12.3角平分線的性質(zhì)【預(yù)習(xí)知識】一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)詮釋：

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

二、角的平分線的逆定理角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【典例】一、單選題1．如圖，三條公路把A、B、C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處C．在、兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處2．如圖AD是∠BAC的平分線，EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，∠1＝30°，∠BAD的度數(shù)（）A．20° B．30° C．60° D．120°3．如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，BE、CF相交于D，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．120°4．如圖，AB∥CD，∠1=70°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°5．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．若，則點(diǎn)D到的距離是（

）

A． B． C． D．6．如圖，在中，，是角平分線，，，則P到的距離是（

）

A．2 B．3 C．4 D．57．是的角平分線，若，，則點(diǎn)到距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，，點(diǎn)C是內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．且，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．9．小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上．B．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．C．三角形三個內(nèi)角的平分線交于同一個點(diǎn)．D．三角形三個內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等．10．如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC11．慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨(dú)特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種，素有“天然藥庫”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．如圖，三條公路把A、B、C三個盛產(chǎn)中藥材的村莊連成一個三角形區(qū)域，此地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個中藥材批發(fā)市場，要使批發(fā)市場到三條公路的距離相等，則這個批發(fā)市場應(yīng)建在（

）A．三角形的三條中線的交點(diǎn)處 B．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處C．三角形的三條高的交點(diǎn)處 D．以上位置都不對12．三條公路圍成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個學(xué)校，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個學(xué)校應(yīng)建在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)處C．三角形三條高的交點(diǎn)處 D．以上位置都不對13．如圖，在中，是它的角平分線，cm，cm，則（）A．16：9 B．9：1 C．3：4 D．4：314．用尺規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖，能說明的依據(jù)是（

）A． B．C． D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等15．如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，再分別以，為圓心，大于的長分別為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，若，，則的面積為（

）A．30 B．15 C．20 D．5016．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，其中說明的依據(jù)是（）A． B． C． D．17．已知∠AOB，求作射線OP，使OP平分∠AOB作法的合理順序是（

）①作射線OP；②在射線OA、OB上，分別截取OD、OE，使OD＝OE；③分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、大于線段DE長的一半為半徑作圓弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①二、填空題18．如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，的面積為，則線段的長為．

19．如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，，，，則的長是．20．如圖，在中，，平分，，，則點(diǎn)到的距離是．

21．如圖，在中，是的平分線，過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，若，則的長為．

22．如圖，中，，的平分線交于，若，則點(diǎn)到的距離是．23．如圖，射線OQ平分，點(diǎn)P是射線OQ上一點(diǎn)，且于點(diǎn)A，若，則點(diǎn)P到射線的距離等于．24．如下圖，平分，于點(diǎn)A，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，若，，則長的最小值為．25．如圖，，，垂足分別為、，、相交于點(diǎn)，且平分，，則．26．用用直尺和圓規(guī)作一個角的角平分線示意圖如圖所示，則說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（填寫：SSS或SAS或ASA或AAS）．27．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于E，AD=3，DC=4，則DE=．三、解答題28．完成下面的解答過程，并填上適當(dāng)?shù)睦碛桑阎喝鐖D，，平分，平分．求證：．

解：∵（已知）∴（

①

）．∵平分，平分，∴，．∴___②___（

③

）．∴（

④

）．29．已知，用尺規(guī)作的平分線．

30．用尺規(guī)作圖法作的角平分線．（請?zhí)羁?，圖上保留作圖痕跡即可）已知：．求作：的角平分線．作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，_____為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．(2)分別以點(diǎn)_____為圓心，_____為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)C．(3)畫射線，則_____即為所求．31．把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的和，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時MC的長度就等于點(diǎn)M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由．32．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上．（1）求證：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長．參考答案：1．B【分析】根據(jù)三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等即可選擇．【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．2．B【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線即可得到∠BAD的度數(shù)．【詳解】∵EF∥AC，∴∵AD是∠BAC的平分線∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線及平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠FCB和∠EBC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出.【詳解】∵BE、CF是△ABC的角平分線，BE、CF相交于D，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠EBC=∠ABC=25°，∠FCB=∠ACB=35°，∴∠CDE=∠EBC+∠FCB=25°+35°=60°.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線定義和三角形的外角性質(zhì).4．B【分析】由AB∥CD，∠1=70°，可得出∠EFD=∠1=70°，再由角平分線的定義即可得出∠2的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°．又∵FG平分∠EFD，∴∠2=∠EFD=35°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，是基礎(chǔ)題．5．A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即可求解．【詳解】∵平分，，，∴，∴點(diǎn)D到的距離是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．6．A【分析】過P作于D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可求出點(diǎn)P到邊的距離．【詳解】解：過P作于D，

∵，∴，∵是角平分線∴平分，∴，∵，∴，∴點(diǎn)P到邊的距離是2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線上的點(diǎn)角兩邊的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．7．A【分析】如圖所示，過點(diǎn)D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作于E，∵是的角平分線，，∴，∴點(diǎn)到距離為3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，熟知角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得平分，再計算角度．【詳解】解：∵，，，∴平分，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定，注意：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．9．A【分析】如圖，過點(diǎn)P作于E點(diǎn)，于F點(diǎn)，則，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷平分，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作于E點(diǎn)，于F點(diǎn)，∵兩把長方形直尺完全相同，∴，∴平分（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．10．B【分析】過點(diǎn)P分別作PD⊥BA交BA延長線于點(diǎn)D，PE⊥BC交BC延長線于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P分別作PD⊥BA交BA延長線于點(diǎn)D，PE⊥BC交BC延長線于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，∵△ABC的兩個外角的平分線相交于點(diǎn)P，∴PD=PF，PE=PF，∴PD=PE，∴點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．11．B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解∶∵角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，且批發(fā)市場到三條公路的距離相等，∴這個批發(fā)市場應(yīng)建在三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個學(xué)校應(yīng)建在三角形三條角平分線的交點(diǎn)處，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)心，理解和掌握三角形內(nèi)心的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．D【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出的邊上的高與的上的高相等，根據(jù)三角形的面積公式，即可得出與的面積之比等于對應(yīng)邊之比．【詳解】解：∵是的角平分線，∴設(shè)的邊上的高與的上的高分別為∴，∴與的面積之比=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．A【分析】如圖所示，連接，利用證明，即可證明．【詳解】解：如圖所示，連接，由作圖方法可知，又∵，∴，∴，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的尺規(guī)作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．15．B【分析】過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得，為的角平分線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，即可得出，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，∵平分，，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的作圖和角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等．16．A【分析】由作圖可知，，，即得出利用“”證明．【詳解】根據(jù)作圖可知，，，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握三角形全等的判定條件是解題關(guān)鍵．17．C【分析】根據(jù)角平分線的作法排序即可得到答案．【詳解】解：角平分線的作法是：在和上分別截取，，使，分別以為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于P，作射線，故其順序?yàn)棰冖邰伲蔬x：C．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線，掌握角平分線的作圖依據(jù)是解題的關(guān)鍵．18．5【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖描述得出為的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)到的距離，進(jìn)而求出三角形的面積．【詳解】由作法得平分，如圖所示，過點(diǎn)D作于E，∵，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，的面積．∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)并靈活應(yīng)用．19．10【分析】過點(diǎn)D作于F，然后利用角平分線的性質(zhì)得到，然后利用的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：過點(diǎn)D作于F，∵是的角平分線，于點(diǎn)E，∴，∴，解得．故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．20．3【分析】先求出，由角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，即可得到點(diǎn)到的距離．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，

∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴點(diǎn)到的距離是3，故答案為；3【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟記角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．21．5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可．【詳解】∵是的平分線，，，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理．22．4【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可求出點(diǎn)D到的距離．【詳解】解：∵的平分線交于點(diǎn)D，，，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用它求解．23．3【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離解答即可．【詳解】解：作于K，∵平分，∴，∴P到的距離為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．24．2【分析】根據(jù)題意點(diǎn)Q是射線上的一個動點(diǎn)，要求的最小值，需要找出滿足題意的點(diǎn)Q，根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，所以我們過點(diǎn)P作垂直，此時的最短，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得，利用已知的的值即可求出的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)P作，垂足為Q，則為最短距離，∵平分，，，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．2【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可知．【詳解】解：∵，，∴，．∵平分，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理．掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．26．SSS【分析】根據(jù)角平分線的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可證△OMC≌△ONC，即證∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC=∠BOC．故答案為：SSS．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知條件．27．3【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=AD=3．【詳解】解：∵∠A=90°，∴DA⊥BA，又∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∴DE=AD，∵AD=3，∴DE=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．28．兩直線平行，同位角相等

等量代換

同位角相等，兩直線平行【分析】先分析角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定定理，即可寫出答案．【詳解】證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同位角相等）．∵平分，平分，∴，．∴（等量代換）．∴（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，同位角相等；

；等量代換

同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等），及平行線的判定方法（同位角相等，兩直線平行）．牢記平行線的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵．29．見解析【分析】以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑畫弧，與邊、分別相交于點(diǎn)、，再以點(diǎn)、為圓心，以大于長為半徑，畫弧，在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線即為的平分線．【詳解】解：如圖所示，即為所求作的的平分線．

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作