2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫——抽樣調(diào)查方法案例分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：以下案例情境僅供參考，請(qǐng)根據(jù)要求完成相關(guān)問題。案例一：某市市場監(jiān)督管理局計(jì)劃對(duì)全市范圍內(nèi)經(jīng)營性餐飲單位的衛(wèi)生狀況進(jìn)行抽樣調(diào)查，以評(píng)估整體衛(wèi)生水平并識(shí)別需要重點(diǎn)監(jiān)管的對(duì)象。全市共有經(jīng)營性餐飲單位約5000家?？紤]到餐飲單位在規(guī)模、類型（如餐館、快餐店、飲品店等）、地域分布上存在差異，若采用簡單隨機(jī)抽樣，可能無法保證樣本在各類別上的代表性。市場局工作人員初步考慮采用分層抽樣和整群抽樣的方法。問題：1.簡述分層抽樣的基本原理及其在本案例中可能的優(yōu)勢。如果決定采用分層抽樣，請(qǐng)說明如何進(jìn)行分層（至少提出兩種可行的分層依據(jù)）。2.假設(shè)已將全市餐飲單位按規(guī)模（小型、中型、大型）和類型（餐館類、快餐類、飲品類等）進(jìn)行了交叉分層。在某一層（例如，“中型餐館類”）內(nèi)，計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本單位。請(qǐng)簡述系統(tǒng)抽樣的步驟，并說明在實(shí)施過程中需要注意避免哪些潛在問題。3.如果市場局資源有限，希望抽樣調(diào)查的行政效率更高，是否可以考慮采用整群抽樣？請(qǐng)簡述整群抽樣的概念，并說明選擇何種“群”可能更合適。與分層抽樣相比，整群抽樣的主要優(yōu)缺點(diǎn)是什么？4.假設(shè)最終確定采用分層整群抽樣方法。請(qǐng)簡要說明該組合方法的基本思路，并解釋為何在某些情況下，這種多階段抽樣方法可能比簡單隨機(jī)抽樣或單一階段的分層/整群抽樣更有效。案例二：某快速消費(fèi)品公司為了解其主導(dǎo)品牌A在目標(biāo)市場的月均使用頻率，計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查。市場研究部收集到了一份包含潛在調(diào)查對(duì)象（年齡18-55歲，居住在公司所在城市）的列表（抽樣框），列表中并未區(qū)分性別、收入等人口統(tǒng)計(jì)學(xué)特征。初步估計(jì)該城市符合條件的目標(biāo)消費(fèi)者約有20萬人。公司希望抽樣誤差（以抽樣比例的標(biāo)準(zhǔn)誤衡量）控制在5%以內(nèi)（置信水平為95%），并要求在1個(gè)月內(nèi)完成調(diào)查。問題：1.若采用簡單隨機(jī)抽樣（SRS）抽取樣本，樣本量應(yīng)至少是多少？請(qǐng)列出計(jì)算公式并代入數(shù)據(jù)計(jì)算。2.如果研究人員認(rèn)為，不同性別、不同收入水平的消費(fèi)者對(duì)品牌A的使用頻率可能存在顯著差異，且希望在樣本中對(duì)這些群體有代表性。請(qǐng)比較簡單隨機(jī)抽樣與分層隨機(jī)抽樣在本案例中的優(yōu)劣。若決定采用分層抽樣，應(yīng)如何選擇分層變量？如何確定各層的樣本量（請(qǐng)說明采用何種分配方法并簡述理由）？3.假設(shè)采用了一種非概率抽樣方法——便利抽樣，在某大學(xué)校園和附近商業(yè)街發(fā)放問卷。這種方法可能引入哪些類型的抽樣偏差？相比于概率抽樣，使用便利抽樣進(jìn)行調(diào)查有哪些潛在的優(yōu)勢和劣勢？4.假設(shè)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了一個(gè)樣本量為1000人的樣本。調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，樣本中品牌A的月均使用頻率比例為40%。請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)95%的置信區(qū)間，用于估計(jì)總體目標(biāo)消費(fèi)者中使用品牌A的月均頻率比例。并簡要解釋置信區(qū)間的含義。5.在實(shí)際抽樣過程中，可能會(huì)遇到無回答問題（例如，部分被訪者拒絕參與調(diào)查）。如果無回答率較高，是否會(huì)影響對(duì)總體參數(shù)的推斷？請(qǐng)說明理由，并提出至少兩種降低無回答率的可能措施。案例三：某農(nóng)場希望估計(jì)其種植的某種作物（例如，小麥）的平均單產(chǎn)水平，以便更好地規(guī)劃銷售和儲(chǔ)存。農(nóng)場共有1000畝耕地，地塊大小不一，地形也存在差異。農(nóng)場主考慮采用抽樣方法獲取樣本地塊的數(shù)據(jù)，然后推斷整個(gè)農(nóng)場的平均單產(chǎn)。問題：1.簡述什么是整群抽樣，并說明在本案例中如何定義“群”（即地塊的劃分方式）。與簡單隨機(jī)抽樣相比，整群抽樣在實(shí)施上可能更方便的地方是什么？但也可能面臨什么主要挑戰(zhàn)？2.另一種考慮是采用多階段抽樣。例如，第一階段隨機(jī)抽取一定數(shù)量的田塊，第二階段再從被抽中的田塊中隨機(jī)抽取具體的小塊進(jìn)行測量。請(qǐng)簡述這種兩階段抽樣（整群抽樣的變種）的基本步驟。與單階段整群抽樣相比，這種多階段抽樣方法的主要優(yōu)點(diǎn)是什么？3.假設(shè)農(nóng)場主決定采用一種系統(tǒng)抽樣的方法來選擇樣本地塊。請(qǐng)說明如何實(shí)施這一過程（至少包括確定抽樣間距的步驟）。這種方法可能適用于哪些特定的情況？請(qǐng)舉例說明。4.在獲得樣本地塊的產(chǎn)量數(shù)據(jù)后，農(nóng)場主需要估計(jì)整個(gè)農(nóng)場的總產(chǎn)量。如果樣本數(shù)據(jù)顯示樣本平均單產(chǎn)為300公斤/畝，抽樣誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤）估計(jì)為5公斤/畝。請(qǐng)使用90%的置信水平，構(gòu)造一個(gè)估計(jì)農(nóng)場總產(chǎn)量的置信區(qū)間（假設(shè)農(nóng)場總面積為1000畝）。請(qǐng)解釋置信區(qū)間的含義及其在農(nóng)場決策中可能的作用。5.除了抽樣方法本身，數(shù)據(jù)收集過程中的哪些因素也可能影響最終產(chǎn)量估計(jì)的準(zhǔn)確性？請(qǐng)至少列舉三個(gè)因素并簡要說明。試卷答案案例一：1.分層抽樣是將總體按照某個(gè)或某些特征劃分為若干互不重疊的子總體（層），然后在每個(gè)層內(nèi)獨(dú)立、隨機(jī)地抽取樣本，最后將各層樣本合并構(gòu)成總體樣本的抽樣方法。其基本原理是縮小層內(nèi)變異、增大層間變異，從而提高樣本代表性。在本案例中，優(yōu)勢在于能確保樣本在餐飲單位的規(guī)模、類型、地域分布等關(guān)鍵特征上更接近總體結(jié)構(gòu)，使得抽樣估計(jì)更精確，特別是當(dāng)不同層別內(nèi)部差異小、層間差異大時(shí)效果更明顯?？尚械姆謱右罁?jù)：①按餐飲單位規(guī)模分層（如小型、中型、大型）；②按餐飲類型分層（如餐館類、快餐類、飲品類、休閑類等）；③按地理位置分層（如按行政區(qū)域或商業(yè)圈劃分）。2.系統(tǒng)抽樣步驟：首先，確定總體單位數(shù)N和樣本量n，計(jì)算抽樣間距k=floor(N/n)。然后，在1到k之間隨機(jī)抽取一個(gè)起始編號(hào)r。最后，按固定間隔k，抽取編號(hào)為r,r+k,r+2k,...,r+(n-1)k的單位，構(gòu)成樣本。需要注意避免的問題：①總體單位排序可能存在周期性或系統(tǒng)性的模式，導(dǎo)致抽樣間隔與模式重合，產(chǎn)生系統(tǒng)偏差（例如，門牌號(hào)、出生日期等）；②抽樣框中存在缺失單位或重復(fù)單位，影響抽樣代表性。3.可以考慮采用整群抽樣。整群抽樣是將總體各單位劃分成若干群，隨機(jī)抽取部分群，然后對(duì)抽中的群內(nèi)所有單位或按一定規(guī)則抽取子單位進(jìn)行觀測的抽樣方法。合適的“群”定義：可以將“群”定義為地理位置相鄰的一組餐飲單位（如一個(gè)街道上的所有餐館），或者同一個(gè)餐飲連鎖品牌在市內(nèi)的所有分店。整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)：行政上方便，組織實(shí)施容易，成本較低。整群抽樣的缺點(diǎn)：通常比同等樣本量的簡單隨機(jī)抽樣效率低（方差通常更大），因?yàn)槿簝?nèi)單位相似性較高（同質(zhì)性），群間差異可能較大。4.分層整群抽樣（或多階段抽樣）的基本思路是：先按某個(gè)主要變量（如區(qū)域）進(jìn)行整群，抽取若干群；然后在抽中的群內(nèi)，再按另一變量（如餐館類型）進(jìn)行分層，并在各層內(nèi)進(jìn)行抽樣（如系統(tǒng)抽樣或簡單隨機(jī)抽樣）。這種方法可能更有效的原因：①結(jié)合了整群抽樣的組織便利性和分層抽樣的代表性優(yōu)勢；②能夠同時(shí)控制群內(nèi)同質(zhì)性和不同群間差異，特別適用于總體結(jié)構(gòu)復(fù)雜、地域分布廣泛的情況，可以提高抽樣效率和估計(jì)精度。案例二：1.計(jì)算公式：n?=(Zα/22*p(1-p))/E2。其中，Zα/2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α/2分位點(diǎn)（95%置信水平下為1.96），p是總體比例的估計(jì)值（若無先驗(yàn)信息，用0.5使n?最大），E是抽樣誤差（5%，即0.05）。計(jì)算：n?=(1.962*0.5*0.5)/0.052=3.8416*0.25/0.0025=960.4。由于樣本量必須為整數(shù)，且通常向上取整，樣本量應(yīng)至少為961人。2.優(yōu)劣比較：簡單隨機(jī)抽樣對(duì)所有單位機(jī)會(huì)均等，但可能忽略重要的層間差異，導(dǎo)致樣本代表性不足。分層隨機(jī)抽樣通過分層確保各層在樣本中都有代表，能更精確地反映總體結(jié)構(gòu)，特別是當(dāng)層內(nèi)同質(zhì)性高、層間異質(zhì)性大時(shí)，估計(jì)精度更高。選擇分層變量：應(yīng)選擇與調(diào)查變量（月均使用頻率）相關(guān)的變量分層，如性別、收入水平、年齡段、居住區(qū)域等。樣本量分配方法：常用的有比例分配法（按各層人口比例分配）和最優(yōu)分配法（考慮各層方差大小和層內(nèi)成本，使總方差最小或成本效率最高）。理由：比例分配簡單易行，符合統(tǒng)計(jì)比例原則；最優(yōu)分配能以相同成本獲得更高精度或以相同精度付出更低成本。在本案例中，若各層抽選成本相近，比例分配是合理起點(diǎn)。3.便利抽樣可能引入的偏差：抽樣偏差（選擇偏差），因?yàn)闃颖静荒艽砜傮w，僅是方便接觸到的部分人群，可能存在系統(tǒng)性的差異（如學(xué)生、商場員工可能更愿意參與，他們的使用頻率可能不代表全體目標(biāo)消費(fèi)者）。潛在優(yōu)勢：實(shí)施快速、成本低廉、易于操作。潛在劣勢：代表性差，結(jié)果難以推廣到總體，結(jié)論的可靠性低，可能存在嚴(yán)重的偏倚。4.置信區(qū)間計(jì)算：點(diǎn)估計(jì)p?=40%=0.4。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.4*0.6/1000]=sqrt(0.24/1000)=sqrt(0.00024)≈0.01549。置信區(qū)間=p?±Zα/2*SE=0.4±1.96*0.01549≈0.4±0.0305。即(0.3695,0.4305)。置信區(qū)間含義：以95%的置信水平相信，真實(shí)的總體目標(biāo)消費(fèi)者中使用品牌A的月均頻率比例落在0.3695到0.4305之間。5.會(huì)影響推斷。無回答可能導(dǎo)致樣本代表性偏離總體，使得基于樣本得出的估計(jì)（如使用頻率比例）有偏。如果無回答者與回答者在使用頻率上存在系統(tǒng)性差異，則估計(jì)偏差會(huì)更嚴(yán)重。降低無回答率的措施：①提前做好溝通，說明調(diào)查目的和重要性；②選擇合適的時(shí)間和方法聯(lián)系被訪者（如工作日白天電話訪問）；③提供小禮品或適當(dāng)報(bào)酬作為激勵(lì)；④設(shè)計(jì)簡潔明了的調(diào)查問卷，方便填寫；⑤進(jìn)行多次追蹤訪問（不同時(shí)間、不同方式）；⑥對(duì)于無法聯(lián)系或拒絕的單元，在條件允許時(shí)采用替代性抽樣方法（如再抽樣）。案例三：1.整群抽樣是將總體劃分為若干群組，隨機(jī)抽取部分群，然后對(duì)抽中的群內(nèi)所有單位或按規(guī)則抽取子單位進(jìn)行觀察的抽樣方法。合適的“群”定義：例如，可以將“群”定義為農(nóng)場內(nèi)按地塊編號(hào)劃分的某個(gè)區(qū)域（如每10個(gè)地塊作為一個(gè)群），或者按灌溉系統(tǒng)劃分的區(qū)域。整群抽樣實(shí)施方便的原因：便于組織、管理和實(shí)施調(diào)查，尤其是在地理上分散的總體中，可以減少travel成本和時(shí)間。2.兩階段抽樣步驟：第一階段，從總體N個(gè)單位中隨機(jī)抽取k個(gè)群（Ki），構(gòu)成初級(jí)樣本。第二階段，在每個(gè)被抽中的群Ki內(nèi)，按某種抽樣方法（如簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣）抽取m個(gè)單位，構(gòu)成次級(jí)樣本。最終樣本由所有抽中的次級(jí)單位組成。主要優(yōu)點(diǎn)：比單階段整群抽樣更靈活，可以針對(duì)不同群的具體情況調(diào)整抽樣策略（如在第二階段）；相比簡單隨機(jī)抽樣，可能更具成本效益和組織效率，尤其是在群間差異較大時(shí)。3.系統(tǒng)抽樣實(shí)施步驟：首先確定總體單位總數(shù)N和所需樣本量n。計(jì)算抽樣間隔k=floor(N/n)。然后，在1到k之間隨機(jī)抽取一個(gè)起始編號(hào)r。最后，按固定間隔k，選取編號(hào)為r,r+k,r+2k,...,r+(n-1)k的單位進(jìn)入樣本。適用的特定情況：當(dāng)抽樣框是有序列表時(shí)（如時(shí)間序列數(shù)據(jù)、門牌號(hào)、學(xué)號(hào)等）；當(dāng)需要均勻分布樣本點(diǎn)時(shí)（如環(huán)境監(jiān)測點(diǎn)選擇）；當(dāng)總體呈現(xiàn)周期性特征時(shí)。舉例：在一個(gè)按時(shí)間順序排列的生產(chǎn)流水線產(chǎn)品中，每隔30分鐘抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。4.總產(chǎn)量估計(jì)：樣本平均單產(chǎn)=300公斤/畝。抽樣誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤）=5公斤/畝。置信水平=90%。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Z0.05=1.645。置信區(qū)間=300±1.645*5=300±8.225。即(291.775,308.225)公斤/畝。構(gòu)造估計(jì)區(qū)間：農(nóng)場總產(chǎn)量=總面積*樣本平均單產(chǎn)。總產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)誤為：SE(總產(chǎn)量)=總面積*SE(樣本平均單產(chǎn))=1000畝*5公斤/畝=5000公斤。90%置信區(qū)間=(總面積*樣本平均單產(chǎn))±Z0.05*SE(總產(chǎn)量)=(1000*300)±1.645*5000=300000±8225。即(291775,308225)