第第頁獲取更多資料，關(guān)注公眾號：Hi數(shù)學(xué)派791期長郡24屆新高三開學(xué)考導(dǎo)數(shù)嚇到我了！還好有同構(gòu)最近各地都陸陸續(xù)續(xù)開學(xué)了，有的學(xué)校也進行了開學(xué)摸底考試，其中出現(xiàn)了很多不錯的試題，比如今天這道出自湖南長郡中學(xué)2024屆新高三的開學(xué)考的導(dǎo)數(shù)壓軸題。題目乍一看的確嚇人，一上來就是很少出現(xiàn)的指數(shù)上套指數(shù)的函數(shù)，估計唬住了不少同學(xué)！但這題其實不難，指數(shù)上套指數(shù)很明顯要取對數(shù)轉(zhuǎn)化為指對型！一、長郡24屆新高三開學(xué)考導(dǎo)數(shù)壓軸【長郡24屆新高三開學(xué)考T22】已知函數(shù)f(（1）若f(x)在t,f（2）若方程f(x)=x在解析：（關(guān)注公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（1）由函數(shù)f(x)=因為f(x)在t所以f'(t)=eet?可得f(1)=ee1?1?（2）由f(x)=兩邊同時取對數(shù)得lneex?t可得exet所以關(guān)于x的方程ex=e因為x>0，所以令g(x)=xex(要使g(x)=令?(x)=當(dāng)x∈(0,1)當(dāng)x∈(1,+∞)時，?'(當(dāng)t<1時，?(當(dāng)t=1時，?(x)≥當(dāng)t>1時，?(1)=令φ(t)=et?2t所以φ(t)>所以?(x)在0綜上可得，實數(shù)t的取值范圍是(1二、何謂同構(gòu)？同構(gòu)的本質(zhì)就是函數(shù)復(fù)合的逆向過程，也即逆運算罷了！函數(shù)復(fù)合過程：設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)u=φ(x)，如果φ(x)的值全部或部分在f(u)的定義域內(nèi)，則把變量y通過中間變量u成為變量x例如，函數(shù)y=x4?2x2可看做函數(shù)y函數(shù)同構(gòu)過程：將一不等式F(x)≥0，通過等價變形，比如移項、取對數(shù)、同乘以某個因式等等，轉(zhuǎn)化成f[g(函數(shù)同構(gòu)過程可以看作是找出函數(shù)F(x)三、常見同構(gòu)類型（一）、對稱輪換式型這種同構(gòu)多見于雙變量中，并且兩個變量在等式或不等式中地位等價。例如，對于不等式F(x1,x2)≥這種同構(gòu)形式主要有兩種常見模型，（1）ff?y（2）f(x1f?y對于含有地位等價的兩個變量的方程進行變形，是常見變形，通過變形整理后的不等式兩邊具有相同結(jié)構(gòu)（函數(shù)同構(gòu)），往往通過函數(shù)的單調(diào)性進行求解。（二）、指對同構(gòu)型1、指對同構(gòu)的基礎(chǔ)是高中剛開始時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的兩個恒等式：當(dāng)a>0且alog其中，a=e時，便是指對同構(gòu)中兩個最常用的指對恒等式：x2、下面再歸納一下常用于指對同構(gòu)，變形轉(zhuǎn)化用的恒等式：（1）x（2）e（3）x（4）x（5）e（6）x（7）x（8）x（9）x3、指對同構(gòu)找外函數(shù)三種方式，左同構(gòu)、右同構(gòu)、取對數(shù)（1）對于積型：a①式（1）外函數(shù)為fx=xe②式（1）外函數(shù)為fx=xln③式（1）取對數(shù)后有：a+lna≥lnb（2）對于商型：e①式（2）外函數(shù)為fx=ex②式（2）外函數(shù)為fx=xln③式（2）取對數(shù)后有：a?lna≥lnb?lnln（3）對于和差型：e①式（3）外函數(shù)為fx=ex②式（3）外函數(shù)為fx=x±4、隱蔽性指對同構(gòu)，需要補因式例如，（1）對于aeax>ln（2）對于exe兩邊需同加上x，轉(zhuǎn)化為和型，e（3）反函數(shù)型a5、指對同構(gòu)常見10種外函數(shù)圖像函數(shù)表達式圖像函數(shù)表達式圖像函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點過定點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點（三）、朗博不等式型1、朗博不等式：（處取等）此不等式是結(jié)合指對恒等式與常見放縮不等式復(fù)合而來的，即上小節(jié)中的指對恒等式（1）與上一期中的常見放縮不等式注：朗博不等式，經(jīng)常出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸中，不過現(xiàn)在已經(jīng)爛大街了。。。感興趣的可以參考下面的鏈接，

\h557期【導(dǎo)數(shù)】何謂朗博不等式？，\h617期【導(dǎo)數(shù)】廣東一模壓軸還在用“爛大街”的朗博不等式2、基于朗博不等構(gòu)造過程拓展的一些不等式（1）exx=（2）x（3）x（4）x（5）e（6）x（7）x（8）x（9）x（10）x（11）x……注：這種不等式還可以構(gòu)造很多，基本構(gòu)型都是指對恒等式+常見放縮不等式，關(guān)于常見放縮不等式，可以參見上一期鏈接，\h762期【導(dǎo)數(shù)】放縮的本質(zhì)是？55個常見放縮不等式你知道多少？經(jīng)典例題【【例1】（2022年新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值.求;（2）證明：存在直線，其與兩條曲線，共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【解析】（1）的定義域為,且,若,則,單調(diào)遞增,無最小值,故.當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故.的定義域為,且.當(dāng)時,,當(dāng)時,,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故.因為和有相同的最小值,所以,整理得到,其中,設(shè),則,故為上的減函數(shù),而,故的唯一解為,故的解為.綜上,.（2）由（1）可得和的最小值為.當(dāng),、各有一個實根,不滿足題意,當(dāng)時,、均無實根,不滿足題意當(dāng)時,設(shè),則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以,而,,設(shè),其中,則,故在上為增函數(shù),故,故,故有兩個不同的零點,即的根的個數(shù)為2.設(shè),,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以,而,,有兩個不同的零點,即的根的個數(shù)為2.設(shè),其中,故,設(shè),,則,故在上為增函數(shù),故即,所以,所以在上為增函數(shù),而,,故在上有且只有一個零點,,且當(dāng)時,即即,當(dāng)時,即即,因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點,故,此時有兩個不同的零點,此時有兩個不同的零點,故,,,所以即即,故為方程的解,同理也為方程的解又可化為即即,故為方程的解,同理也為方程的解,所以,而,故即.【點睛】我們跳過三個不同的交點（設(shè)為，，不妨）的證明（如圖可知）來看“從左到右的三個交點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列”，即證，，注意到同構(gòu)，有，得或（舍）同理，,得，即證，即證，顯然成立.【【例2】（2021年新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；;（2）設(shè)為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（常規(guī)極值點偏移解法）函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因為，故，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因為時，，時，，故.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.【點睛】關(guān)于這道題我們可以說的很多，（2）的方法有很多，不等式左邊就是一個常規(guī)的極值點偏移，而不等式右邊可以考慮在處作切線，亦可以考慮作割線，還可以用類極值點偏移的方法（即上述常規(guī)解法）構(gòu)造函數(shù)等等。我還可以利用同構(gòu)的解法，由，變形得（i），從而利用給出的來同構(gòu)，其實，這道題里并不只有這一種同構(gòu)，（ii），構(gòu)造;（iii），構(gòu)造.這樣，我們在不給出函數(shù)解析式時也能構(gòu)造出適當(dāng)?shù)男问?【【例3】（2020年新高考Ⅰ(Ⅱ)卷）(山東卷)(海南卷)已知函數(shù)，若，求的取值范圍.看到題目中的形式，不難看出要同構(gòu)，下面給出三種解法，我們可以對比出同構(gòu)的優(yōu)勢（當(dāng)然也比較推薦解法2）.解法1（同構(gòu)），即，構(gòu)造，即由單調(diào)遞增，故只需在時恒成立，解得解法2（必要性探路）方式1（在處必要性探路）由，解得.(這個超越不等式需要求導(dǎo)來嚴(yán)格說明，這里從略）下證時，原不等式恒成立.當(dāng)時，，恒成立.綜上，.方式2（在處必要性探路）由，解得.(略）下證時，原不等式恒成立.當(dāng)時，，恒成立.綜上，.解法3（常規(guī)的隱零點），易知在上單調(diào)遞增，設(shè)為極小值點，則有，……①于是，.對左側(cè)函數(shù)分析易得，將的范圍代入①式易得.，時；)，時.由零點存在性定理可知使得.【【例4】設(shè)，對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．【詳解】，令，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，，易得，，設(shè)，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易得，.故選:D.【【例5】已知函數(shù)，當(dāng)時恒成立，則正實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時恒成立，等價于恒成立，等價于，等價于，等價于，等價于，所以，所以，所以，即，令，則，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.【【例6】已知函數(shù)，，對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由題意得：，恒成立，即，恒成立，令，則恒成立，令，，則恒成立，所以在為減函數(shù)，即，即，所以為增函數(shù)，即，恒成立，所以.故選：D【【例7】若對任意的，恒有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【詳解】對任意恒成立，∴對任意恒成立，即．函數(shù)恒遞增，∴對任意恒成立，∴對任意恒成立，設(shè)，則．當(dāng)時，遞增．當(dāng)時，遞減．∴當(dāng)時，有最大值．∴．故選：D【【例8】設(shè)實數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】即為，由于，可得，化為①，設(shè)，可得，可得在遞增，①即為，由，，可得，所以在恒成立，即有，即在恒成立，設(shè)，則，所以在遞增，可得，所以，即，又，所以的取值范圍是.故選：A.【【例9】已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．e【詳解】因為不等式，所以，得，設(shè)，則上式不等式等價于對任意的實數(shù)恒成立，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以原問題可轉(zhuǎn)化為，即，設(shè)，，，可知，，可知，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的最大值為e.故選：D【【例10】已知函數(shù)（為常數(shù)）的極大值為.（1）求實數(shù)的值；（2）若總使得成立，求的最大值.【詳解】（1）.（2）由于，故，令則，且，故在上單調(diào)遞增.故可知，.這樣的話.令，由（1）知，則，..因此，時，遞增，時，遞減，故.證畢.【【例11】已知函數(shù)，.（1）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試討論的零點個數(shù)；（2）設(shè).當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.【詳解】（1），，所以，函數(shù)的零點個數(shù)等價于方程的根的個數(shù).設(shè)，則考慮直線與曲線的公共點個數(shù).，令，解得.當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為.又，當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.①當(dāng)或，即或時，直線與曲線有個公共點；②當(dāng)，即時，直線與曲線有個公共點；③當(dāng)，即時，直線與曲線無公共點；綜上所述，當(dāng)或時，函數(shù)有且只有個零點；當(dāng)時，函數(shù)有個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點；（2）當(dāng)時，若成立，即對恒成立，亦即對恒成立.設(shè)函數(shù)，對恒成立.又，設(shè)，.當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，在上恒成立.令，則.①當(dāng)時，在上恒成立，，此時滿足已知條件；②當(dāng)時，由，解得，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的最小值，解得.綜上，的取值范圍是.【【例12】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍.【詳解】.（1）函數(shù)的定義域為，且.當(dāng)時，因為，則，此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，由可得，由可得.此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單