北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.已知函數(shù)，則（

）A．B．C．D．2.已知在等差數(shù)列中，，，則公差的值為（

）A．2B．C．D．33.小華設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)：袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若兩球的顏色相同為中獎(jiǎng)，則該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為（

）A．B．C．D．4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（

）A．1B．2C．3D．45.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A．B．C．D．6.已知等差數(shù)列滿足，且是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．6B．8C．6或8D．107.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為優(yōu)良品、合格品、次品三個(gè)等級(jí)，其中優(yōu)良品率為，合格品率為，次品率為，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取三件，則三個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品恰好各取到1件的概率為（

）A．B．C．D．8.若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．2B．C．D．39.若數(shù)列是存在負(fù)數(shù)項(xiàng)的無窮等比數(shù)列，則“數(shù)列有最小項(xiàng)”是“數(shù)列有最大項(xiàng)”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件10.若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、填空題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)11.已知函數(shù)，則的定義域是_____，_____.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_____.13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：0123則_____；若，，成公比為3的等比數(shù)列，則_____.14.已知曲線，點(diǎn)A在曲線上，則在點(diǎn)A處切線斜率的最小值為_____；若點(diǎn)為軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且曲線上至少有兩條不同的切線經(jīng)過點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_____.15.已知是首項(xiàng)為，公差為2的無窮等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公比為2的無窮等比數(shù)列，記，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，有；

②存在，使得的前2025項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列；

③對(duì)于任意從第三項(xiàng)起均為單調(diào)遞減數(shù)列；

④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在，使得.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____.三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分)16.已知函數(shù)，，且.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍.17.已知在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使?jié)M足條件的數(shù)列和存在，并解答下列問題.

條件①：；

條件②：成等差數(shù)列；

條件③：成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，以及此時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.商品的價(jià)格指數(shù)是用于衡量該商品價(jià)格隨時(shí)間變化的相對(duì)指標(biāo)，它可以幫助分析該商品的通脹或通縮趨勢(shì)、市場(chǎng)供需變化和成本波動(dòng).下表是2024年某地區(qū)每個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)：月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月指數(shù)151152149146151147151154152151152153(1)若從2024年隨機(jī)抽取1個(gè)月，求該月蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150的概率；

(2)若從2024年1~6月隨機(jī)抽取3個(gè)月，從7~12月隨機(jī)抽取1個(gè)月，記為隨機(jī)抽取到蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150的月份的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若從2024年1~4月、5~8月、9~12月各隨機(jī)抽取1個(gè)月，分別記、、為這個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150的月份的個(gè)數(shù)，則、、中哪個(gè)最大?（結(jié)論不要求證明）19.甲、乙、丙三人投籃，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，丙每次投中的概率為，設(shè)每人每次投籃是否命中相互之間沒有影響.

(1)甲、乙每人投3次，試比較甲恰好投中1次的概率與乙恰好投中1次的概率的大??；

(2)丙投籃3次，當(dāng)為何值時(shí)，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.20.已知函數(shù)，.

(1)當(dāng)時(shí)，

（?。┣笄€在處的切線方程；

（ⅱ）求函數(shù)的最大值；

(2)若函數(shù)的最大值為，求的值.21.已知數(shù)列滿足：①均為正整數(shù)且不全相等；②對(duì)任意正整數(shù)n，，，，．

(1)若，，，，求；

(2)是否存在正整數(shù)，使得，，，全為0？證明你的結(jié)論；

(3)求證：存在正整數(shù)，使得，，，中有一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于2025．

試題答案解析第1題：

第2題：

第3題