PAGE1專題11分段函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)根的分布問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、分段函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)問題 1類型二、二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 8類型三、二次函數(shù)的最值（范圍）及參數(shù)問題 10類型四、一元二次方程根的零分布 15類型五、一元二次方程根的k分布 19類型六、一元二次方程根在區(qū)間上的分布 22壓軸專練 29類型一、分段函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)問題分段函數(shù)中的單調(diào)性（1）若已知分段函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增確定參數(shù)的取值范圍需要滿足三個(gè)條件①在上單調(diào)遞增②在上單調(diào)遞增③在連接點(diǎn)必有（即左端的值小于等于右端的值）（2）若已知分段函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞減確定參數(shù)的取值范圍需要滿足三個(gè)條件①在上單調(diào)遞減②在上單調(diào)遞減③在連接點(diǎn)必有（即左端的值大于等于右端的值）（3）由分段函數(shù)中的值域確定參量取值范圍解題方法：已知函數(shù)的值域（常見題型如下）確定參數(shù)的取值范圍需要以下幾步的值域?yàn)槭紫劝逊侄魏瘮?shù)中的一段具體函數(shù)的值域求出來其次根據(jù)已知條件函數(shù)的值域?yàn)?，由確定出的范圍最后通過的范圍確定出參量的取值范圍一、單選題1．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出函數(shù)的分段函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)減區(qū)間.【詳解】由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為.故選：D2．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】研究分段函數(shù)的單調(diào)性，先分別研究各段函數(shù)的單調(diào)性為遞增，在比較端點(diǎn)左邊的函數(shù)值小于端點(diǎn)右邊函數(shù)值，得到整個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)值的不等關(guān)系得到自變量的不等關(guān)系，從而得出的取值范圍.【詳解】化簡得到，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴在區(qū)間單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋嗪瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴，∴.故選：B.3．在R上是增函數(shù)的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，可得a的范圍，再由充分必要條件的含義，得解.【詳解】在R上是增函數(shù)，則有，解得，所以在R上是增函數(shù)的充要條件是，則充分不必要條件要求是的真子集，只有D選項(xiàng)滿足，即.故選：D4．（23-24高一上·北京·期中）已知,在滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得為上的減函數(shù)，故可得關(guān)于參數(shù)的不等式組，據(jù)此可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故為上的減函數(shù)，故，故，故選：B.5．（23-24高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上是單調(diào)的函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，按函數(shù)為增函數(shù)和減函數(shù)兩種情況討論，分別求出的取值范圍，綜合可得答案．【詳解】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)的，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，則，解得，當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞減，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.6．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值驗(yàn)證法，排除選項(xiàng)，即可推出結(jié)果．【詳解】函數(shù),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像的對稱軸為，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，排除B、C；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像的對稱軸為，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，排除D.故選：A．二、填空題7．（23-24高一上·湖南株洲·期中）設(shè)，若在R上單調(diào)，則m的取值范圍為．【答案】【分析】作出函數(shù)，的圖象，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)，的圖象如圖，當(dāng)時(shí)，或1，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.故答案為：.8．（23-24高一上·上?！て谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性列不等式求范圍即可.【詳解】由題設(shè)，顯然在上遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則，即.故答案為：9．（24-25高一下·上海楊浦·開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小值為，則的取值范圍為【答案】【分析】對于一次函數(shù)，要有最小值，則一定不能單調(diào)遞增，所以，對于二次函數(shù)要在取得最小值，則對稱軸在右側(cè)，從而，從而得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，不能單調(diào)遞減，所以，解得，時(shí)，對稱軸為，要使得在時(shí)取得最小值，所以，所以，的取值范圍為.故答案為：.10．設(shè)函數(shù)，若，則的單調(diào)遞增區(qū)間是，若的值域?yàn)?，則的取值范圍是.【答案】【分析】將代入解析式，分析各段單調(diào)性，即可得出單調(diào)區(qū)間；先求出上的值域，由的值域?yàn)?，只需在上的值域包含，分析二次函?shù)的開口方向，對稱軸及值域即可求出的取值范圍.【詳解】由題知當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞增區(qū)間是；由于在上的值域?yàn)椋舻闹涤驗(yàn)?，只需在上的值域包含即可，故需，即，此時(shí)在上的值域?yàn)?，故需，即，綜上：.故答案為：；類型二、二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)二次函數(shù)的單調(diào)性與最值一元二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)有最小值；離對稱軸越近函數(shù)值越小，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大；時(shí)，函數(shù)有最大值，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，離對稱軸越近函數(shù)值越大；一、單選題1．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的概念，以及二次函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】充分性：當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．必要性：若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則需，即，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充分不必要條件．故選：A.2．（24-25高一上·湖北·期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，則，，利用單調(diào)遞增則單調(diào)性相同的性質(zhì)，得出在上單調(diào)遞增，且，分情況討論得出的取值范圍.【詳解】令，則，.已知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且.若，則，此時(shí)在單調(diào)遞增，且，符合題意.若，則須滿足：即.綜上，.故選：C.二、填空題3．（24-25高一下·湖南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.【答案】【分析】由對稱軸與區(qū)間的關(guān)系構(gòu)造不等式即可求解.【詳解】由題意，，得.所以的取值范圍是，故答案為：4．（24-25高一上·全國·周測）函數(shù).若在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，且開口向上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．若函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】討論兩種情況，其中，時(shí)先求出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，可判斷對稱軸在區(qū)間上，進(jìn)而得到答案.【詳解】時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，具有單調(diào)性，不符合題意；時(shí)，的圖象為拋物線，對稱軸為，根據(jù)題意，在上不具有單調(diào)性，所以，解得.故答案為：類型三、二次函數(shù)的最值（范圍）及參數(shù)問題一元二次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的最值當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，一、單選題1．（25-26高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱性求解.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，且，當(dāng)時(shí)，解得，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得的取值范圍是.故選：B.2．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，的最大值是15，則的值是（

）．A．或 B．或 C．6或 D．6【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分三種情況討論：當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，分別求出的值.【詳解】二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線．①當(dāng)，即時(shí)，對于，隨著的增大而減小，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，解得，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，在處取得最大值，即，得，解得或（舍去）；③當(dāng)，即時(shí)，對于，隨著的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，解得（舍去）．綜上所述，或6．故選：C．3．（25-26高一上·全國·單元測試）已知函數(shù)，在上的最大值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由區(qū)間，考慮函數(shù)的第二個(gè)分段和第三個(gè)分段，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間分，和三種情況討論．【詳解】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的最大值為，符合；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的最大值為，不符合；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為，則，即，解得．綜上所述，.故選：D二、填空題4．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的最大值為3，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】按照、和分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，根據(jù)最大值列式求解即可.【詳解】．（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，故當(dāng)時(shí)，有最大值，，則．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，故當(dāng)時(shí)，有最大值，，則．（3）當(dāng)時(shí)，，顯然不成立．綜上知．故答案為：5．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)，記函數(shù)在上的最大值為，若，則的最大值為．【答案】1【分析】利用二次函數(shù)的圖象，開口向上，可知最大值一定在端點(diǎn)處取到，再結(jié)合不等式的加法性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，所以，即．因?yàn)槭情_口向上的拋物線，所以．由得，兩式相加得，解得，當(dāng)時(shí)，有，滿足題意，即的最大值為1．故答案為：16．（24-25高一上·陜西安康·開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，則m、n的值分別是．【答案】或【分析】對二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，對稱軸為，開口向下，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，故時(shí)，函數(shù)取最小值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，解得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，故時(shí)，函數(shù)取最大值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，解得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，函數(shù)取最大值，故時(shí)，函數(shù)取最小值，解得或，均不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，函數(shù)取最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，解得或，均不符合題意，舍去，綜上可知：或故答案為：或三、解答題7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為－4，求.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由一元二次不等式求解可得；（2）結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性分類討論可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，解得或，所以不等式的解集為或.（2）開口向上，對稱軸，當(dāng)即時(shí)，最小值為，解得，又，所以舍去；當(dāng)即時(shí)，最小值為，解得，又，所以舍去；當(dāng)即時(shí)，最小值為，解得，綜上，.類型四、一元二次方程根的零分布一、二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)對于形如的二次函數(shù)，有以下性質(zhì)：1、判別式：；求根公式：；2、韋達(dá)定理：，；3、二次函數(shù)對稱軸，定點(diǎn)坐標(biāo)（，）．二、一元二次方程的根的基本分布——零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系.比如一元二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)一元二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè).1、方程有兩個(gè)不等正根2、方程有兩個(gè)不等負(fù)根3、方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為一、單選題1．（2025高一·全國·專題練習(xí)）若一元二次方程的兩根都是正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A．或 B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，從對稱軸、判別式、特殊點(diǎn)的函數(shù)值三個(gè)角度列不等式求解即可得.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，作出的圖象(如圖).則，即，解得或．

故選：A.2．（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對和分類討論求解，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，有一個(gè)負(fù)根，當(dāng)時(shí)，為一元二次方程，關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)根，設(shè)根為，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程為，解得，滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，且時(shí)，若有一個(gè)負(fù)根，則，解得，若有兩個(gè)負(fù)根，則，解得，綜上所述，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C．二、多選題3．（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)可以是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，可得，求出答案.【詳解】因?yàn)榉匠虒?yīng)的函數(shù)為，開口向上，對稱軸為，所以方程有正實(shí)數(shù)根，則，即，解得.故選：ACD.三、填空題4．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是．【答案】【分析】由韋達(dá)定理及充要條件的定義求解即可.【詳解】充分性：由題意可得，即得，充分性成立；必要性：若，則此時(shí)，滿足方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必要性成立．故關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是充要條件是．故答案為：四、解答題5．（23-24高一上·廣西玉林·開學(xué)考試）當(dāng)取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程分別有：(1)兩個(gè)正實(shí)數(shù)根；(2)一正根和一負(fù)根.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合方程兩個(gè)正根，結(jié)合判別式和韋達(dá)定理，列出不等式組，即可求解.（2）根據(jù)題意，方程一正一負(fù)根，結(jié)合判別式和兩根之積，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，設(shè)為，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）解：若方程有一正一負(fù)根，設(shè)為，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.類型五、一元二次方程根的k分布一元二次方程根的k分布分布情況兩根都小于即兩根都大于即一根小于，一大于即大致圖象（a>0）得出的結(jié)論大致圖象（a<0）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論a）一、填空題1．（24-25高一上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1另一個(gè)小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布結(jié)合函數(shù)圖象列不等式求解即可.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1另一個(gè)小于1，又，則，函數(shù)的對稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的示意圖如下：所以，解得，當(dāng)，，此時(shí)無解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：二、解答題2．（23-24高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）關(guān)于的方程，當(dāng)分別在什么范圍取值時(shí)，方程的兩個(gè)根：(1)都大于1；(2)一個(gè)大于1，一個(gè)小于1？【答案】(1)(2)【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)一元二次方程根的分布，求參數(shù)的范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根均大于1，所以，解得，所以的取值范圍為．（2）因?yàn)榈膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，所以，解得，所以的取值范圍為．3．（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不同的正根；(2)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；(3)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程有一個(gè)根大于2，另一個(gè)根小于2；(4)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程有一個(gè)根大于2，另一個(gè)根不大于0．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】根據(jù)根的個(gè)數(shù)及根的分布列不等式組計(jì)算求參.【詳解】（1）由題意知（2）由題意知．（3）由題意知．（4）由題意知．類型六、一元二次方程根在區(qū)間上的分布一元二次方程根在區(qū)間的分布根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根一、單選題1．（24-25高一上·遼寧盤錦·期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，解不等式組確定參數(shù)取值范圍.方法二：對解析式變形，在統(tǒng)一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解法一：當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間內(nèi)時(shí)，；當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，顯然在上恒成立，此時(shí)無內(nèi)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，又在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或或，即或或，解得或或．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C.解法二：由，得，又，所以，所以，令，，，要使在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需直線與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知或，解得或，所以的取值范圍是．故選：C.二、填空題2．（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用根的分布列出限制條件可得答案.【詳解】要滿足題意，則，解得．故答案為：3．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布求解，按方程的判別式分三大類討論；當(dāng)時(shí)，再按區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值是否為及符號(hào)分類討論可得.【詳解】對于函數(shù)，開口向上，對稱軸為，令，由題意得方程在區(qū)間內(nèi)有根.，當(dāng)，即時(shí)，沒有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，零點(diǎn)為，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，零點(diǎn)為，，不符合題意；當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的根，由題意方程至少有一個(gè)根在區(qū)間內(nèi).①若，解得，此時(shí)，故零點(diǎn)為0或3，不符合題意；②若，，此時(shí)，零點(diǎn)為2或，，符合題意；③若，解得，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在有零點(diǎn)，符合題意；④若，要使函數(shù)在有零點(diǎn)，則，聯(lián)立，又，即或，故解得；⑤若，由二次函數(shù)圖象可知，有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)在內(nèi)，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.4．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知命題：若二次函數(shù)滿足，則在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).能說明為假命題的一個(gè)函數(shù)是.【答案】（答案不唯一，，滿足時(shí)，或時(shí)，即可）【分析】令，根據(jù)條件，先假設(shè)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，利用二次函數(shù)根的分布，建立的不等關(guān)系，通過取值，即可求解.【詳解】令，由得到，當(dāng)時(shí)，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則有①，不妨取，顯然滿足①式，此時(shí)，令，得到，所以，滿足，但在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，故滿足題意，當(dāng)時(shí)，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則有②，不妨取，顯然滿足②式，此時(shí)，令，得到，所以，滿足，但在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，故滿足題意，故答案為：（答案不唯一，，滿足時(shí)，或時(shí)，即可）.三、解答題5．設(shè)k為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用判別式、對稱軸及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)列不等式組，求k的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，的開口向上且對稱軸為，，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，要使在上無零點(diǎn)，則或，無解；當(dāng)時(shí)，要使在上無零點(diǎn)，則或，無解；綜上，在上無零點(diǎn)k的取值范圍為.一、單選題1．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意化簡函數(shù)解析式，作出圖象，結(jié)合圖象即可得函數(shù)解析式.【詳解】因?yàn)閳D象如圖所示：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B．2．（23-24高一上·全國·單元測試）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而得到，即可求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，又，所以，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3．（24-25高一上·河南南陽·期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由題意有最小值，當(dāng)時(shí)，解得或，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得的最大值，的最小值，從而得解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，，解得或，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最大值為5，的最小值為，所以的最大值為．故選：D.4．（24-25高一上·陜西西安·期末）若函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】討論兩種情況，時(shí)先求出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，可判斷對稱軸在區(qū)間上，進(jìn)而得到答案.【詳解】時(shí)，在上遞減，不合題意；時(shí)，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.5．（24-25高一上·江西上饒·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由判別式及韋達(dá)定理即可判斷.【詳解】由題意可得不等式組解得：且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選:C6．（24-25高一下·廣西貴港·期中）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對稱軸與區(qū)間的關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】由題意二次函數(shù)對稱軸為：，要使得函數(shù)在上具有單調(diào)性，需滿足或，得或，則k的取值范圍為．故選：B7．（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）若函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對任意，都有成立可判斷是上的減函數(shù)，通過各段上的單調(diào)性分析及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的比較，列出不等式組求解即可.【詳解】由題意可知：對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，是上的減函數(shù)，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．（24-25高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)的取值范圍.【詳解】對于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎魏瘮?shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，當(dāng)，即時(shí)，則，解得；當(dāng)，即時(shí)，則，不等式無解.綜上所述：m的取值范圍是.故選：B二、填空題9．（23-24高一上·廣東江門·期中）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍為；【答案】【分析】求出對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】的對稱軸為，且開口朝上，因函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，故的取值范圍為.故答案為：.10．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)有兩個(gè)正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)有兩個(gè)正零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正根，利用二次方程根的分布可得的不等式組，解不等式組可得的范圍.【詳解】由題可知方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以，即，解得：，所以的取值范圍為.故答案為：11．（24-25高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合零點(diǎn)定義，參變分離后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得在上有解，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍是.故答案為：.12．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次方程實(shí)根分布列出不等式組并求解即得.【詳解】依題意，，解得，所以的取值范圍是.故答案為：13．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】,【分析】要使有最大值，只需且，然后求出的取值范圍即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，無最大值，當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)存在最大值，則且，即，所以，所以的取值范圍為,．故答案為：,．14．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是.【答案】【分析】求出函數(shù)在時(shí)的值域，根據(jù)給定條件確定當(dāng)時(shí)的取值集合，再分類討論求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由函數(shù)的值域?yàn)?，得函?shù)在時(shí)的取值集合包含當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值集合為，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由，得，解得，由，得，因此，所以的取值范圍是.故答案為：15．（24-25高一上·上?！て谥校┰趨^(qū)間上恰有一個(gè)x滿足方程，則的取值范圍為．【答案】【分析】分和兩種情況討論，先驗(yàn)證符合題意，再驗(yàn)證，時(shí)符合題意，最后根據(jù)題意計(jì)算，且時(shí)，滿足或，解出不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，解得，，符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則有，解得，此時(shí)方程為，即，解得，，符合題意；當(dāng)，且時(shí)，即且時(shí)，令若在區(qū)間上恰有一個(gè)x滿足方程，①，又，，所以有：，解得或，②當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，解得或，不合題意；綜上所述，的取值范圍為：.故答案為：16．（23-24高一上·江蘇·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，由是函數(shù)減區(qū)間的子區(qū)間可得a的范圍.【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)時(shí)，開口向下，對稱軸為，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由在單調(diào)遞減得，，解得；當(dāng)時(shí)，開口向上，對稱軸為，則在單調(diào)遞增，不存在單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，由，由，只需研究在區(qū)間的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，開口向下，對稱軸為，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減恒成立.綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.17．（24-25高一上·北京豐臺(tái)·期中）設(shè)函數(shù)，若，則的值域是；若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】第一空，利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得解；第二空，作出二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，分析的取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】第一空：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，其值域?yàn)椋C上，的值域是；第二空：作出函數(shù)與的圖象，如圖，因?yàn)榈闹涤蚴牵?dāng)時(shí)，，若，由圖象可知可取得無窮小，不滿足題意，由第一空可知也不滿足題意，則必有，所以，得，則，當(dāng)時(shí)，，，且當(dāng)時(shí)，解得或，即，，結(jié)合圖象可知，綜上，，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.故答案為：；.三、解答題18．已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的值域?yàn)椋蟮闹?；?）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值；（2）分析函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意可得，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的值域?yàn)椋?，解得；?）函數(shù)的圖象開口向上，其對稱軸方程為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞