第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年湖北省孝感市高二（上）起點數(shù)學試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=5i3?2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在平行四邊形ABCD中，BE=4EC，點F是線段DE的中點，若AF=λAB+μA.1 B.34 C.910 3.如圖，已知△OAB的平面直觀圖是等腰直角△O′A′B′，且∠O′A′B′=π2，O′B′=2，則△OAB的面積是(

)A.22

B.2

C.14.某運動員每次投擲飛鏢命中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：

02?93?12?25?85?69?68?34?31?45?73?93?28?75?56?35?87?30?11?07

據(jù)此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為(

)A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.355.已知非零向量a，b，滿足|a|=2|b|，且(a+b)⊥A.π6 B.π3 C.2π36.已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若l//m，l//α，m//β，則α//βB.若l⊥m，l⊥α，m//β，則α//β

C.若α//β，l?α，m?β，則l//mD.若l⊥m，l⊥α，m⊥β，則α⊥β7.甲、乙、丙、丁對某組數(shù)據(jù)(該組數(shù)據(jù)由5個整數(shù)組成)進行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于13的是(

)A.甲：中位數(shù)為10，眾數(shù)為12 B.乙：中位數(shù)為10，極差為3

C.丙：平均數(shù)為9，方差為145 D.?。浩骄鶖?shù)為9，極差為8.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2bcosC+2ccosB=a2，acosC+3asinC=b+c，O為△ABC的外心，則A.?233 B.23二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是12,13，則題被解出的概率是23

B.若A，B是互斥事件，則P(AB)=P(A)P(B)

C.某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，樣本按比例分配，則初級教師應(yīng)抽取1510.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，EA.EB1⊥AD1

B.點E到直線A1B1的距離為2a

C.直線AE與B1D1所成角的范圍為(π4,π2)

D.二面角E?A1B1?A的大小為π4

11.在平面直角坐標系中，可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量A.若a=(i,1?i),b=(2,3+i)，則a?b=2?2i

B.若a=(i,1?i),b=(2,3+i)，則|a?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(θ∈R)，則|z?i|的最大值為______．13.若a=(?1,1),b=(1,2)，則a在b上投影向量的坐標為______．14.如圖，在三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD=2，已知動點E從C點出發(fā)，沿四棱錐的外表面經(jīng)過棱AD上一點到點B的最短距離為17四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖是一塊正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的工藝石料，該四棱臺的上、下底面的邊長分別為2dm和4dm，高為3dm．

(1)求四棱臺ABCD?16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量m,n滿足m=(2a,?3)，n=(sinB,b)，且m⊥n．

(1)求角A；

17.(本小題15分)

2025年7月19日，雅魯藏布江墨脫水電站正式宣布全面開工.這項總投資1.2萬億元的超級工程，以規(guī)劃6000萬千瓦裝機容量(相當于三峽電站的三倍)、年均發(fā)電量3000億千瓦時的規(guī)模，刷新了全球水電史紀錄.某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量(單位：千瓦時)劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.6元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費．

(1)求某戶居民用電費用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時)的函數(shù)解析式；

(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過220元的占80%，求a，b的值；

(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的75%分位數(shù)．18.(本小題17分)

為了激發(fā)學生的閱讀興趣，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券，其它情況均不能獲得書券.游戲規(guī)則如下表：箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個

紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”項目游戲一游戲二游戲三取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為m獲勝(1)分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；

(2)當m=5時，求游戲三的獲勝概率；

(3)一名同學首先玩游戲一，試問m為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大？19.(本小題17分)

已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)面CDD1C1為矩形，∠BAD=∠ABC=60°，AB=3，AD=2，BC=1，AA1=17,AE=2EB．

(1)求證：DE//平面A

參考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.2

13.(114.13π

15.(1)如圖所示：

分別取B1C1，BC中點M，N，作MH⊥ON交ON于H，

因為O1O//MH，O1M//OH，且O1O⊥OH，

所以四邊形OHMO1為矩形，

所以O(shè)1O=MH=3dm，O1M=1dm，ON=2dm，HN=ON?OH=1dm，

所以MN=MH2+HN2=9+1=10dm，

所以四棱臺16.(1)∵m⊥n，且m=(2a,?3)，n=(sinB,b)，

∴2a?sinB?3b=0，即2a?sinB=3b，

∴2sinAsinB=3sinB，

∵sinB≠0，

∴sinA=32，

∵A∈(0,π)，

∴A=π3或A=23π；

(2)∵a=3，且三角形ABC為銳角三角形，可得A=π3，

∴asinA=bsinB17.(1)由題意，可得當0≤x≤200時，y=0.5x；

當200<x≤400時，y=0.5×200+0.6×(x?200)=0.6x?20；

當x>400時，y=0.5×200+0.6×200+0.8(x?400)=0.8x?100，

所以y與x之間的函數(shù)解析式為：y=0.5x,0≤x≤200,0.6x?20,200<x≤400,0.8x?100,x>400.

(2)由(1)可知，當y=220時，x=400，即用電量不超過400千瓦時的占80%，

所以0.001×100+2×100b+0.003×100=0.8100a+0.0005×100=0.2，

解得a=0.0015，b=0.0020．

(3)因為用電量低于300千瓦時的所占比例為：

(0.0010+0.0020+0.0030)×100=0.6，

用電量低于400千瓦時的占80%，所以75%分位數(shù)在[300,400]內(nèi)，

所以300+0.75?0.60.8?0.6×100=37518.(1)設(shè)事件A為“游戲一獲勝”，

游戲一中樣本空間Ω1={1,2,3,4,5}，n(Ω1)=5，A={4,5}，

n(A)=2，則P(A)=n(A)n(Ω1)=25．

設(shè)事件B為“游戲二獲勝”，

游戲二中樣本空間Ω2={(x,y)|x，y∈{1,2,3,4,5}}，n(Ω2)=25，

B={(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)}，n(B)=4，

則P(B)=n(B)n(Ω2)=425.因此游戲一獲勝概率為25，游戲二獲勝概率為425；

(2)游戲三中，不放回地依次取兩個球，樣本個數(shù)為5×4=20個，

當m=5時，滿足條件的樣本點為：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4個，

因此獲勝概率為420=15，

因此當m=5時，游戲三獲勝概率為15；

(3)設(shè)事件C為“游戲三獲勝”，事件M為“玩游戲一后先玩游戲二再玩游戲三，獲得書券”，

事件N為“玩游戲一后先玩游戲三再玩游戲二，獲得書券”．

M=ABC?∪A?BC∪ABC，且ABC第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×當m=3或4或8或9時，P(C)=220=110<425；

當m=5或6或7時，P(C)=420=19.(1)證明：因為AE=2EB，AB=3，可得AE=2，又因為AD=2，∠BAD=60°，

因此△ADE是等邊三角形，因此DE=2，∠AED=60°，

又因為∠ABC=60°，因此DE//BC，

又因為BC?平面A1BC，DE?平面A1BC，因此DE//平面A1BC；

(2)證明：由側(cè)面CDD1C1為矩形，可得CD⊥DD1，

連接CE，因為EB=BC=1，∠EBC=60°，則△BCE是等邊三角形，因此∠BEC=60°，

由(1)知，∠AED=60°，則∠DEC=60°，又因為DE=2，CE=1，

在△DEC中，由余弦定理可得DC2=12+22?2×1×2×12=3，因此DC2+CE2=DE2，

因此∠ECD=90°，∠EDC=30°，又因為∠ADE=60°，則∠ADC=90°，因此AD⊥CD，

又因為AD∩