五年（2021-2025）高考真題分類(lèi)匯編PAGEPAGE1專(zhuān)題05三角函數(shù)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1二倍角公式（5年3考）2024年二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式2023年由正切的倍角公式求解2022年二倍角的余弦公式三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等基礎(chǔ)性質(zhì)是高頻考點(diǎn)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)。兩角和差公式、二倍角公式的應(yīng)用是核心內(nèi)容，題目常以化簡(jiǎn)求值、求參數(shù)范圍等形式出現(xiàn)。上海高考三角函數(shù)命題在保持基礎(chǔ)穩(wěn)定的同時(shí)，不斷強(qiáng)化綜合應(yīng)用和核心素養(yǎng)考查，考生需在扎實(shí)掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重能力提升和思維拓展，以應(yīng)對(duì)靈活多變的題目形式?？键c(diǎn)2三角函數(shù)模型（5年2考）2025年三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用2023年幾何中的三角函數(shù)模型考點(diǎn)3輔助角公式（5年2考）2025年輔助角公式2023年輔助角公式考點(diǎn)4三角函數(shù)的基本性質(zhì)（5年4考）2025年求cosx(型)函數(shù)的值域2023年求sinx的函數(shù)的單調(diào)性、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值2022年三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系2021年單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)、三角函數(shù)線的應(yīng)用考點(diǎn)01二倍角公式1．（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式〖祥解〗根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳析】對(duì)A，，周期，故A正確；對(duì)B，，周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，周期，故D錯(cuò)誤，故選：A．2．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，則=.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正切公式〖祥解〗由正切的倍角公式求解【詳析】已知，則.故答案為：3．（2022·上海·高考真題）函數(shù)的周期為；【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的余弦公式〖祥解〗利用降冪公式化簡(jiǎn)，即可求出答案.【詳析】,所以的周期為：故答案為：.考點(diǎn)02三角函數(shù)模型4．（2025·上海·高考真題）小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長(zhǎng)為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、B，它們?cè)陉?yáng)光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽(yáng)光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長(zhǎng)度為0.45米．則斜面的底角．（結(jié)果用角度制表示，精確到）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用〖祥解〗先根據(jù)在處的旗桿算出陽(yáng)光和水平面的夾角，然后結(jié)合處的旗桿算出斜面角.【詳析】如圖，在處，，在處滿足，（其中水平面，是射過(guò)處桿子最高點(diǎn)的光線，光線交斜面于），故設(shè)，則，由勾股定理，，解得，于是故答案為：5．（2023·上?！じ呖颊骖}）公園修建斜坡，假設(shè)斜坡起點(diǎn)在水平面上，斜坡與水平面的夾角為θ，斜坡終點(diǎn)距離水平面的垂直高度為4米，游客每走一米消耗的體能為，要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、幾何中的三角函數(shù)模型、輔助角公式〖祥解〗方法1，根據(jù)給定條件，求出斜坡長(zhǎng)，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解作答.方法2，根據(jù)給定條件，求出斜坡長(zhǎng)，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，借助輔助角公式求解作答.【詳析】方法1：依題意，斜坡長(zhǎng)度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，人上坡消耗的總體力最小.方法2：依題意，斜坡長(zhǎng)度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，由，得，即，其中銳角由確定，顯然，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，人上坡消耗的總體力最小.故答案為：考點(diǎn)03輔助角公式6．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、輔助角公式、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示〖祥解〗利用分段函數(shù)值分類(lèi)討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.【詳析】若，則，又三個(gè)向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量?jī)蓛纱怪保@然不成立；故.不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，，則，則，則，由，，則，故.故答案為：.考點(diǎn)04三角函數(shù)的基本性質(zhì)7．（2025·上?！じ呖颊骖}）函數(shù)在上的值域?yàn)椋敬鸢浮俊局R(shí)點(diǎn)】求cosx(型)函數(shù)的值域〖祥解〗利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在上的值域?yàn)?故答案為：.8．（2023·上海·高考真題）已知，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，在區(qū)間上的最小值為變化時(shí)，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求sinx的函數(shù)的單調(diào)性、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值〖祥解〗根據(jù)給定條件，舉例說(shuō)明，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)排除不可能的選項(xiàng)作答.【詳析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，因此只需考查離原點(diǎn)最近的右側(cè)一個(gè)周期內(nèi)的區(qū)間即可，當(dāng)時(shí)，，，而，，因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；當(dāng)時(shí)，，，因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；當(dāng)時(shí)，，，因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；對(duì)于C，若，則，若，則區(qū)間的長(zhǎng)度，并且且，即且與矛盾，所以C不可能.故選：C【『點(diǎn)石成金』】結(jié)論『點(diǎn)石成金』：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既有最大值，又有最小值.9．（2022·上?！じ呖颊骖}）若，且滿足，則.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、用定義求向量的數(shù)量積〖祥解〗設(shè)，利用數(shù)量積定義求出，即可求出.【詳析】因?yàn)?，所以，設(shè).由可得：，兩式相除得：.又，且解得：.因?yàn)椋?，解得?故答案為：.10．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知，對(duì)任意，總存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值是【答案】【知識(shí)點(diǎn)】單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)、三角函數(shù)線的應(yīng)用〖祥解〗利用單位圓中的終邊位置研究，可知，存在正整數(shù),使得，，由此求得的最小值.【詳析】在單位圓中分析，由題意，的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中），必存在某個(gè)正整數(shù)，使得終邊在OB的下面，而再加上，即跨越空白區(qū)域到達(dá)下一個(gè)周期內(nèi)的陰影區(qū)域內(nèi)，∴，∵對(duì)任意要成立，所以必存在某個(gè)正整數(shù)，使得以后的各個(gè)角的終邊與前面的重復(fù)（否則終邊有無(wú)窮多，必有兩個(gè)角的終邊相差任意給定的角度比如1°，進(jìn)而對(duì)于更大的,次差的累積可以達(dá)到任意的整度數(shù)，便不可能在空白區(qū)域中不存在了），故存在正整數(shù),使得，即，，同時(shí)，∴的最小值為,故答案為：.【『點(diǎn)石成金』】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，主要思想是在單位圓中利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行研究分析.得出存在正整數(shù),使得，是關(guān)鍵.一、單選題1．（2025·上海普陀·二模）設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B〖祥解〗根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得，再根據(jù)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求解.【詳析】因?yàn)?，所以，所以，所以，異?hào)，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故選：.2．（2025·上海楊浦·三模）“”是“”的（）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D〖祥解〗根據(jù)充分條件和必要條件的概念，以及正切函數(shù)的性質(zhì)，判斷充分性和必要性，求得結(jié)果.【詳析】當(dāng)時(shí)，，不能得出，不具備充分性，當(dāng)時(shí)，正切值不存在，所以不能得出，也不具備必要性.故選：D.3．（2025·上海黃浦·三模）設(shè)、是平面內(nèi)相交成的兩條射線，、分別是與、同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.已知在如圖所示的仿射坐標(biāo)系中，、分別在軸、軸正半軸上，且，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗設(shè)，根據(jù)可得出，設(shè)，，則，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算得出，，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的最大值.【詳析】由題意，則，設(shè)則，則，整理得：，不妨設(shè)，，則.因點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則，，同理可得，故，將，代入上式，可得：，其中是銳角，且，故的最大值為.故選：A.二、填空題4．（2025·上海徐匯·二模）已知，則的值為.【答案】〖祥解〗先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)兩角差正切公式計(jì)算求解.【詳析】，所以，則.故答案為：7.5．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是.【答案】〖祥解〗利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)求值域即可.【詳析】，其中，則其值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?6．（2025·上海寶山·三模）已知，則.【答案】/0.75〖祥解〗根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得答案.【詳析】因?yàn)?，所?故答案為：.7．（2025·上海崇明·三模）設(shè)，則.【答案】〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)值求，以及，再求余弦值.【詳析】，則，，所以.故答案為：8．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則.【答案】〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮以及平移變換規(guī)律，即可求得答案.【詳析】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得，再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，即故答案為：9．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)），恒成立，則．【答案】〖祥解〗首先利用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求，最后代入求的值.【詳析】，令，得，，由恒成立，可知，，，則.故答案為：10．（2025·上海長(zhǎng)寧·二模）頂角為的等腰三角形被稱(chēng)為黃金三角形，其底邊和腰之比正好為黃金比，用黃金比表示．【答案】〖祥解〗根據(jù)已知可得，由二倍角的余弦函數(shù)即可求解.【詳析】如圖等腰三角形中，，過(guò)作交于，所以為角平分線，所以，即，由已知可得，所以，所以.故答案為：.11．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）已知在底面半徑為1且高為10的圓柱體的表面上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)、、，則的最小值為.【答案】〖祥解〗利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平面向量，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳析】如圖，過(guò)點(diǎn)、、分別作與圓柱底面平行的平面截圓柱得圓，設(shè)點(diǎn)在圓上的射影點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上的射影點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上的射影點(diǎn)為，則由可得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，如圖，在圓所在平面建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以則，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立；故，所以的最小值為.故答案為：.12．（2025·上海徐匯·二模）設(shè)實(shí)數(shù)，若滿足對(duì)任意，都存在，使得成立，則的最小值是.【答案】/〖祥解〗先證明，再說(shuō)明滿足條件，即可得到的最小值是.【詳析】假設(shè)，則由可知，取，則對(duì)任意，由于，故，從而，不滿足條件，矛盾；假設(shè)，取，則對(duì)任意，由于，故，從而，不滿足條件，矛盾；以上結(jié)果表明必有，而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，由可知，故.而，，所以一定存在，使得，即，滿足條件.綜上，的最小值是.故答案為：.13．（2025·上海浦東新·三模）已知函數(shù)，的最小值是，則實(shí)數(shù).【答案】〖祥解〗由題意先求出時(shí)的取值范圍，從而得到的值域，再根據(jù)最小值為-1求出實(shí)數(shù)a的值.【詳析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，故在的值域?yàn)?又因?yàn)樽钚≈凳?1，所以，故答案為.14．（2025·上?！と＃┰O(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最大值為.【答案】3〖祥解〗本題可先根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出的表達(dá)式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值.【詳析】已知，則.可得：因?yàn)榈娜≈捣秶?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí).那么的最大值為，即的最大值為.故答案為：.15．（2025·上海·三模）如圖是函數(shù)的圖象，則的值為.【答案】2〖祥解〗由函數(shù)的圖象可求得最小正周期為，進(jìn)而可求得.【詳析】因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，解得.故答案為：.16．（2025·上海浦東新·三模）著名數(shù)學(xué)家傅立葉認(rèn)為所有的樂(lè)聲都能用一些形如的正弦型函數(shù)之和來(lái)描述，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．研究表明，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱(chēng)為基本音的諧波．若對(duì)應(yīng)于的泛音是對(duì)應(yīng)于的基本音的一個(gè)諧波，則正整數(shù)的所有可能取值之和為【答案】12〖祥解〗由所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，可得到，，代入分析整數(shù)解，可得到有限個(gè)正整數(shù)的解，一一驗(yàn)證，即可得到符合條件的.【詳析】因?yàn)樗蟹阂舻念l率都是基本音頻率的整數(shù)倍，所以，,，兩式相加得：，，又，且，，的可能值為：1，2，4，5，10，20，一一代入式中能同時(shí)使，為整數(shù)的值即為正解；經(jīng)檢驗(yàn)：的值為和；所以正整數(shù)的所有可能取值之和為.故答案為：.17．（2025·上海黃浦·三模）已知函數(shù)的部分圖像如下，將沿翻折至，使得二面角為.若，則【答案】/〖祥解〗利用可求得；作出二面角的平面角，結(jié)合余弦定理和勾股定理可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得的最小正周期，進(jìn)而得到.【詳析】，又，；記點(diǎn)為，翻折后，連接，，，即為二面角的平面角，，，，軸，，，又，平面，平面，又平面，，，，由圖可知，的最小正周期，又因?yàn)?.故答案為：.三、解答題18．（2025·上海松江·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值4，記.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)〖祥