第23章圖形的相似（高效培優(yōu)單元測試·強(qiáng)化卷）（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（本題3分）如圖，已知，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用相似三角形的性質(zhì)解決問題．利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵，，故選：A．2．（本題3分）若一張地圖的比例尺是，在地圖上量得甲、乙兩地的距離是，則甲、乙兩地的實(shí)際距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了比例尺，用到的知識點(diǎn)是比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)列出方程，注意單位的換算．設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離是，根據(jù)題意得，求出的值，再把單位換算為即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離是，根據(jù)題意得：，解得，．故選：D．3．（本題3分）如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是．（填序號）（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．先求出所有三角形的邊長，由相似三角形的判定可求解．【詳解】解：圖形①的三邊為：；圖形②的三邊為：；圖形③的三邊為：；圖形④的三邊為：，∵，∴①與③相似，故網(wǎng)格中相似的兩個三角形是①③．故選：B．4．（本題3分）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊上一個動點(diǎn)，在下列條件中，不能使與相似的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，準(zhǔn)確掌握和熟練的應(yīng)用相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形可得，結(jié)合相似三角形的判定依據(jù)，只需從兩個三角形中再找另一組角相等或者是這組相等角的夾邊成比例，可得三角形相似來解決問題．【詳解】解：A、∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故不符合題意；B、∵，，∴，故不符合題意；C、∵，，∴，故不符合題意；D、兩邊對應(yīng)成比例，但是夾角不相等，故不能證明相似，符合題意，故選：D．5．（本題3分）如圖，，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．延長到點(diǎn)使，與格線交于點(diǎn)，連接，，利用網(wǎng)格特征得到，，再證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：延長到點(diǎn)使，與格線交于點(diǎn)，連接，，則，，，，，故選：C．6．（本題3分）如圖，直線，直線分別交，，于點(diǎn)A，B，C，直線分別交，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線與相交于點(diǎn)G，若，，則=（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容、找準(zhǔn)對應(yīng)線段列出比例式是解題的關(guān)鍵．由，，不妨設(shè)，，，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即可得解．【詳解】解：由，，不妨設(shè)，，，故選：C．7．（本題3分）下列說法正確的是（

）A．兩個三角形的面積比是，則這兩個三角形對應(yīng)中線的比也是B．對角線相等的平行四邊形是矩形C．若一個四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則這個四邊形必是矩形D．一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，矩形的判定，中點(diǎn)四邊形，根的判別式，根據(jù)相關(guān)知識點(diǎn)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩個相似三角形的面積比為，則這兩個三角形對應(yīng)中線的比為，原說法錯誤，不符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，原說法正確，符合題意；C、若一個四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線相等，不一定是矩形，原說法錯誤，不符合題意；D、，故一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，原說法錯誤，不符合題意；故選：B．8．（本題3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心，把這個三角形放大為原來的2倍，得到，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了位似變換：位似圖形與坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為或，即或，故選：D．9．（本題3分）如圖，是的斜邊上異于、的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似，則過點(diǎn)滿足這樣條件的直線最多有（

）條．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，由于是直角三角形，過點(diǎn)作直線截，則截得的三角形與有一個公共角，故只要再作一個直角即可使截得的三角形與相似，由此作圖即可得解，熟練掌握相似三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由于是直角三角形，過點(diǎn)作直線截，則截得的三角形與有一個公共角，故只要再作一個直角即可使截得的三角形與相似，如圖，過點(diǎn)可作的垂線、的垂線、的垂線，共條直線，故選：C．10．（本題3分）如圖，和均為等邊三角形，點(diǎn)在邊上，連接并延長交于點(diǎn)，連接．則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)不難求得，則有，從而可求得，即可求得，則A正確；不難求得，則有，從而可判斷B正確；只有當(dāng)時，即，重合時，，，，此時，其它情況不成立，故C錯誤；首先證得，，，，從而得，故D正確．【詳解】解：和均為等邊三角形，，，，在和中，，，，，，，，，故A正確；，，，，，故B正確；，，，只有當(dāng)時，即，重合時，，，此時，其它情況不成立，故C錯誤；，，，，，，，，故D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角，邊與邊之間的關(guān)系．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）11．（本題3分）已知，則的值為【答案】2【分析】此題考查了比例的性質(zhì)．設(shè)，則，，，代入即可求解．【詳解】解：∵，∴設(shè)，∴，，，∴，故答案為：2．12．（本題3分）已知：線段，點(diǎn)C是的黃金分割點(diǎn)，則．【答案】或【分析】本題主要考查了黃金分割點(diǎn)的定義和二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點(diǎn)的定義．利用黃金分割點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵C為線段的黃金分割點(diǎn)，則,或；故答案為：或．13．（本題3分）如圖，與關(guān)于點(diǎn)位似，已知，則與的面積比為．【答案】【分析】本題考查位似圖形的概念，相似三角形的性質(zhì)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．先根據(jù)位似圖形的概念求出與關(guān)的相似比，再根據(jù)相似的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方解題即可．【詳解】解：∵，∴，，∵與關(guān)于點(diǎn)位似，∴，∴，∴，∴．故答案為：14．（本題3分）如圖，在中，D是上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，若，則的長為．【答案】5【分析】本題主要利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理來求解的長度．首先，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定；然后，利用三角形中位線定理計算的長度．【詳解】又∴是的中位線，故答案為：5.15．（本題3分）有一個側(cè)面為梯形的容器，高為8cm，內(nèi)部倒入高為6cm的水．將一根長為18cm的吸管如圖放置，若有2cm露出容器外，則吸管在水中部分的長度為cm．【答案】12【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識點(diǎn)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到的長．【詳解】解∶過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴設(shè)，則，∵的高為∶，∴，∴，∴解得：，故答案為：12．16．（本題3分）已知三個邊長分別為2、3、5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分面積為．【答案】3.75【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．利用三角形相似可求出陰影部分的面積．根據(jù)，可將的長求出，由的長可將的長求出，同理根據(jù)，可將的長求出，由的長可將的長求出，代入梯形的面積公式可將陰影部分的面積求出．【詳解】解：如圖，∵,,，即，解得：同理可得：，即，解得：梯形的面積為：故圖中陰影部分面積為3.75．故答案為：3.75三、解答題（本題共7小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（本題8分）如圖，在中，，是邊上高，若，．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）通過尋找兩個三角形中相等的角，利用兩角分別相等來證明相似．（2）先利用勾股定理求出斜邊的長度，再根據(jù)三角形面積的兩種不同表示方法，建立等式求出的長．本題主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面積公式，熟練掌握相似三角形的判定定理和利用面積法求高是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．18．（本題8分）如圖，四邊形是的內(nèi)接矩形，是的高，，，求矩形的周長．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．設(shè)交于點(diǎn)L，由，得，由證明，而，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)求出的長，進(jìn)而求出的長，周長公式求出矩形的周長即可．【詳解】解：設(shè)交于點(diǎn)L，∵，∴，∵四邊形是矩形，且點(diǎn)D、G分別在上，邊在邊上，∴，，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：解得，∴，，∴，∴矩形的周長為．19．（本題10分）已知，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是一個單位長度．(1)畫出向左平移4個單位長度得到的，點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出，使與位似，且位似比為，點(diǎn)的坐標(biāo)是；（畫出圖形）(3)的面積是平方單位．【答案】(1)見解析，(2)見解析，(3)10【分析】本題主要考查了平移變換、位似變換以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)分別向左平移4個單位得到對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；（3）割補(bǔ)法求解可得．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：；（2）解：如圖所示，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：；（3）解：的面積，故答案為：10；20．（本題10分）圖①、圖②、圖③均為的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上．分別在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺按要求畫圖（不要求寫出畫法，但要保留必要的痕跡）(1)在圖①中，過點(diǎn)畫直線．(2)在圖②中，過點(diǎn)畫直線．(3)在圖③中，在邊上取一點(diǎn)，使得【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析【分析】本題考查的是格點(diǎn)作圖，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；（1）把向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到點(diǎn)，作直線即可；（2）取格點(diǎn)，作直線交于即可；（3）取格點(diǎn)，連接，交于即可．【詳解】（1）解：如圖①中，直線即為所求；（2）解：如圖②中，直線即為所求；理由如下：由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（3）解：如圖，點(diǎn)即為所求；理由如下：由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：，，，∴，∴，∴.21．（本題10分）小明家窗外有一個路燈，每天晚上燈光都會透過窗戶照進(jìn)房間里，小明想利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識測量這個路燈的高．如圖，路燈頂部處發(fā)光，光線透過窗子照亮地面的長度為（點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)、、在一條直線上），小明測得窗戶距離地面高度，窗高，，，其中、、、四點(diǎn)在同一條直線上，、、三點(diǎn)在同一條直線上，且，．求出路燈的高度．【答案】路燈的高度為【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，又，，，，即，，解得：，答：路燈的高度為．22．（本題12分）如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)為線段延長線上一點(diǎn)，且滿足，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）證明：連接交于點(diǎn)，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．23．（本題14分）在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點(diǎn)．(1)當(dāng)是邊中點(diǎn)時，①如圖（1），聯(lián)結(jié)，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯(lián)結(jié)，交邊于點(diǎn)，求的值；(2)如圖（3）所示，聯(lián)結(jié)，，如果，，，．求的長．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①延長交于H，可證明，得到，則可證明，得到，則；②如圖所示，延長交于M，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，證明，，得到，，則；設(shè)，則，，進(jìn)而可得，即可得到；可證明，，設(shè)，則，則，據(jù)此可得答案；（2）延長交于M，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，，再證明，得到，求出，設(shè)，則由相似三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得；再由，得到，則，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：