專題01二次根式化簡的五大題型題型一：已知字母的范圍進行化簡或求值題型二：根據(jù)數(shù)軸進行化簡題型三：根號外字母移到根號內(nèi)進行化簡題型四：復(fù)合二次根式的化簡題型五：分母有理化化簡題型一：已知字母的范圍進行化簡或求值1．已知，則化簡后為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可得．【詳解】解：由二次根式有意義的條件得：，又∵，∴，∴，故選：B．2．若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】本題主要考查了化簡絕對值、二次根式的性質(zhì)、完全平方公式等知識，根據(jù)題意可得，，將整理為，根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)，化簡求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故選：C．3．若，，且，，則的值為（

）A． B．7 C． D．3【答案】A【分析】本題考查的是二次根式性質(zhì)、絕對值性質(zhì)及代數(shù)式求值，根據(jù)題意先求出，再代入計算求值即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，故選：A．4．設(shè)實數(shù)，則的化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，整式的加減等知識，先根據(jù)判斷出，，，，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義化簡，最后合并同類項即可．【詳解】解：∵，∴，，，，，∴，∴，故選：A．5．當(dāng)時，化簡的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．6．若，化簡的正確結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的化簡，化簡絕對值，先判斷，，再利用二次根式的性質(zhì)與絕對值的性質(zhì)化簡，再合并即可．【詳解】，，故選B．7．當(dāng)時，化簡的結(jié)果是．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．8．若點與點關(guān)于點成中心對稱，則．【答案】/【分析】本題考查了成中心對稱的點的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)成中心對稱的兩個點之間的坐標(biāo)關(guān)系求出，即可解決問題．【詳解】解：點與點關(guān)于點中心對稱，，，解得，，∴故答案為：．9．若，則化簡為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再算乘除法，即可求解．【詳解】解：，．故答案為：．10．先化簡，再求值：，其中．如圖是小亮和小芳的解答過程．(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)小亮(2)(3)，【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．（1）小亮的解法錯誤；（2）因為，利用此性質(zhì)即可判斷；（3）可化為，利用進行化簡，再進一步計算求值即可．【詳解】（1）答：小亮的解法錯誤，故答案為：小亮；（2）解：∵，∴當(dāng)時，，，，，；故答案為：；（3）解：當(dāng)時，，，，，．11．當(dāng)時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當(dāng)時，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)進行化簡即可求出答案．【詳解】（1）解：小亮的解法中：，當(dāng)時，，∴小亮的解法是錯誤的；故答案為：小亮.（2）解：由（1）知，錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；故答案為：.（3）解：∵，∴，，∴原式．12．已知，化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式性質(zhì)的應(yīng)用以及絕對值化簡，先根據(jù)的取值范圍判斷的正負性，再利用二次根式的性質(zhì)化為絕對值，去掉絕對值符號后合并同類項即可．【詳解】故答案為：．題型二：根據(jù)數(shù)軸進行化簡13．若，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件，解不等式組，由題意可得，然后解不等式組并在數(shù)軸上表示即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的取值范圍在數(shù)軸上表示為，故選：．14．若實數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)、化簡絕對值、實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)實數(shù)a在數(shù)軸上的位置得到，再根據(jù)及絕對值的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：由數(shù)軸得，∴，故選：C．15．已知實數(shù)、、在數(shù)軸上如圖，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，立方根，絕對值，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由數(shù)軸易得，則，，然后利用立方根的定義，絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)化簡并計算即可．【詳解】解：由數(shù)軸易得，則，，原式，故選：D．16．實數(shù)a，b表示的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則將化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，化簡二次根式，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，∴；故選D．17．實數(shù)a、b在數(shù)軸上位置如圖所示，則化簡的結(jié)果（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】此題主要考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡，實數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)a，b在數(shù)軸上的位置判斷各數(shù)的符號以及絕對值的大小．首先結(jié)合數(shù)軸確定，易得，然后再根據(jù)運算法則進行計算，即可獲得答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，∴，∴，故選：A．18．如圖，點、、、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為、、、，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸的特征和應(yīng)用，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)可知，，，進而逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得，∴，，，，故選：B．19．已知實數(shù)a，b，c對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡=．【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，化簡二次根式和絕對值，有理數(shù)的加減運算法則，正確推出是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由數(shù)軸，得，∴，∴．20．實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是．【答案】/【分析】本題考查了數(shù)軸的定義、絕對值運算、利用二次根式的性質(zhì)化簡、整式的加減．先根據(jù)數(shù)軸的定義得出，再根據(jù)絕對值運算、算術(shù)平方根進行化簡，然后計算整式的加減即可得．【詳解】解：由題意得：，則．故答案為：．21．實數(shù)，，在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖，那么化簡的結(jié)果是．【答案】/【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷式子的符號，化簡絕對值，平方根的性質(zhì)，立方根的定義等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的性質(zhì)，平方根的性質(zhì)，立方根的定義進行化簡，然后根據(jù)整式的加減進行計算即可．【詳解】解：由數(shù)軸知：，∴，，∴，故答案為：．22．表示實數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)，化簡絕對值，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負，熟練掌握知識點并運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．先確定各數(shù)的大小，然后將二次根式的式子化成絕對值形式，再利用去絕對值的法則進行化簡，最后合并同類項即可．【詳解】解：通過數(shù)軸可知，，∴．23．如圖，a,b,c是數(shù)軸上三個點A,B,C所對應(yīng)的實數(shù)．

(1)填空：_______________________________________(2)化簡：【答案】(1)；；(2)【分析】（1）先根據(jù)數(shù)軸得到點表示數(shù)的大小，然后進行化簡即可；（2）根據(jù)（1）中得到的結(jié)果進行計算．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：，∴，，，故答案為：；；；（2）解：由（1）可得，，，∴．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸、二次根式的性質(zhì)和概念、化簡絕對值、求一個數(shù)的立方根，從數(shù)軸上得到點所代表數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．題型三：根號外字母移到根號內(nèi)進行化簡24．將式子根式外的因式移到根式內(nèi)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可得．【詳解】解：由題意得：，且，∴，則，故選：C．25．把式子中根號外的移到根號內(nèi)，結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，先根據(jù)二次根式有意義的條件求出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把根號外的因式平方后移入根號內(nèi)，即可得出答案．【詳解】∵要是根式有意義，必須，∴，∴，故選：C．26．把中根號外面的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)．根據(jù)可得，所以移入括號內(nèi)為進行計算即可．【詳解】解：根據(jù)根式的性質(zhì)可得可得，因此．故選：C．27．把根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)二次根式有意義得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴，故選：A．28．將中根號外的數(shù)移到根號內(nèi)，所得的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得把放到根號內(nèi)并變?yōu)?，即可得到答案，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：．29．將中根號外的移到根號里后得到的式子為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：由題意可知：，，故選：A．30．把根號外的因式移到根號內(nèi)，所得的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了二次根式的性質(zhì)，把放到根號內(nèi)并變?yōu)?，即可得到答案．【詳解】解：．故選：C．題型四：復(fù)合二次根式的化簡31．已知，則（

）A． B． C． D．2a【答案】C【分析】本題考查復(fù)合二次根式的化簡，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，進而可得出答案【詳解】解：令，∴，∴，∴，移項，兩邊平方得，解得：，∴，∴，故選：C32．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的運算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)簡結(jié)合利用完全平方公式計算即可解題．【詳解】解：原式，故選：D．33．已知正整數(shù)滿足．則這樣的的取值（

）．A．有一組 B．有二組 C．多于二組 D．不存在【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則進行計算．根據(jù)，得出，即可得出，，，根據(jù)，分三種情況求出的值進行驗證即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，，又∵，當(dāng)時，不合題意，當(dāng)時，不合題意，當(dāng)時，符合題意，滿足條件的取值只有1組．故選：A．34．①化簡．②已知：，則．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用；①根據(jù)完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解；②根據(jù)已知得出，進而可得，根據(jù)完全平方公式變形得出，進而根據(jù)完全平方公式進行計算即可求解．【詳解】解：①故答案為：．②∵∴，即∴，∴，∴∴即∴故答案為：．35．形如的根式叫做復(fù)合二次根式，把變成叫做復(fù)合二次根式的化簡，請將復(fù)合二次根式化簡為．【答案】/【分析】先把10拆成與的平方和，則可寫成完全平方式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：；故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)：．也考查了完全平方公式的運用．36．閱讀材料：如果我們能找到兩個正整數(shù)，使且，這樣，那么我們就稱為“和諧二次根式”，則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”．例如：，根據(jù)閱讀材料解決下列問題：化簡“和諧二次根式”．【答案】/【分析】仿照題意進行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了化簡復(fù)合二次根式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．37．計算的結(jié)果是．【答案】【分析】注意到，故可將原式化為，然后探尋，進而得解．【詳解】解：；故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，數(shù)字比較大，正確找到是解題的關(guān)鍵.38．像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式，有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：再如：根據(jù)上述方法解決下列問題：(1)化簡：①；②；(2)化簡：；(3)化簡：．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本題考查了完全平方公式，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡．熟練掌握完全平方公式，利用二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）先將湊成完全平方式，逐步對內(nèi)部被開方數(shù)化簡，計算即可．【詳解】（1）解：①．②．（2）解：設(shè)，兩邊平方可得：，所以．則．又因為，所以．（3）∵，∴．∴，∵，∴．∴，∵，∴．∴原式．39．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：若設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)若，當(dāng)、、、均為整數(shù)時，用含、的式子分別表示、，得：______，______；(2)若，且、、均為正整數(shù)，求的值；(3)化簡：．【答案】(1)，(2)的值為或(3)【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、整式的加減、完全平方式，熟練掌握完全平方式的應(yīng)用，讀懂材料明確題意是解題關(guān)鍵．（1）仔細閱讀材料根據(jù)探索得問題，通過完全平方公式去掉括號表示出、；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出，，根據(jù)，，均為整數(shù)，分兩種情況求出，；（3）設(shè)，兩邊平方并結(jié)合題意計算得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：，，(，，，均為整數(shù)），，，故答案為：，；（2）解：，，(，，均為整數(shù)），，，，①，，，②，，，綜上所述：或；（3）解：設(shè)，則，∴原式．題型五：分母有理化化簡40．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理數(shù)，已知字母的值求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用求解．先利用，分別求出，，，再代入計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，，，所以，所以，，，所以，故選：A．41．化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查分母有理化，根據(jù)題意利用平方差知識，分子分母同時乘以，繼而得到本題答案．【詳解】解：，故選：A．42．化簡結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的化簡，平方差公式，通過分母有理化，將原式中的分母根號消去，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)形式．【詳解】解：．故選A．43．已知：，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式的大小比較，分母有理化，先分別表示出，再比較分母即可.【詳解】解：，，，，，即.故選：D.44．計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡，先化簡分母，再約分，最后分母有理化，即可解題．【詳解】解：；故答案為：．45．化簡【答案】【分析】通過有理化分母來簡化表達式即可．本題主要考查了根式的化簡與有理化分母，熟練掌握如何通過有理化分母來簡化根式表達式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：故答案為：．46．已知，那么的值是．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，先把進行分母有理化，然后利用完全平方公式將所求代數(shù)式變形為，最后代入計算即可，正確將進行分母有理化是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．47．設(shè)，則．【答案】/0.2【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，結(jié)合式子特征找出規(guī)律，再進行計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得第n項為：則有：；所以，，故答案為：．48．閱讀理解：，，兩個含有二次根式的式子相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個式子互為有理化因式，愛動腦筋的小明同學(xué)在進行二次根式計算時，利用有理化因式化去分母中的根號．例1：例2：問題解決：(1)的有理化因式是；(2)化簡：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分母有理化，運用平方差公式進行運算，二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用求解．（1）運用平方差公式進行運算得出有理化因式；（2）先將前面小括號里各項分母有理化，再相加，然后利用平方差公式進行運算．【詳解】（1）解：∵，∴的有理化因式是，