專題02等腰三角形（原卷版）目錄A題型建模?專項突破題型一、等腰三角形的性質(zhì) 1題型二、等邊三角形的性質(zhì) 2題型三、角平分線的性質(zhì) 3題型四、線段垂直平分線的性質(zhì) 5題型五、等腰三角形的額判定 6題型六、等邊三角形的判定 8題型七、角平分線的判定 9題型八、線段垂直平分線的判定 11題型九、尺規(guī)作圖 13題型十、無刻度尺作圖 15題型十一、等腰（邊）三角形的手拉手 16題型十二、角平分線與垂直平分線的結(jié)合求解 18題型十三、等腰三角形的動點求t 19題型十四、等腰三角形的新定義21B綜合攻堅?能力躍升題型一、等腰三角形的性質(zhì)1．等腰三角形的一個底角為，則其頂角為（

）A． B． C． D．或2．已知等腰三角形周長等于19，其中一邊長7，那么該等腰三角形的底邊等于．3．如圖，在中，，，平分，交于點，過點作，交于點．(1)求的度數(shù)．(2)若與的周長分別為和，求的長．題型二、等邊三角形的性質(zhì)1．如圖，把等邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、交于點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．如圖，在等邊三角形中，，，交于點F，則．3．如圖1，為等邊內(nèi)一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，的延長線與交于點，與交于點．(1)求證：；(2)________度；(3)如圖2，連接，平分嗎？請說明理由．題型三、角平分線的性質(zhì)1．如圖，是的角平分線，于點E，，，，則長是（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．32．如圖，是的角平分線，若，，則點到的距離是．3．如圖，為斜邊上的高，的平分線分別交，于點E、F，，垂足為點G．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．題型四、線段垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，在中，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，與交于點，與交于點，連接．若的周長為10，，則的周長為（

）A．17 B．19 C．20 D．212．如圖，在△中，的垂直平分線分別與、交于點、，的垂直平分線分別與、交于點，，若，則的周長是．3．如圖，在中，垂直平分，連接，，延長交的延長線于點F，，過點D作于點E，．(1)請判定與是否相等？為什么？(2)與互補嗎？請說明理由．題型五、等腰三角形的額判定1．如圖，在四邊形中，F(xiàn)是的延長線上一點，連接交于點E，，點G在邊上，連接，平分．求證：是等腰三角形．2．如圖，，的平分線交于點．求證：是等腰三角形．3．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)判斷并說明的形狀；(2)若，求的度數(shù)．題型六、等邊三角形的判定1．如圖，已知點A、F、E、B在同一條直線上，與交于點M，，，，若，求證：是等邊三角形．2．如圖，在中，，是上的一點，過點作的垂線交于點，連接，交于點．(1)求證：平分；(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．3．如圖，在中，，在邊上取點，連接，使．以為一邊作等邊，且使點與點位于直線的同側(cè)，．(1)求的度數(shù)；(2)點在上，連接，請判斷是否是等邊三角形，并說明理由．題型七、角平分線的判定1．如圖，在中，點D為下方一點，連接、、，，過點D作于點F，交的延長線于點G，．求證：平分．2．如圖，，M是的中點，平分，求證：平分．3．【定理】如圖1．因為于于，所以___________．【運用】如圖2，在四邊形中，，求證：平分．題型八、線段垂直平分線的判定1．如圖，是內(nèi)一點，的延長線交于點，連接，，且，．(1)請判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)試說明垂直平分線段．2．如圖，是的角平分線，，，垂足分別是，，連接，與交于點．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若，，，求的面積．3．已知，如圖，，，點E、F分別為垂足，，．(1)證明：；(2)延長相交于點D，聯(lián)結(jié)．證明：垂直平分線．題型九、尺規(guī)作圖1．如圖，在中，點在的延長線上，其中，．(1)在內(nèi)部，求作射線，使得（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．2．如圖，已知．(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：作交于點D，作的角平分線交于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，求的度數(shù)．3．如圖，在中，請解答下列問題：(1)請用尺規(guī)作圖的方法作邊的垂直平分線，交于點，連接．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，求的周長．題型十、無刻度尺作圖1．如圖，所有的小正形的邊長都是1，小正方形的頂點叫做格點．請僅用無刻度直尺完成畫圖(不寫畫法)．(1)在圖1中，A、B、C均為格點，作；(2)在圖2中A、C為格點，B、D不是格點，且D為中點．在線段上找一點E，連接，使得與面積相等．2．如圖，所有的小正方形的邊長都是都在格點上（小正方形的頂點叫做格點請僅用無刻度直尺完成畫圖（不要求寫畫法）(1)在圖1中作線段，使，；(2)在圖2中作線段于點A，交于點．3．如圖，將等邊和的一邊重合放置，其中為中點．請僅用無刻度直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，過點作于點．(2)如圖2，過點作的平分線交于點．題型十一、等腰（邊）三角形的手拉手1．在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下探究：(1)如圖1，兩個等腰三角形和中，，，，連接、，如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，兩個等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知，請完成作圖：以、為邊分別向外作等邊和等邊（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于），連接，，兩線交于點，并直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．2．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，若和均是頂角為的等腰三角形，，分別是底邊，從圖中找出一對全等三角形并說明理由；(2)【拓展探究】如圖2，若和和均為等邊三角形，點、、在同一條直線上，連接，求的度數(shù)．3．在學(xué)習(xí)全等三角形知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：模型是由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)如圖1，在和中，，，，連接，，當(dāng)點落在邊上，且，，三點共線時，則在這個“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度數(shù)為____________．(2)如圖2，已知，分別以、為直角邊向兩側(cè)作等腰直角和等腰直角，其中，連接、，線段和交于點．①證明：且；②若與在同一直線上，如圖3，延長與交于點，連接并延長，的延長線與邊交于點，且，若和的面積之和為20，的面積為6，求線段的長．題型十二、角平分線與垂直平分線的結(jié)合求解1．如圖，在中，直線是邊的垂直平分線，點D是直線上一點，連接，，滿足，求證：為的外角的角平分線．

2．已知：如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點D，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若求的周長．3．已知是邊的垂直平分線，是的外角的角平分線，兩線交于點，，垂足為，，垂足為．

(1)求證：；(2)若，，求的長．題型十三、等腰三角形的動點求t1．如圖1，在等邊中，，點O在邊上，且，動點P從點A出發(fā)沿射線以的速度運動，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)點運動的時間為．．(1)用含t的代數(shù)式表示的長；(2)如圖2，當(dāng)點D落在邊上時，求證：；(3)當(dāng)平行于的一邊時，直接寫出t的值；(4)作點D關(guān)于點O的對稱點E，經(jīng)過，點E恰好落在射線上．2．如圖，在長方形中，，，點P以的速度從點A出發(fā)，沿運動，同時點Q以的速度從點A出發(fā)，沿運動，當(dāng)P、Q兩點有一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為．(1)當(dāng)點P在運動的過程中，用含t的代數(shù)式表示和的長；(2)①用含t的代數(shù)式表示的面積；②當(dāng)是以為底的等腰三角形時，求t的值及此時的面積；(3)在整個運動過程中（點P與點B、C重合時除外），當(dāng)點P到長方形的相鄰兩邊的距離相等時，直接寫出t的值．3．如圖，是邊長為的等邊三角形，動點P從點B出發(fā)以的速度沿著路線向終點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)以的速度沿著路線向終點C運動，設(shè)運動的時間為．(1)當(dāng)P在邊上運動時，______，______；(2)當(dāng)是等邊三角形時，求t的值．題型十四、等腰三角形的新定義1．綜合與實踐：在學(xué)習(xí)特殊三角形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗．請運用已有經(jīng)驗，對“兄弟三角形”進(jìn)行研究，新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)操作判斷：如圖1，和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點．請直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：______．(2)性質(zhì)探究：如圖2，和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點，，均在外，連結(jié)、，試說明（1）中和之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，給出證明過程．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點，，點，，在同一條直線上，為的高，連結(jié)，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．2．定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分割成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖1，線段將頂角為的等腰三角形分成了兩個等腰三角形，則線段是的“雙等腰線”；線段，將頂角為的等腰三角形分成了三個等腰三角形，則線段是的“三等腰線”．(1)請在圖2中，作出的“雙等腰線”，并標(biāo)出分成的等腰三角形的底角的度數(shù)：①，；②．(2)請在圖3中，畫出頂角為的等腰三角形的“三等腰線”，并標(biāo)出每個等腰三角形頂角的度數(shù)（畫出一種即可）；(3)畫圖和計算：在中，，點在邊上，點在邊上，和是的“三等腰線”，且，請試畫出示意圖，并求的度數(shù)．3．能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（1）下列圖形：①邊長都為的兩個正方形；②邊長都為的兩個四邊形；③邊長都為的兩個三角形；④半徑都是的兩個圓．其中是全等圖形的有______（填序號）；（2）數(shù)學(xué)課上，我們學(xué)習(xí)了直角三角形全等的判定（即“”）后，好學(xué)的小明繼續(xù)對直角三角形全等判定進(jìn)行研究，如圖①，在和中，，，和的周長相等．求證：．證明：如圖②，在和中，分別延長至G，H，使得，，連接．根據(jù)小明的思考，請繼續(xù)完成小明的證明；（3）根據(jù)全等多邊形的定義，我們把四個角，四條邊分別相等的兩個凸四邊形叫做全等四邊形，記作：四邊形四邊形．如圖③，若，，，，，求證：四邊形四邊形，并用一句話概括第（3）問中四邊形全等的判定方法．1．如圖，，點A在射線上，以點O為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點B．若分別以點A，B為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點C，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．2．如圖，，點E在上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形為正八邊形，連接，，與交于點，．5．等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數(shù)是．6．如圖，已知，點為內(nèi)部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則．7．用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：．求作：點P，使，且點P在邊的高上．

8．如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為，且____________，____________，則____________．給出下列信息：①平分；②；③．請從中選擇適當(dāng)信息，將對應(yīng)的序號填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補全圖形，并加以證明．

9．小明正在進(jìn)行探究活動：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請你幫他一起探究．(1)如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點，將繞點旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)至點的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長（用表示）；(2)如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請設(shè)計一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個部分可以通過圖形運動拼成與剩余部分不重疊無縫隙的等腰三角形．請寫出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點的位置．（模仿（1）中的論述語言：為邊中點，是梯形的頂點）．10．1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角