第1講行星的運動萬有引力與相對論中國科技網2024年9月26日消息顯示,天文學家發(fā)現地球即將迎來一個新的“迷你月亮”。這顆新發(fā)現的小行星被命名為2024PT5,直徑約為11米,它將于9月29日至11月25日期間,在距地球約420萬千米遠的地方繞地球運行,之后它將離開地球附近,繼續(xù)繞太陽運行。請思考:(1)不同的小衛(wèi)星繞地球運動的軌道以及速度周期等有何特點?(2)萬有引力定律的內容、公式及適用條件是什么?(3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關系?用什么方法可以計算出地球質量?1.關于行星繞太陽的運動,下列說法正確的是()[A]所有行星都在同一橢圓軌道上繞太陽運動[B]離太陽越近的行星的運動周期越短[C]行星繞太陽運動時,太陽位于行星軌道的中心處[D]地球繞太陽的軌道半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值與月球繞地球的軌道半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值相等2.利用引力常量G和下列某一組數據,不能計算出地球質量的是()[A]地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉)[B]月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離[C]地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離[D]人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期考點一開普勒行星運動定律(1)已知同一行星在軌道的兩個位置的速度:近日點速度大小為v1,遠日點速度大小為v2,近日點與太陽距離為r1,遠日點與太陽距離為r2。試推導v1、v2與r1、r2間有什么關系。(2)把行星繞太陽的運動看作勻速圓周運動,試推導開普勒第三定律a3T2=k對開普勒定律的三點理解(1)開普勒定律除了適用于行星繞太陽的運動,同樣適用于月球(人造衛(wèi)星)繞地球的運動等天體系統。(2)v1v2=r2r1(3)開普勒第三定律a3T2=k中,k值只與中心天體的質量有關,不同的中心天體k[例1]【對開普勒定律的理解】(2024·廣東一模)如圖所示為太陽系主要天體的分布示意圖,下列關于太陽系行星運動規(guī)律的描述正確的是()[A]所有行星均以太陽為中心做勻速圓周運動[B]地球與太陽的連線、火星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等[C]所有行星運行軌道半長軸的二次方與其公轉周期的三次方之比都相等[D]地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓,且這兩個橢圓必定有公共的焦點聽課筆記

[例2]【開普勒定律的應用】(2024·廣東珠海階段練習)(多選)如圖所示,“天問一號”探測器在M點制動后,成功進入近火點為N的橢圓軌道,探測器在橢圓軌道上環(huán)繞數圈后,在N點再次制動后順利進入近火圓軌道。已知探測器在近火圓軌道上的周期為T,橢圓軌道的長軸為火星半徑的3倍,忽略火星的自轉,則()[A]探測器在橢圓軌道上M、N兩點的加速度大小之比為1∶2[B]探測器在橢圓軌道上M、N兩點的速度大小之比為1∶2[C]探測器在橢圓軌道上的周期為36[D]探測器在橢圓軌道上的周期為32聽課筆記

開普勒定律的適用范圍(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運轉的所有行星,也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。但需要注意的是,不同行星的運行不能套用開普勒第二定律。(2)開普勒第三定律不僅適用于太陽系,它對具有中心天體的引力系統(如行星-衛(wèi)星系統)和雙星系統[L3T2=G(m考點二萬有引力定律1.萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉的向心力F向,如圖所示。(1)在赤道上:GMmR2=mg1+mω2(2)在兩極上:GMmR2=mg2.地球表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉),由mg=GMmR2,得g=(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度g′,由mg′=GMm(R+h)2,得g′=GM3.萬有引力的兩個推論推論1:在勻質球殼空腔內的任意位置處,質點受到球殼的萬有引力的合力為零,即∑F引=0。推論2:在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力,即F=GM'[例3]【重力與萬有引力的關系】(多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運行規(guī)律與地球上物體運動規(guī)律具有的內在一致性統一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重力,隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M,引力常量為G,將地球視為半徑為R、質量分布均勻的球體。下列說法正確的是()[A]在北極地面稱量時,彈簧測力計讀數為F0=GMm[B]在赤道地面稱量時,彈簧測力計讀數為F1=GMm[C]在北極上空高出地面h處稱量時,彈簧測力計讀數為F2=GMm[D]在赤道上空高出地面h處稱量時,彈簧測力計讀數為F3=GMm聽課筆記

[例4]【“挖補法”求解萬有引力】(2025·廣東清遠階段檢測)如圖所示為一半徑為R、質量為M均勻分布的球體,從中挖去直徑為R的球體,虛線過兩球的球心,一質點分別位于圖中的1、2、3點時,受到的萬有引力分別為F1、F2、F3,則有()[A]F1<F2=F3 [B]F1<F2<F3[C]F1=F2=F3 [D]F1=F2<F3聽課筆記

[例5]【星體上空及星體內部重力加速度的求解】如圖是某農家院內打出的一口深度為d的水井,如果質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零,地球可以看作是質量分布均勻的球體,地球半徑為R,則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為()[A]R-dR [C]R2-d2聽課筆記

考點三天體的質量和密度的估算1.利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由GMmR2=mg,得天體質量M=(2)天體密度ρ=MV=M432.利用運行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由GMmr2=m4π2T2r(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ=MV=M43(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行,可認為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=3πGT2,[例6]【“重力加速度法”計算天體質量和密度】航天員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放,二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落,經時間t落到月球表面。已知引力常量為G,月球的半徑為R(不考慮月球自轉的影響)。求:(1)月球表面的自由落體加速度大小g月;(2)月球的質量M;(3)月球的密度ρ。[例7]【“環(huán)繞法”計算天體質量和密度】“嫦娥七號”探測器將于2026年前后發(fā)射,準備在月球南極登陸,登陸月球前假設探測器繞月球做周期為T1的勻速圓周運動,軌道半徑可認為等于月球半徑。月球繞地球做周期為T2的勻速圓周運動,其軌道半徑為月球半徑的k倍。引力常量為G,則()[A]根據題中所給信息可求出地球的質量[B]根據題中所給信息可求出月球的質量[C]周期T1和T2滿足T12[D]地球質量與月球質量之比m地m聽課筆記

[變式]根據[例7]中的信息能否求出地球和月球密度?計算中心天體的質量、密度時的兩點區(qū)別(1)天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑的區(qū)別。通常把天體看成一個球體