專題01全等三角形（解析版）目錄A題型建模?專項(xiàng)突破題型一、全等三角形的性質(zhì) 1題型二、全等的依據(jù) 2題型三、還原玻璃塊 3題型四、全等三角形的判定——SAS 5題型五、全等三角形的判定——ASA 6題型六、全等三角形的判定——AAS 8題型七、全等三角形的判定——SSS 9題型八、全等三角形的判定——HL 11題型九、格點(diǎn)三角形 13題型十、一線三等角 15題型十一、倍長(zhǎng)中線法 17題型十二、全等的動(dòng)點(diǎn)求t 19B綜合攻堅(jiān)?能力躍升題型一、全等三角形的性質(zhì)1．如圖，，點(diǎn)、、、在同一直線上，與相交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)度是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：C．2．如圖，，B、C、D在同一直線上，且，，則長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，由全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)線段的和差關(guān)系得出，即可得出．【詳解】解：∵，∴，，∵∴，∴，故答案為：6．3．如圖，已知，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)．(1)若，，求線段的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)22(2)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等，是解題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出，結(jié)合即可求解；（2）由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．題型二、全等的依據(jù)1．如圖，在和中，，，，則能直接判斷的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解并掌握全等三角形的判定定理：，，，，等．根據(jù)全等三角形的判定定理，即可獲得答案．【詳解】解：∵，，，∴，即判斷的依據(jù)是“”．故選：A．2．如圖，與相交于點(diǎn)，，，不添加輔功線，判定的依據(jù)是．【答案】【分析】此題考查了全等三角形的判定，由題意可知，，，，即可證明．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：3．如圖，點(diǎn)D，E分別在上，相交于點(diǎn)O，，求證：，小聰同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：在和中，∴（依據(jù)①：）∴（依據(jù)②：）……任務(wù)：(1)小聰同學(xué)的證明過(guò)程中依據(jù)①是，依據(jù)②是；(2)按小聰同學(xué)的思路將證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(3)圖中共有對(duì)全等三角形．【答案】(1)，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等(2)見解析(3)4【分析】本題主要考查了全等三角形．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）成立的依據(jù)是，成立的依據(jù)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）證明，結(jié)合∠BOD=∠COE，，可得，即得；（3）根據(jù)，，可得，根據(jù)，，，可得，由結(jié)合（1）（2）中，，可得4對(duì)全等三角形．【詳解】（1）證明：在和中，，∴（），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．故答案為：，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．（2）∵，∴，在和中，，∴，∴．（3）由（1）（2）知，，，∴，∵，∴，∵，，，∴故共有4對(duì)全等三角形，分別是，，，．故答案為：4．題型三、還原玻璃塊1．周末，小謙和弟弟在游玩時(shí)不慎將一塊三角形玻璃摔成四塊（如圖中標(biāo)有①②③④的四塊），小明學(xué)了全等三角形的知識(shí)后，決定拿第④塊碎片去配一塊與原來(lái)大小和形狀都一樣的三角形玻璃，依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，，，，做題時(shí)要根據(jù)已知條件進(jìn)行選擇運(yùn)用．【詳解】解：④號(hào)玻璃，不但保留了原三角形的兩個(gè)角還保留了其中一個(gè)邊，符合全等三角形判定．故選：C．2．如圖，小明不慎將一塊三角形的玻璃打碎為三塊，他想只帶其中一塊碎片到商店去配一塊與原來(lái)一樣的三角形玻璃，那么他應(yīng)該帶去的一塊是．【答案】③【分析】本題考查了全等三角形的判定方法，根據(jù)全等三角形的判定方法“角邊角”可以判定應(yīng)當(dāng)帶③去．【詳解】解：①只保留了一個(gè)角及部分邊，不能配成和原來(lái)一樣的三角形玻璃；②則只保留了部分邊，不能配成和原來(lái)一樣的三角形玻璃；而③不但保留了一個(gè)完整的邊還保留了兩個(gè)角，所以應(yīng)該帶去③，根據(jù)全等三角形判定可以配出一塊和原來(lái)一樣的三角形玻璃．故答案為：③．3．探究活動(dòng)（1）[知識(shí)回顧]如圖，王芳不小心把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現(xiàn)要配出與原來(lái)一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號(hào)是（）A．①

B．②

C．③（2）[直觀感知]如圖，李明不小心把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片，現(xiàn)要配出與原來(lái)一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號(hào)是（）A．①②

B．①③

C．①④D．②③

E．②④

F．③④（3）[問(wèn)題探究]在平面幾何里，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形．類似的，我們把能夠完全重合的兩個(gè)四邊形叫全等四邊形．也就是說(shuō)四條邊和四個(gè)角都分別相等的兩個(gè)四邊形全等．①已知：如圖，在四邊形與四邊形中，，，，，．求證：四邊形與四邊形是全等四邊形．②請(qǐng)類比全等三角形的判定定理，用文字語(yǔ)言表述第①題的題設(shè)與結(jié)論：③請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)判定四邊形全等的真命題．（用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，不必證明）【答案】（1）C；（2）E（3）①見解析；②題設(shè)：四條邊都相等，且有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個(gè)四邊形全等；③在四邊形與四邊形中，，，，，．則四邊形與四邊形是全等四邊形；【分析】（1）根據(jù)分析即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，找到能確定一條邊2個(gè)角的三角形，即可求解；（3）①連接，證明，得出，證明，即可求解．②根據(jù)①的命題，寫出題設(shè)與結(jié)論即可求解．③根據(jù)①結(jié)論寫出真命題，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的方法進(jìn)行證明即可求解．【詳解】（1）解：依題意，③玻璃碎片，含有條邊，個(gè)角，依據(jù)可得兩個(gè)三角形全等，故選：C；（2）解：帶②④，理由如下，如圖，∵根據(jù)碎片的形狀，可以確定長(zhǎng)度的長(zhǎng)度，且碎片②④保留了2個(gè)角，以為邊的左右兩邊的兩個(gè)三角形的兩個(gè)角確定了，根據(jù)（1）的結(jié)論可得出2對(duì)全等三角形，∴帶②④，故選：E．（3）①證明：如圖，連接∵在四邊形與四邊形中，，，．∴，∴又，，∴∴四邊形與四邊形是全等四邊形；②題設(shè)：四條邊都相等，且有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個(gè)四邊形全等；③如圖，在四邊形與四邊形中，，，，，．則四邊形與四邊形是全等四邊形；證明：如圖，∵，，，∴，∴，，，∵，，∴，∴∴四邊形與四邊形是全等四邊形；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型四、全等三角形的判定——SAS1．如圖是雨傘在開合過(guò)程中的截面圖．測(cè)得，點(diǎn)，分別是，的三等分點(diǎn)，．則的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了用證明三角形全等，由已知條件可得出，再加上，即可得出．【詳解】解：∵，點(diǎn)，分別是，的三等分點(diǎn)，∴，又∵，，∴，故選：D2．如圖，中，于D，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于F，若，，，．則的面積是．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，通過(guò)證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．證明，可得，，然后證明，根據(jù)列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．3．如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)是線段上的兩點(diǎn)，且，，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】，見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明，，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】解：，理由如下：，，，在和中，，，∴．題型五、全等三角形的判定——ASA1．如圖，為了測(cè)量河兩岸A，B兩點(diǎn)的距離，過(guò)點(diǎn)B作，在上取兩點(diǎn)C，D，使得，再過(guò)D點(diǎn)作的垂線，使得點(diǎn)E、C、A在同一直線上，若，，，則A，B兩點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用可證明，則【詳解】解：∵，，∴，在與中：，．∴A，B兩點(diǎn)的距離是．故選：B．2．如圖，在與中，已知，，，若，，則．【答案】10【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得，再證明，得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：10．3．如圖，，與相交于點(diǎn)，且，那么與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】相等，理由見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)得，然后證明可得．【詳解】解：．理由如下：∵，∴．在和中，∴∴．題型六、全等三角形的判定——AAS1．如圖，中，是的平分線，，垂足為E．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，由角平分線的定義得到，證明，得到，則．【詳解】解：∵是的平分線，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故選：C．2．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線的兩側(cè)，且，，，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)得到，再證明得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．3．和按如圖位置放置，點(diǎn)D在上，，，，．線段與線段相等嗎？為什么？【答案】，見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟知邊角邊證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．首先得到，然后證明出，即可得到．【詳解】解：，理由如下：因?yàn)?，，，所以，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所以．題型七、全等三角形的判定——SSS1．如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以同樣的長(zhǎng)度（大于）為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，則射線是的角平分線．連接，，可以先證明，進(jìn)而推出是的角平分線．判定的依據(jù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵；根據(jù)作圖可得，，再根據(jù)，利用得到即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)作圖，可得，，又∵，，∴，∴是的角平分線；故選：D．2．如圖，在四邊形中，，，若線段，線段，則四邊形的面積為（用含有a、b的代數(shù)式表示）．【答案】/【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，連接，證明得出，再由四邊形的內(nèi)角和求出，最后由面積公式計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，∴四邊形的面積為，故答案為：．3．如圖，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）先說(shuō)明，再運(yùn)用證明三角形全等即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，即：．在與中，，∴．（2）解：∵∴，∴．題型八、全等三角形的判定——HL1．如圖所示，在和中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在上，與交于點(diǎn)O，，，則可判定的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握定理是關(guān)鍵．在和中，，，，即可根據(jù)定理證明．【詳解】解：在和中，，，，∴，故選：C2．如圖，，，點(diǎn)、、、分別在直線與上，點(diǎn)在上，，，，則．【答案】9【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．先判定，從而得出，則．【詳解】解：，，，，在和中，，，，，．故答案為：9．3．如圖，點(diǎn)為外一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的垂線于點(diǎn)，，已知．證明：為的平分線．【答案】見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的判定．過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，利用定理證明，得到，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；【詳解】證明：如圖，過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵，，，∴，在和中，，∴．∴，在和中，，∴，∴，∴為的平分線．題型九、格點(diǎn)三角形1．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，稱這樣的三角形為格點(diǎn)三角形．那么圖中與有一條公共邊且全等（不含）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理，按公共邊的不同情況分類尋找全等格點(diǎn)三角形．分別以、、為公共邊，依據(jù)全等三角形判定條件，找出與全等的格點(diǎn)三角形，統(tǒng)計(jì)數(shù)量．【詳解】如圖：共7個(gè)點(diǎn)符合，故選：C．2．如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，有一個(gè)格點(diǎn)三角形（三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上）；現(xiàn)需要在網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)造一個(gè)新的格點(diǎn)三角形與全等，且有一條邊與的一條邊重合，這樣的三角形可以構(gòu)造出個(gè)．【答案】5【分析】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．根據(jù)全等三角形的判定方法：三邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，再依次確定第三個(gè)頂點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖滿足條件的三角形如圖所示，有5個(gè)．故答案為：5．3．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到________，________．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（模型應(yīng)用）（2）如圖2，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有________（填“、、”）【答案】（1），，（2）見解析，（3），理由見解析【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E作于點(diǎn)H，于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得，然后可證，則有，進(jìn)而可得，通過(guò)證明可求解問(wèn)題；（3）過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于由題意易得，，然后可得，則有，，進(jìn)而可得，通過(guò)證明及等積法可進(jìn)行求解問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵，∴，故答案為，（2）分別過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E作于點(diǎn)H，于點(diǎn)Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，同理可知，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于∵四邊形與四邊形都是正方形∴，，∵，，∴，，，又∵，∴，∴，∴，，同理可以證明，∴，，∴，∵，，，∴，∴．∵，∴，∴即，故答案為：．題型十、一線三等角1．如圖，在的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，且是格點(diǎn)三角形，按下列要求畫圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖1中，畫出與全等的格點(diǎn)三角形；（找到一個(gè)即可）(2)在圖2中，的面積為______，在網(wǎng)格內(nèi)找出滿足和面積相等的所有格點(diǎn)E；（點(diǎn)E不與已知的三個(gè)點(diǎn)重合）(3)在圖3中，只用無(wú)刻度的直尺作出中邊上的高．【答案】(1)見解析(2)6，見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了網(wǎng)格作圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積公式，是解題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，取格點(diǎn)D，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可證明和全等；（2）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)和三角形面積公式求出的面積，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，只需要滿足點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)B且平行于的直線的格點(diǎn)上即可；（3）根據(jù)三角形全等，判定，即為所求【詳解】（1）如圖，取格點(diǎn)D，連接，即為所求（答案不唯一）．（2）．如圖，，即為滿足和面積相等的格點(diǎn)．（3）如圖，取格點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，即為所求．證明：∵，∴，∴，∴，∴．2．通過(guò)對(duì)如圖數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為．A．68B．70C．98D．168【深入探究】（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，，①試證明．②若，的面積為1，的面積為12，則的面積為．【答案】[模型呈現(xiàn)]；[模型應(yīng)用]C；[深入探究]①見詳解，②5．【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，[模型呈現(xiàn)]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可知，即可；[模型應(yīng)用]由“K字”模型可知，，，則，，，，即可求得，結(jié)合圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為；[深入探究]①根據(jù)題意得，，則，即可證明；②利用三角形面積公式得，，由①知，則，結(jié)合求解即可．【詳解】解：[模型呈現(xiàn)]：，∴，故答案為：；[模型應(yīng)用]由“K字”模型可知，，，∴，，，，∴，∴圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積，故選：C；[深入探究]①證明：∵，∴，，∴，∵，∴；②設(shè)點(diǎn)B到線段的距離為h，∵，的面積為1，∴，，由①知，則∵的面積為12，∴，故答案為：5．3．【方法呈現(xiàn)】如圖：在中，若，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E使，再連接，可證，從而把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍為_________________，這種方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；【問(wèn)題背景】在中，，垂足為M，，點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接，若，求的長(zhǎng)；【構(gòu)建聯(lián)系】（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是外一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，求證：．【答案】方法呈現(xiàn)：；問(wèn)題背景（1）17；構(gòu)建聯(lián)系：（2）見解析【分析】方法呈現(xiàn)：由已知得出，即，為的一半，即可得出答案；問(wèn)題背景：（1）證明，得出即可；構(gòu)造聯(lián)系：（2）延長(zhǎng)，截取，連接，證明，得出，，證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：方法呈現(xiàn)：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，是的中點(diǎn)，，，，，在中，，，，，故答案為：；問(wèn)題背景：（1）∵，∴，∵，，∴，∴；構(gòu)造聯(lián)系：（2）延長(zhǎng)，截取，連接，如圖所示：∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，根據(jù)解析（1）可知：，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，作出輔助線．題型十一、倍長(zhǎng)中線法1．【新知情境】如圖1，在中，，點(diǎn)分別在上．若邊上存在一點(diǎn)，滿足，則稱點(diǎn)是的“一線三等角點(diǎn)”．

【理解新知】（1）如圖2，在中，，是邊上的高，是中邊上的高．求證：點(diǎn)是的“一線三等角點(diǎn)”；（2）如圖1，在“新知情境”的條件和結(jié)論下，求證：；【操作探究】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)分別在上．點(diǎn)在內(nèi)，且．

①由于點(diǎn)不在上，所以點(diǎn)不是的一個(gè)“一線三等角點(diǎn)”．小明想沿著方向，將平移到上，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，平移后的的邊與的交點(diǎn)為點(diǎn)．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出；（不寫作法，保留清晰的作圖痕跡，標(biāo)明字母）②如圖4，若，與的角平分線所在直線交于點(diǎn)．直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②【分析】（1）根據(jù)高線的定義可得，，證明即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的概念可得，，等量代換可得結(jié)論；（3）①延長(zhǎng)交于，然后作等于，與的交點(diǎn)為即可；②如圖④，連接并延長(zhǎng)至F，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，再根據(jù)對(duì)頂角相等和角平分線的定義證明，，進(jìn)而求出，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可．【詳解】解：（1）∵是邊上的高，是中邊上的高，∴，∴，，∴，∵，∴點(diǎn)是的“一線三等角點(diǎn)”（2）∵在中，，又∵，，∴；（3）①如圖所示：

②如圖④，連接并延長(zhǎng)至F，

∵，∴，∵，，∴，∵與的角平分線分別是，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高線的定義，三角形內(nèi)角和定理，尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確理解新定義，準(zhǔn)確識(shí)別各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．【閱讀理解】中線是三角形中的重要線段之一．在解決幾何問(wèn)題時(shí)，當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可以考慮利用中線作輔助線，即把中線延長(zhǎng)一倍，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這種作輔助線的方法稱為“倍長(zhǎng)中線法”．（注：等腰三角形兩個(gè)底角相等，三個(gè)內(nèi)角為的三角形為等邊三角形）（1）如圖1，是的中線，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．①根據(jù)所作輔助線可以證得，其中判定全等的依據(jù)為：______；②若，則的取值范圍是______；【方法運(yùn)用】運(yùn)用上面的方法解決下面的問(wèn)題：（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，，，求證：平分．小明是這么想的：延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，即可證明，并根據(jù)全等三角形的性質(zhì)繼續(xù)解題，請(qǐng)根據(jù)小明的想法，完整的寫出證明過(guò)程．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，是四邊形的對(duì)角線，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，，，若，面積為16.8，求點(diǎn)F到的距離．【答案】（1）①；②；（2）見解析；（3）【分析】（1）①由中線性質(zhì)可得，證明即可得知依據(jù)；②由可得，又，在中，由三邊關(guān)系可得答案；（2）延長(zhǎng)至F，使，證明，則，，求得，從而．由等腰三角形性質(zhì)和外角定理可得，再證明，即可得到，從而得證結(jié)論；（3）倍長(zhǎng)，使延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，證明．，，．得，再根據(jù)為等邊三角形，可得，證明，，再證明，可得為等邊三角形，從而，再根據(jù)面積即可求解．【詳解】解：（1）①∵是的中線，∴，在和中，∵，∴，故答案為：；②由可得，又，∴在中，由三邊關(guān)系可得：，即，又，故．故答案為：．（2）證明：如圖2所示，延長(zhǎng)至F，使．在和中，∵，∴．∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．在和中，∵，∴．∴．故平分．（3）如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，在和中，∵，∴．∴，∴．∵，∴．又，∴，又∵，∴為等邊三角形，，從而，∴，在和中，∵，∴．∴，又∵，∴，故為等邊三角形，∴．設(shè)點(diǎn)F到的距離為，∵面積為16.8，∴，∴，即點(diǎn)F到的距離為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線的運(yùn)用．根據(jù)倍長(zhǎng)中線作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．3．如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，________cm，當(dāng)時(shí)，________cm．(2)如圖①，求當(dāng)為何值時(shí)，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)．沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好，直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】(1)；(2)或(3)運(yùn)動(dòng)的速度為或【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形面積、一元一次方程的幾何應(yīng)用，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在線段上，分別求解即可；（2）分兩種情況討論：①點(diǎn)P在上；②點(diǎn)P在上，利用三角形面積分別求解即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行分析，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出點(diǎn)所走的路程，進(jìn)而可求出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再利用速度路程時(shí)間求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，∵點(diǎn)速度為，∴．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在線段上，∴．故答案為：；；（2）解：∵，，∴，∵的面積等于面積的一半，∴．①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，∴，．②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D，∵，，∴，∴，∵，∴，．故答案為：或；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴．∴運(yùn)動(dòng)的速度為或．題型十二、全等的動(dòng)點(diǎn)求t1．【閱讀理解】中線是三角形中的重要線段之一．在解決幾何問(wèn)題時(shí)，當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可以考慮利用中線作輔助線，即把中線延長(zhǎng)一倍，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這種作輔助線的方法稱為“倍長(zhǎng)中線法”．（1）如圖1，是的中線，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．①根據(jù)所作輔助線可以證得，其中判定全等的依據(jù)為：______；②若，則的取值范圍是______；【方法運(yùn)用】運(yùn)用上面的方法解決下面的問(wèn)題：（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，，求證：平分；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，是四邊形的對(duì)角線，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①；②；（2）見解析；（3）4．【分析】（1）①由中線性質(zhì)可得，證明即可得知依據(jù)；②由可得，又，在中，由三邊關(guān)系可得答案；（2）延長(zhǎng)至F，使，證明，則，又，從而．由等腰三角形性質(zhì)和外角定理可得，再證明，即可得到結(jié)論；（3）倍長(zhǎng)，使延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，證明，．得，再根據(jù)為等邊三角形，可得，證明，再證明，可得為等邊三角形，從而，即可求解．【詳解】解：（1）①解：∵是的中線，∴，在和中，∵，∴，故答案為：；②由可得，又，∴在中，由三邊關(guān)系可得：，即，又，故．故答案為：．（2）證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．同法（1）得：，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，即平分；（3）延長(zhǎng)至，使得，連接，∵是的中點(diǎn)∴∵，∴∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴等邊三角形，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，即：，∴為等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線的運(yùn)用．根據(jù)倍長(zhǎng)中線作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．2．如圖，直線，平分，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，其中動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿直線上運(yùn)動(dòng)；已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)若，試求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(2)試問(wèn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出時(shí)間的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間或；(2)或時(shí)，與全等．【分析】本題是三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．（1）作，則，根據(jù)可得的值，分別用表示，即可求得的值，即可解題；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，易得時(shí)，，分別用表示，即可求得的值；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：作，，則，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，∴,即，解得：；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，∴，解得，綜上動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間或；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，，即或，解得：或（舍去），當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，，∴，，∴；答：或時(shí)，與全等．3．如圖所示，和都是邊長(zhǎng)為厘米等邊三角形，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以厘米秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以厘米秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)點(diǎn)、從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是秒；(2)當(dāng)取何值時(shí)，也是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)不存在，理由見解析．【分析】設(shè)點(diǎn)、從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是，根據(jù)點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度把點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的路程表示出來(lái)，根據(jù)點(diǎn)、相遇時(shí)所走的路程和等于的周長(zhǎng)可列關(guān)于的方程，解方程即可；假設(shè)是等邊三角形，則有，，從而可證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可知，從而可列關(guān)于的方程，解方程即可求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若，可得為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，可得方程，解方程可得：，此時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)的路程為厘米，已經(jīng)到達(dá)線段上，所以不成立，可知不存在的值，使．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)、從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是，根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，是等邊三角形．理由如下：如圖所示，若是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，解得：；

（3）解：不存在的值，使．理由如下：如圖所示：若，，

，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，解得：,又，不存在的值，使．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度把線段的長(zhǎng)度用含的代數(shù)式表示出來(lái)，再根據(jù)線段之間的相等關(guān)系列方程．1．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，A、在和中，，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由，根據(jù)能判定，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由，根據(jù)能判定，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由，不能判定，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故選C．3．工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角，如圖所示，是一個(gè)任意角，在邊，上分別?。ǎ苿?dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，這時(shí)過(guò)角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．你認(rèn)為工人師傅在此過(guò)程中用到的三角形全等的判定方法是這種作法的道理是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)．熟練掌握確定三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由三邊對(duì)應(yīng)相等得，即由判定兩個(gè)三角形全等．做題時(shí)要根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法逐個(gè)驗(yàn)證．【詳解】解：依題意知，在與中，，，，即即是的平分線．故選：D．4．如圖，C是的中點(diǎn)，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．【答案】或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定