五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題06數(shù)列考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢考點(diǎn)1數(shù)列基本量的計算（5年2考）2025天津卷：絕對值數(shù)列求和2023天津卷：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)；1.數(shù)列在高考的考查主要包含了，數(shù)列的基本量運(yùn)算，主要包含了等差、等比的通項(xiàng)與求和運(yùn)算。2.數(shù)列的通項(xiàng)公式在高考中的考察主要包含了，等差等比數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，累加累成等。3.數(shù)列的求和在高考中的考察主要包含了，裂項(xiàng)相消法，錯位相減法，分組求和法等.考點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)（5年4考）2025天津卷：求通項(xiàng)公式2023天津卷：等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公；2022天津卷：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算錯位相減法求和分組(并項(xiàng))法求和；2021天津卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題；考點(diǎn)3數(shù)列求和（5年5考）2025天津卷：錯位相減求和2024天津卷：由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求；2023天津卷：等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公；2022天津卷：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算錯位相減法求和分組(并項(xiàng))法求和；2021天津卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題；考點(diǎn)01數(shù)列基本量的計算1.（2025·天津·高考真題），則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【解析】因?yàn)椋援?dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以，令，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：C2.（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2,aA．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【解析】當(dāng)n≥2,n∈N*時，a當(dāng)n=1時，a所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為3則a4=a考點(diǎn)02數(shù)列通項(xiàng)3．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前n項(xiàng)和為Sn．若(1)求數(shù)列an前n項(xiàng)和S(2)設(shè)bn=k（?。┊?dāng)k≥2,n=（ⅱ）求i=1【解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)閍1=1,S可得1+q=q2-1，整理得所以Sn（2）（i）由（1）可知an=2當(dāng)n=ak+1可知akbn可得bn當(dāng)且僅當(dāng)k=2所以bn（ii）由（1）可知：Sn若n=1，則S若n≥2，則a當(dāng)2k-1<i可得i=所以i=1且n=1，符合上式，綜上所述：i4.（2023·天津·高考真題）已知an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項(xiàng)公式和i(2)設(shè)bn是等比數(shù)列，且對任意的k∈N*，當(dāng)（Ⅰ）當(dāng)k≥2時，求證：2（Ⅱ）求bn的通項(xiàng)公式及前n【解】（1）由題意可得a2+a則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a求和得i=2=2（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)2k-1取n=2k-1當(dāng)2k-2取n=2k據(jù)此可得2k綜上可得：2k(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-則數(shù)列bn的公比q滿足2當(dāng)k∈N*,k所以2k-1<當(dāng)k∈N*,k所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn其前n項(xiàng)和為：Sn考點(diǎn)03數(shù)列求和5.（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實(shí)數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和【解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，則由題得，所以；（2）（i）證明：由（1）或，，當(dāng)時，設(shè)，所以，所以，所以，為中的最大元素，此時恒成立，所以對，均有.（ii）法一：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：當(dāng)均為1時：此時該系列元素只有即個；當(dāng)中只有一個為0，其余均為1時：此時該系列的元素有共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中只有2個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中有個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；…當(dāng)中有個為0，1個為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)均為0時：此時該系列的元素為即個，綜上所述，中的所有元素之和為；法二：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得，所以的所有的元素的和中各項(xiàng)出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以中的所有元素之和為.．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且(1)求an與b(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：(3)求k=1【解】（1）設(shè){an}公差為d，{bn由a2-b2=所以an（2）證明：因?yàn)閎n+1=2即證(Sn+1即證an而an+1=（3）因?yàn)閇=(4k所以k=12=k設(shè)T所以Tn則4T作差得-=(2-6所以Tn所以k=12n7．（2021·天津·高考真題）已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．{bn（I）求{an}（II）記cn（i）證明{c（ii）證明k【解】（I）因?yàn)閧an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8所以a1+a所以an設(shè)等比數(shù)列{bn}所以b3-b所以bn（II）（i）由題意，cn所以cn所以cn2-所以數(shù)列{c（ii）由題意知，an所以an所以k=1設(shè)Tn則12兩式相減得12所以Tn所以k=1一、單選題1．（2025·天津紅橋·一模）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（

）A．24 B．28 C．36 D．48【答案】B【解析】設(shè)公比為，則，所以，所以.故選：B2．（2025·天津河北·二模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【解析】由題設(shè)，則，所以，則又，則，所以是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，則，所以，則.故選：C3．（2025·天津北辰·三模）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．15 B．35 C．45 D．55【答案】C【解析】等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，，，，，且，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選：C.4．（2025·天津·一模）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則的值是（

）A． B． C．9 D．16【答案】A【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故選：A5．（2025·天津·二模）已知是一個無窮數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】遞增數(shù)列是指一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，即.若是擺動數(shù)列，可能有，但是不是遞增數(shù)列，則僅不能推出為遞增數(shù)列，但為遞增數(shù)列可以推出.所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.6．（2025·天津和平·三模）定義新運(yùn)算：，已知數(shù)列滿足，，則（

）A．239 B．225 C．211 D．261【答案】C【解析】由可得，故累加可得，故，故選：C7．（2025·天津南開·二模）若數(shù)列滿足，且則的前2025項(xiàng)的和為（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．2026【答案】B【解析】由題意可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，所以?shù)列從第二項(xiàng)起是以1，1，0為周期的數(shù)列，則.故選：B8．（2025·天津·一模）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，在與之間插入數(shù)列的前m項(xiàng)，構(gòu)成新數(shù)列，即，…．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．30 B．4944 C．9876 D．14748【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，，當(dāng)時，.故選：B.9．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則（

）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【解析】當(dāng)時，，可得，因①，可知時，②，用①-②得：，等式兩邊同乘，得到，即，即當(dāng)時，數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，所以，又，所以，又因?yàn)椋瑒t整理得，即，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以故選：A10．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，所以，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為.故選：D.二、填空題11．（2025·天津和平·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則.【答案】【解析】由題知，即，因?yàn)?，解得，時，，即，因?yàn)椋獾?，時，，即，即，因?yàn)?，解得，同理可得?12．（2025·天津·二模）數(shù)列的項(xiàng)是由1或2構(gòu)成，且首項(xiàng)為1，在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列為：.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則：.【答案】【解析】由條件可知，前20項(xiàng)有4個1，2的個數(shù)為個，所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為；前個1之間有個2，所以個1和個2的個數(shù)為，令，滿足條件的最大為，當(dāng)時，個數(shù)，第45個1后面有個2，所以三、解答題13．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為的前n項(xiàng)和，求.【解】（1），，，，又，，，，由兩邊同除以，得，從而數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，.14．（2025·天津和平·三模）已知，等差數(shù)列的前項(xiàng)和，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若．（ⅰ）不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【解】（1）對任意的，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.也滿足，故對任意的，，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，合乎題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，所以，，因此，.（2）（i），，故原不等式可化為，當(dāng)為奇數(shù)時，，即恒成立，顯然為遞減數(shù)列，且，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，顯然外遞減數(shù)列，所以，所以，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）因?yàn)椋O(shè)，所以，上述兩個等式作差可得①，設(shè)，所以，兩式作差得，即，代入①式可得，故，故結(jié)論得證.15．（2025·天津?yàn)I海新·三模）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，．(1)求、通項(xiàng)公式；(2)若對數(shù)列、，在與之間插入個，組成一個新數(shù)列，求數(shù)列前100項(xiàng)和；(3)若（其中），證明：．【解】（1）因?yàn)椋?，所以，解得，所以；因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，；?）設(shè)，在數(shù)列中，從項(xiàng)開始到項(xiàng)（不含）之前，共有項(xiàng)數(shù)為，所以，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以數(shù)列前100項(xiàng)是項(xiàng)之后還有32項(xiàng)為2，所以；（3）當(dāng)時，，，，，，，，當(dāng)時，，，，因?yàn)?，，所以，?16．（2025·天津南開·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，其中為二項(xiàng)式系數(shù)．（ⅰ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ⅱ）求．【解】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由題意得解得，所以．（2）（?。┯桑?）知，因?yàn)?，所以，所以．所以，所以．（ⅱ）因?yàn)椋裕?7．（2025·天津河?xùn)|·二模）設(shè)是公差d為的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，，，.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式及；(2)落在區(qū)間之內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)為，.（?。┣螅皵?shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）求.【解】（1）設(shè)，，，，由已知，，所以，所以，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以；?）（?。┯梢阎诖藚^(qū)間內(nèi)，∴，因?yàn)?，所以即為，?，所以即為，所以，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（ⅱ）記，①，②，①-②為，，.18．（2025·天津河北·二模）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，證明：．【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，所以．?）為奇數(shù)時，，，為偶數(shù)時，，，所以所以．（3），，當(dāng)時，；當(dāng)時，即又，所以，當(dāng)時，，所以．19．（2025·天津紅橋·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)證明：對任意的(3)證明:【解】（1），又所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，即.（3）由（2）知，對任意，有，取，則.20．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和