N(r,\frac{1}{f-a_2})與T(r,f)之間的特定關(guān)系，可以得出f(z)\equivg(z)的結(jié)論。超級有限亞純函數(shù)是指其超級\rho_2(f)=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\log\logT(r,f)}{\logr}為有限值的亞純函數(shù)，這是一種比有限級更特殊的條件。超級有限條件對亞純函數(shù)的增長進(jìn)行了更為嚴(yán)格的限制，使得函數(shù)在復(fù)平面上的增長速度更為緩慢，值分布更為規(guī)則。在研究超級有限亞純函數(shù)的唯一性時(shí)，這種嚴(yán)格的增長限制為唯一性的判定提供了獨(dú)特的優(yōu)勢。設(shè)f(z)和g(z)是兩個(gè)超級有限亞純函數(shù)，若它們IM分擔(dān)四個(gè)判別的復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3,a_4，利用超級有限亞純函數(shù)的特殊增長性質(zhì)，結(jié)合Nevanlinna理論，可以得到關(guān)于它們唯一性的結(jié)論。由于超級有限亞純函數(shù)的特征函數(shù)T(r,f)的增長速度極慢，在IM分擔(dān)四個(gè)值的情況下，通過對計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{f-a_i})和N(r,\frac{1}{g-a_i})的細(xì)致分析，以及利用超級有限條件對函數(shù)增長的限制，如\rho_2(f)\lt\infty所帶來的函數(shù)值分布的特性，可以判斷f(z)和g(z)之間的關(guān)系。在某些情況下，即使是IM分擔(dān)，由于超級有限條件的限制，也可能得出f(z)和g(z)相等或存在特定關(guān)系的結(jié)論。對于滿足\rho_2(f)\lt1的超級有限亞純函數(shù)f(z)和g(z)，若它們IM分擔(dān)三個(gè)判別的復(fù)數(shù)a_1,a_2,a_3，且滿足一些關(guān)于計(jì)數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)的附加條件，如N(r,\frac{1}{f-a_1})+N(r,\frac{1}{f-a_2})+N(r,\frac{1}{f-a_3})與T(r,f)之間的某種不等式關(guān)系，可以得出f(z)\equivg(z)或f(z)與g(z)存在特定M?bius變換關(guān)系的結(jié)論。四、代數(shù)體函數(shù)值分布問題研究4.1代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題4.1.1代數(shù)體函數(shù)唯一性的定義與判定代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題是代數(shù)體函數(shù)值分布理論中的重要研究內(nèi)容，它對于深入理解代數(shù)體函數(shù)的本質(zhì)特性以及其在數(shù)學(xué)和其他相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用具有關(guān)鍵意義。從定義角度來看，若存在特定條件使得一個(gè)代數(shù)體函數(shù)能夠被唯一確定，那么就稱該代數(shù)體函數(shù)在這些條件下具有唯一性。例如，當(dāng)兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)在某些值上的取值完全相同，且滿足一定的附加條件時(shí)，就可以判定它們是同一個(gè)代數(shù)體函數(shù)，從而確定了代數(shù)體函數(shù)的唯一性。判定代數(shù)體函數(shù)唯一性的方法主要基于對其分擔(dān)值和分支點(diǎn)的深入研究。分擔(dān)值在代數(shù)體函數(shù)唯一性判定中起著核心作用。當(dāng)兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)分擔(dān)多個(gè)值時(shí)，通過分析這些分擔(dān)值的情況，可以判斷它們是否具有唯一性。對于兩個(gè)v值代數(shù)體函數(shù)w_1(z)和w_2(z)，如果它們CM分擔(dān)（即具有相同的零點(diǎn)且每個(gè)零點(diǎn)的重級也相同）4v+1個(gè)不同復(fù)數(shù)，根據(jù)Valiron的研究成果，就可以得出w_1(z)\equivw_2(z)。這是因?yàn)榉謸?dān)足夠多的不同復(fù)數(shù)，使得兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)在這些值上的行為完全一致，從而從整體上確定了它們的唯一性。何育贊對這一結(jié)論進(jìn)行了改進(jìn)，他證明了如果兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)w_1(z)和w_2(z)，其中w_2(z)的值域個(gè)數(shù)s\leqv（v為w_1(z)的值域個(gè)數(shù)），并且它們IM分擔(dān)（即具有相同的零點(diǎn)，不計(jì)重?cái)?shù)）4v+1個(gè)值b_j\in\overline{C}（\overline{C}表示擴(kuò)充復(fù)平面），那么w_1(z)\equivw_2(z)。這一改進(jìn)使得在更寬松的條件下（IM分擔(dān)）也能判定代數(shù)體函數(shù)的唯一性。分支點(diǎn)是代數(shù)體函數(shù)的重要特征，對唯一性判定也有著重要影響。代數(shù)體函數(shù)的分支點(diǎn)是指在該點(diǎn)處函數(shù)的多值性發(fā)生變化的點(diǎn)。在判定唯一性時(shí)，需要考慮分支點(diǎn)的分布情況以及它們對函數(shù)取值的影響。若兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)在分支點(diǎn)附近的取值行為差異較大，即使它們在其他點(diǎn)上分擔(dān)一些值，也可能不具有唯一性。例如，對于兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)，若它們在某些分支點(diǎn)處的分支情況不同，一個(gè)函數(shù)在某分支點(diǎn)處有k個(gè)分支，而另一個(gè)函數(shù)在相同位置的分支點(diǎn)處有m\neqk個(gè)分支，那么它們在這些分支點(diǎn)附近的取值必然不同，這可能導(dǎo)致它們不滿足唯一性條件。從理論角度分析，分支點(diǎn)的存在使得代數(shù)體函數(shù)的研究更為復(fù)雜，在判定唯一性時(shí)，需要綜合考慮分支點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)N_x(r,w)與特征函數(shù)T(r,w)之間的關(guān)系。若N_x(r,w)=o(T(r,w))（表示分支點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)相對于特征函數(shù)是小量），則說明分支點(diǎn)對函數(shù)整體性質(zhì)的影響相對較小，在這種情況下，基于分擔(dān)值的唯一性判定方法可能更為有效；反之，若N_x(r,w)與T(r,w)的增長速度相當(dāng)或更快，那么分支點(diǎn)對函數(shù)的影響較大，需要更細(xì)致地分析分支點(diǎn)的情況來判定唯一性。4.1.2代數(shù)體函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的唯一性案例以具體的代數(shù)體函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為例，能更直觀地驗(yàn)證在不同分擔(dān)值條件下的唯一性情況，從而深入理解代數(shù)體函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的唯一性規(guī)律?？紤]由方程w^2-z=0確定的代數(shù)體函數(shù)w(z)=\pm\sqrt{z}，其導(dǎo)數(shù)w'(z)=\pm\frac{1}{2\sqrt{z}}。假設(shè)存在另一個(gè)代數(shù)體函數(shù)m(z)，若w(z)與m(z)CM分擔(dān)0和1。對于w(z)=\pm\sqrt{z}，當(dāng)z=0時(shí)，w(0)=0，當(dāng)z=1時(shí)，w(1)=\pm1。若m(z)也滿足在z=0時(shí)取值為0，在z=1時(shí)取值為\pm1，且零點(diǎn)重?cái)?shù)相同（CM分擔(dān)），但通過分析可以發(fā)現(xiàn)，僅CM分擔(dān)這兩個(gè)值，并不能保證m(z)\equivw(z)。因?yàn)榇鷶?shù)體函數(shù)w(z)是二值函數(shù)，其取值具有多值性，除了0和1這兩個(gè)分擔(dān)值外，在其他點(diǎn)上m(z)可能有不同的取值情況。從Nevanlinna理論角度分析，計(jì)算w(z)的特征函數(shù)T(r,w)和計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{w-a})（a=0,1），以及m(z)相應(yīng)的特征函數(shù)T(r,m)和計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{m-a})，會發(fā)現(xiàn)雖然在a=0,1時(shí)N(r,\frac{1}{w-a})=N(r,\frac{1}{m-a})，但對于其他值，它們的計(jì)數(shù)函數(shù)可能不同，導(dǎo)致不滿足唯一性條件。再考慮由方程w^3+e^zw^2+(z+1)w+1=0確定的超越代數(shù)體函數(shù)w(z)，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為w'(z)。若w(z)和w'(z)IM分擔(dān)\infty，并且CM分擔(dān)2v（v=3，即6）個(gè)非零互異有限復(fù)數(shù)a_1,a_2,\cdots,a_6。根據(jù)朱新瑤和劉曉俊的研究結(jié)果，此時(shí)可以得出w(z)\equivw'(z)。從實(shí)際驗(yàn)證來看，對于w(z)，在其定義域內(nèi)，當(dāng)z取某些值時(shí)，w(z)的值由方程w^3+e^zw^2+(z+1)w+1=0確定，而w'(z)的值通過對方程求導(dǎo)得到。由于它們CM分擔(dān)6個(gè)非零互異有限復(fù)數(shù)，意味著在這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)上，w(z)和w'(z)不僅取值相同，而且零點(diǎn)重?cái)?shù)也相同；同時(shí)IM分擔(dān)\infty，即它們在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的極點(diǎn)情況相同。通過對Nevanlinna理論中特征函數(shù)和計(jì)數(shù)函數(shù)的詳細(xì)分析，以及考慮代數(shù)體函數(shù)的多值性和分支點(diǎn)情況，可以驗(yàn)證這一結(jié)論的正確性。在這個(gè)案例中，6個(gè)非零互異有限復(fù)數(shù)的CM分擔(dān)以及\infty的IM分擔(dān)，使得w(z)和w'(z)在足夠多的關(guān)鍵點(diǎn)上行為一致，從而保證了它們的唯一性。通過這些案例可以總結(jié)出，代數(shù)體函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的唯一性與分擔(dān)值的個(gè)數(shù)、類型（有限復(fù)數(shù)、\infty）以及分擔(dān)方式（CM分擔(dān)、IM分擔(dān)）密切相關(guān)。分擔(dān)值個(gè)數(shù)越多，且分擔(dān)方式越嚴(yán)格（如CM分擔(dān)優(yōu)于IM分擔(dān)），滿足唯一性的可能性就越大。同時(shí)，代數(shù)體函數(shù)的多值性和分支點(diǎn)等特性也會對唯一性產(chǎn)生重要影響，在分析和驗(yàn)證唯一性時(shí)，需要綜合考慮這些因素。4.1.3特殊代數(shù)體函數(shù)的唯一性研究針對分支點(diǎn)相對較少等特殊代數(shù)體函數(shù)，深入研究其唯一性具有重要意義，這有助于揭示特殊代數(shù)體函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)以及進(jìn)一步完善代數(shù)體函數(shù)唯一性理論。當(dāng)代數(shù)體函數(shù)的分支點(diǎn)相對較少時(shí)，其多值性的表現(xiàn)相對簡單，這為唯一性的研究提供了一些便利條件。在這種情況下，分支點(diǎn)對函數(shù)整體性質(zhì)的影響相對較小，使得基于分擔(dān)值的唯一性判定方法更加有效。對于滿足N_x(r,w)=o(T(r,w))（表示分支點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)相對于特征函數(shù)是小量）的代數(shù)體函數(shù)w(z)，在判定其唯一性時(shí)，可以更加側(cè)重于對分擔(dān)值的分析。假設(shè)存在兩個(gè)這樣的代數(shù)體函數(shù)w_1(z)和w_2(z)，如果它們CM分擔(dān)4v個(gè)不同復(fù)數(shù)（v為代數(shù)體函數(shù)的值域個(gè)數(shù)），雖然沒有達(dá)到Valiron定理中4v+1個(gè)復(fù)數(shù)的條件，但由于分支點(diǎn)影響較小，通過對Nevanlinna理論中特征函數(shù)和計(jì)數(shù)函數(shù)的深入分析，以及利用分支點(diǎn)小量條件對函數(shù)值分布的限制，可以得出在某些情況下w_1(z)\equivw_2(z)。從理論推導(dǎo)角度來看，因?yàn)榉种c(diǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)是特征函數(shù)的小量，所以在考慮函數(shù)取值分布時(shí)，可以近似忽略分支點(diǎn)的影響，將問題簡化為類似于亞純函數(shù)（單值函數(shù)）的情況。在亞純函數(shù)中，較少的分擔(dān)值個(gè)數(shù)有時(shí)也能保證唯一性，對于滿足分支點(diǎn)小量條件的代數(shù)體函數(shù)，類似的結(jié)論可能成立。通過具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，利用特征函數(shù)T(r,w)與計(jì)數(shù)函數(shù)N(r,\frac{1}{w-a})（a為分擔(dān)值）之間的關(guān)系，以及分支點(diǎn)小量條件所帶來的不等式約束，可以證明在特定條件下，4v個(gè)分擔(dān)值能夠保證代數(shù)體函數(shù)的唯一性。特殊代數(shù)體函數(shù)的分支點(diǎn)性質(zhì)對唯一性判定具有重要影響。分支點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置以及分支情況都會改變函數(shù)的多值性結(jié)構(gòu)，進(jìn)而影響唯一性。若一個(gè)代數(shù)體函數(shù)的分支點(diǎn)都集中在復(fù)平面的某個(gè)局部區(qū)域，而在其他大部分區(qū)域分支點(diǎn)很少甚至沒有，那么在這些分支點(diǎn)少的區(qū)域，函數(shù)的行為更接近單值函數(shù)，唯一性的判定條件可能相對寬松。在這個(gè)大部分區(qū)域內(nèi)，若兩個(gè)代數(shù)體函數(shù)IM分擔(dān)4v-1個(gè)值（v為代數(shù)體函數(shù)的值域個(gè)數(shù)），且滿足一些關(guān)于特征函數(shù)和計(jì)數(shù)函數(shù)的附加條件，如N(r,\frac{1}{w_1-a_i})+N(r,\frac{1}{w_2-a_i})與T(r,w_1)+T(r,w_2)之間的某種關(guān)系，可以通過對函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)的取值分布進(jìn)行詳細(xì)分析，利用Nevanlinna理論和分支點(diǎn)性質(zhì)，得出w_1(z)\equivw_2(z)的結(jié)論。這表明特殊代數(shù)體函數(shù)的分支點(diǎn)分布特性為唯一性判定提供了新的思路和條件，通過合理利用這些特性，可以在更寬松的分擔(dān)值條件下判定代數(shù)體函數(shù)的唯一性。4.2代數(shù)體函數(shù)的奇異方向問題4.2.1代數(shù)體函數(shù)Borel方向的定義與性質(zhì)代數(shù)體函數(shù)的Borel方向是研究代數(shù)體函數(shù)值分布的重要概念，它反映了函數(shù)在某些特殊方向上的值分布特性，對于深入理解代數(shù)體函數(shù)的性質(zhì)具有關(guān)鍵作用。從定義角度來看，設(shè)w(z)是一個(gè)\nu值代數(shù)體函數(shù)，其增長級\rho=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\logT(r,w)}{\logr}（其中T(r,w)是Nevanlinna特征函數(shù)）。若存在一條從原點(diǎn)出發(fā)的半直線\argz=\theta_0(0\leq\theta_0\lt2\pi)，對于任意給定的\varepsilon\gt0和任意有限復(fù)數(shù)a，滿足\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{n(r,\theta_0,\varepsilon,a)}{r^{\rho}}=\infty，其中n(r,\theta_0,\varepsilon,a)表示在角域\{z:|z|\ltr,\theta_0-\varepsilon\lt\argz\lt\theta_0+\varepsilon\}內(nèi)w(z)取a值的次數(shù)（按重?cái)?shù)計(jì)算），則稱半直線\argz=\theta_0是w(z)的一條\rho級Borel方向。例如，對于簡單的代數(shù)體函數(shù)w(z)=\sqrt{z}，其增長級\rho=\frac{1}{2}，在研究其Borel方向時(shí)，通過分析在不同角域內(nèi)w(z)取某個(gè)值a的次數(shù)與r^{\frac{1}{2}}的關(guān)系，來確定是否存在Borel方向。Borel方向具有一些重要性質(zhì)。它與代數(shù)體函數(shù)的增長性密切相關(guān)，是函數(shù)增長性在特定方向上的集中體現(xiàn)。由于Borel方向上函數(shù)值的分布具有特殊性，所以在該方向上，函數(shù)的增長速度往往比在其他方向上更快。對于一個(gè)\rho級代數(shù)體函數(shù)，在Borel方向上，其特征函數(shù)T(r,w)的增長速度滿足\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\logT(r,w)}{\logr}=\rho，這表明Borel方向上函數(shù)的增長級達(dá)到了函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上的增長級。Borel方向還與函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布緊密相連。在Borel方向附近，函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布更為密集，這反映了函數(shù)在該方向上的值分布的不均勻性。對于一個(gè)代數(shù)體函數(shù)w(z)，若\argz=\theta_0是其Borel方向，那么在角域\{z:|z|\ltr,\theta_0-\varepsilon\lt\argz\lt\theta_0+\varepsilon\}內(nèi)，w(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)隨著r的增大而迅速增加。Borel方向在研究函數(shù)值分布中起著重要作用。它為研究代數(shù)體函數(shù)在復(fù)平面上的局部性質(zhì)提供了切入點(diǎn)。通過分析Borel方向上函數(shù)值的分布情況，可以深入了解函數(shù)在某些特殊區(qū)域內(nèi)的行為和性質(zhì)。在研究代數(shù)體函數(shù)的虧值時(shí)，Borel方向與虧值之間存在著一定的聯(lián)系。虧值是指對于代數(shù)體函數(shù)w(z)，如果\delta(a,w)=\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{m(r,\frac{1}{w-a})}{T(r,w)}\gt0，則稱a為w(z)的虧值。在Borel方向上，由于函數(shù)值分布的特殊性，可能會出現(xiàn)一些特殊的虧值情況。若在某個(gè)Borel方向上，函數(shù)取某個(gè)值a的頻率相對較低，那么a可能是該函數(shù)的虧值。Borel方向還可以用于研究代數(shù)體函數(shù)的漸近值。漸近值是指當(dāng)z沿著某個(gè)方向趨于無窮時(shí)，函數(shù)w(z)趨于的某個(gè)值。在Borel方向上，研究函數(shù)的漸近值可以進(jìn)一步了解函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的行為和性質(zhì)。4.2.2角域內(nèi)代數(shù)體函數(shù)Borel方向的判定在研究角域內(nèi)代數(shù)體函數(shù)Borel方向的判定時(shí)，角域到單位圓的保形變換是一種重要的方法，它為解決這一問題提供了新的思路和途徑。通過角域到單位圓的保形變換，可以將角域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為單位圓內(nèi)的問題，從而利用單位圓內(nèi)的相關(guān)理論和方法進(jìn)行研究。設(shè)角域D=\{z:\alpha\lt\argz\lt\beta\}，通過保形變換w=\frac{z^{\frac{\pi}{\beta-\alpha}}-e^{i\frac{\pi\alpha}{\beta-\alpha}}}{z^{\frac{\pi}{\beta-\alpha}}-e^{i\frac{\pi\beta}{\beta-\alpha}}}，可以將角域D映射到單位圓|w|\lt1。在這個(gè)變換過程中，代數(shù)體函數(shù)f(z)在角域D內(nèi)的性質(zhì)會相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為在單位圓內(nèi)的性質(zhì)。對于角域內(nèi)代數(shù)體函數(shù)的Borel方向，經(jīng)過保形變換后，其在單位圓內(nèi)對應(yīng)的方向也具有特殊的性質(zhì)。在單位圓內(nèi)，可以利用Nevanlinna理論以及一些關(guān)于單位圓內(nèi)亞純函數(shù)的結(jié)論來研究Borel方向的判定。利用角域Neumann球面平均覆蓋次數(shù)的幾何意義，結(jié)合型函數(shù)的性質(zhì)，可以得到角域內(nèi)代數(shù)體函數(shù)Borel方向的判定條件。角域Neumann球面平均覆蓋次數(shù)反映了代數(shù)體函數(shù)在角域內(nèi)對Neumann球面的覆蓋情況