第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年廣東省韶關市新豐一中高二（上）9月月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如果向量a，b是兩個單位向量，那么下列四個結論正確的是(

)A.a=1 B.a=b C.a2.已知樣本數據為x1、x2、x3、x4、x5、x6A.極差 B.平均數 C.中位數 D.方差3.如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F是DE的中點，若AD=a,AB=A.34aB.34C.23D.24.某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是(

)A.至多一次中靶 B.兩次都中靶 C.只有一次中靶 D.兩次都沒中靶5.正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，側棱長為3，則其體積為(

)A.28 B.287 C.286.已知兩個隨機事件A和B，其中P(A)=12，P(B)=38，P(A∪B)=3A.14 B.13 C.127.如圖，圓錐的高PO=2，底面⊙O的直徑AB=2，C是圓上一點，且∠CAB=30°，D為AC的中點，則直線OC和平面PAC所成角的正弦值為(

)

A.12 B.32 C.8.如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5米.設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d(單位：米)(在水面下則d為負數)，若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t(單位：秒)之間的關系為d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,?π2<φ<A.ω=23

B.φ=?π3

C.盛水筒出水后至少經過503秒就可到達最低點

D.盛水筒P二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面向量a=(?1,?2),b=(1,?3)，a與b的夾角為θ，則A.a//b B.a⊥(a?b)

C.θ=45°10.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a：b：c=2：3：4，則下列結論正確的是(

)A.sinA：sinB：sinC=2：3：4B.△ABC的最大內角是最小內角的3倍

C.tanAtanBtanC<0D.若c=4，則△ABC內切圓半徑為11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別是棱ADA.EF⊥B1CB.直線FG與直線A1D所成角為π6

C.三棱錐B?EFG的體積為56D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復數z=i1?i(i為虛數單位)13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若3sinA?cosA=1，a=2，則△ABC的面積的最大值為______．14.已知正四面體內部有一個半徑為6的小球，則正四面體棱長的最小值為______.若小球可以在正四面體內任意滾動，小球與正四面體所有接觸點的軌跡形成的圖形面積為643四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點數，若用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，設A=“兩個點數之和等于8”，B=“至少有一顆骰子的點數為5”．

(1)分別求事件A，B的概率；

(2)求A∩B事件的概率．16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD=AD=12AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中點，G在線段AB上，且滿足AG=3GB．

(1)求證：DE//平面PBC；

(2)求點G到平面17.(本小題15分)

為了解高一年級學生身體素質的基本情況，抽取部分高一年級學生開展體質健康能力測試，滿分100分.參加測試的學生共40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計全校高一年級體測成績的60%分位數；

(2)為提升同學們的身體素質，校方準備增設體育課的活動項目.現采用分層抽樣的方法，從得分在[70,90)內的學生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求兩人得分分別來自[70,80)和[80,90)的概率；

(3)現已知直方圖中考核得分在[70,80)內的平均數為75，方差為9，在[80,90)內的平均數為85，方差為4，求得分在[70,90)內的平均數和方差．18.(本小題17分)

已知函數f(x)=3sinxcosx+sin2x+m(x∈R)的最小值為?1．

(1)求m的值；

(2)當x∈[0,n](n>0)時，函數f(x)的取值范圍是[?12,1]，求n19.(本小題17分)

在棱長均為2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，E為棱B1C1的中點，F為棱BB1的動點，連接AE、EF、AF．

(1)證明：AE⊥BC；

(2)線段BB1上是否存在點F，使得二面角A?EF?C的正切值為2，若存在，請求出BF的長度；若不存在，請說明理由；

(3)平面AEF與棱A1C1交于點G

參考答案1C

2C

3A

4D

5D

6D

7C

8D

9BC

10ACD

11AC

12二

1331412

20

15(1)拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的六面體骰子，總的基本事件數為6×6=36種，

事件A=“兩個點數之和等于8”，而滿足x+y=8的(x,y)有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5種，

根據古典概型概率公式，可得P(A)=536．

事件B=“至少有一顆骰子的點數為5”，滿足至少有一顆骰子的點數為5的(x,y)有：

當紅色骰子點數為5時，綠色骰子點數可以是1，2，3，4，5，6，共6種，

當綠色骰子點數為5時，紅色骰子點數可以是1，2，3，4，5，6，共6種，

其中(5,5)重復計算了一次，所以滿足條件的基本事件數為6+6?1=11種，

根據古典概型概率公式，可得P(B)=1136．

(2)A∩B表示“兩個點數之和等于8且至少有一顆骰子的點數為5”，

滿足條件的(x,y)有：(3,5)，(5,3)，共2種，16.解：(1)證明：取PB的中點F，連接EF，CF，

∵E是PA中點，F是PB中點，

∴EF//AB，且EF=12AB，

∴CD//AB，且CD=12AB，

∴EF//CD，且EF=CD，

∴四邊形CDEF是平行四邊形，

∴DE//CF，又CF?平面PBC，DE?平面PBC，

∴DE//平面PBC；

(2)由題知AG=3GB，AG+GB=AB=4，

∴AG=3，BG=1，

設點G到平面PBC的距離為d，∵PD⊥平面ABCD，∠PAD=45°，

∴PD⊥CD，PD=2，又CD=2，

∴PC=22，又PD⊥BD,PD=2,BD=25，

∴PB=26，易得BC=22，

在△PBC中，CB=CP，BF=PF，

∴CF⊥PB，

∵VG?PBC=VP?BCG，

17.(1)根據題意可得(0.01+0.015+0.02+t+0.025)×10=1，解得t=0.03；

因為前幾組的頻率依次為0.1，0.15，0.2，0.3，

所以成績的60%分位數在[80,90)內，且估計為80+0.6?0.1?0.15?0.20.03=85；

(2)因為[70,80)和[80,90)的頻率之比為0.2：0.3=2：3，

所以[70,80)中抽2人，[80,90)中抽3人，

所以再從這5人中挑出2人進行試課，則兩人得分分別來自[70,80)和[80,90)的概率為C21?C31C52=35；

(3)因為[70,80)和[80,90)的頻率之比為0.2：0.3=2：3，

且得分在[70,80)內的平均數為75，方差為9，在[80,90)內的平均數為8518.(1)由題意f(x)=3sinxcosx+sin2x+m=32sin2x+1?cos2x2+m=sin(2x?π6)+12+m(x∈R)，

由題意可得?1+12+m=?1，解得m=?12；

(2)當x∈[0,n](n>0)時，2x?π6∈[?π6,2n?π6]，

因為當x∈[0,n](n>0)時，函數f(x)的取值范圍是[?12,1]，

所以π2≤2n?19.(1)證明：連接AC1，AB1，由題意可得四邊形ACC1A1，四邊形ABB1A1都是邊長為2的正方形，

則AC1=AB1，又E為棱B1C1的中點，

則AE⊥B1C1，

又BC//B1C1，故AE⊥BC；

(2)取BC中點O，連接AO，CF，過點O作OH⊥EF于點H，連接AH、OE，

由△ABC為正三角形，則AO⊥BC，又BB1⊥底面ABC，

AO?平面ABC，故BB?1⊥AO，

又BC∩BB1=B，BC、BB1?平面EFC，

故AO⊥平面EFC，又OH、EF?平面EFC，

故AO⊥OH，AO⊥EF，又OH⊥EF，OH∩AO=O，OH、AO?平面AHO，

故EF⊥平面AOH，又AH?平面AOH，