高一數(shù)學(xué)幾何專題復(fù)習(xí)資料幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的重要分支，它不僅鍛煉我們的空間想象能力和邏輯推理能力，也為后續(xù)更高級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。高一階段的幾何學(xué)習(xí)，主要集中在立體幾何初步和解析幾何初步（平面解析幾何中的直線與圓）。本專題復(fù)習(xí)資料旨在幫助同學(xué)們梳理知識脈絡(luò)，鞏固重點，突破難點，提升解題能力。一、立體幾何初步立體幾何是研究空間幾何體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科。學(xué)習(xí)立體幾何，首先要建立起清晰的空間概念，學(xué)會從不同角度觀察和分析幾何體。（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.多面體與旋轉(zhuǎn)體：*多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體，如棱柱、棱錐、棱臺。注意其底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點等基本元素的特征。*棱柱：有兩個面互相平行（底面），其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行。按底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱柱、四棱柱等。*棱錐：有一個面是多邊形（底面），其余各面都是有一個公共頂點的三角形（側(cè)面）。按底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱錐、四棱錐等。*棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分。其各側(cè)棱延長后交于一點。*旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，如圓柱、圓錐、圓臺、球。*圓柱：矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。*圓錐：直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。*圓臺：直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，或用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分。*球：半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。球面上任意一點到球心的距離都相等，這個距離稱為球的半徑。2.簡單組合體：由上述基本幾何體拼接、截去或挖去一部分而成的幾何體。識別組合體的構(gòu)成，有助于我們進(jìn)行表面積和體積的計算。（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1.三視圖：*正視圖：從幾何體的正前方觀察得到的視圖，反映幾何體的高度和長度。*側(cè)視圖：從幾何體的正左方觀察得到的視圖，反映幾何體的高度和寬度。*俯視圖：從幾何體的正上方觀察得到的視圖，反映幾何體的長度和寬度。*畫圖原則：長對正（正俯同長）、高平齊（正側(cè)同高）、寬相等（側(cè)俯同寬）。注意實線與虛線的區(qū)別，看得見的輪廓線畫實線，看不見的畫虛線。2.直觀圖：常用斜二測畫法來畫。其規(guī)則是：*在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，畫直觀圖時，將兩軸畫成相交成45°（或135°）的坐標(biāo)系。*已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半。*直觀圖的面積與原圖形面積的關(guān)系：直觀圖面積=原圖形面積×√2/4。（三）空間幾何體的表面積與體積1.多面體的表面積：多面體的表面積就是各個面的面積之和。*棱柱：側(cè)面積=底面周長×側(cè)棱長（直棱柱）。表面積=側(cè)面積+2×底面積。*棱錐：表面積=側(cè)面積+底面積。（棱錐的側(cè)面積需分別計算各側(cè)面三角形面積再求和）。*棱臺：表面積=側(cè)面積+上底面積+下底面積。（棱臺的側(cè)面積需分別計算各側(cè)面梯形面積再求和）。2.旋轉(zhuǎn)體的表面積：*圓柱：側(cè)面積=2πrl(r為底面半徑，l為母線長)。表面積=2πr(r+l)。*圓錐：側(cè)面積=πrl。表面積=πr(r+l)。*圓臺：側(cè)面積=π(r1+r2)l(r1,r2分別為上下底面半徑，l為母線長)。表面積=π(r12+r22+r1l+r2l)。*球：表面積=4πR2(R為球的半徑)。3.空間幾何體的體積：*柱體：V=Sh(S為底面積，h為高)。（棱柱、圓柱均適用）。*錐體：V=(1/3)Sh(S為底面積，h為高)。（棱錐、圓錐均適用）。*臺體：V=(1/3)h(S上+√(S上S下)+S下)(h為高，S上、S下分別為上下底面積)。（棱臺、圓臺均適用）。*球：V=(4/3)πR3(R為球的半徑)。（四）空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)（公理）：*公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。（判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)）。*公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。（確定平面的依據(jù)）。*公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。（判斷兩個平面相交及確定交線的依據(jù)）。*推論：（由公理2引申出的確定平面的方法）*經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。*經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。*經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。2.空間中直線與直線的位置關(guān)系：*共面直線：平行或相交。*平行：在同一平面內(nèi)，沒有公共點。*相交：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點。*異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。（注意異面直線的判定）。*公理4（平行公理）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性）。*等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。*異面直線所成的角：過空間任一點O，分別作異面直線a,b的平行線a',b'，則a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。其范圍是(0°,90°]。若所成角為90°，則稱兩條異面直線垂直。3.空間中直線與平面的位置關(guān)系：*直線在平面內(nèi)：有無數(shù)個公共點。*直線與平面相交：有且只有一個公共點。*直線與平面平行：沒有公共點。*直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（簡記：線線平行?線面平行）。*直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。（簡記：線面平行?線線平行）。4.平面與平面的位置關(guān)系：*平行：沒有公共點。*相交：有一條公共直線。*平面與平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。（簡記：線面平行?面面平行）。*平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（簡記：面面平行?線線平行）。（五）直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.直線與平面垂直：*定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說這條直線與此平面互相垂直。*判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。（簡記：線線垂直?線面垂直）。*性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2.平面與平面垂直：*定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。*判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。（簡記：線面垂直?面面垂直）。*性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。*二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。立體幾何學(xué)習(xí)建議：*重視模型與畫圖：多觀察實物模型，動手畫圖，培養(yǎng)空間想象能力。*緊扣定義定理：理解每個概念的內(nèi)涵與外延，掌握定理的條件與結(jié)論，以及它們之間的邏輯關(guān)系。*規(guī)范推理表達(dá)：證明題要做到步步有據(jù)，邏輯清晰，書寫規(guī)范。*善于轉(zhuǎn)化：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題（如求異面直線所成角、二面角），將復(fù)雜問題分解為簡單問題。二、解析幾何初步（直線與圓）解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法研究幾何問題，其核心是建立坐標(biāo)系，將幾何對象（點、線、面等）用代數(shù)方程表示，通過解方程或方程組來解決幾何問題。（一）直線的傾斜角與斜率1.傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸（正方向）按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線重合所成的角，叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°。傾斜角α的取值范圍是[0°,180°)。2.斜率：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，記作k=tanα。*當(dāng)α=0°時，k=0；*當(dāng)0°<α<90°時，k>0；*當(dāng)α=90°時，斜率不存在；*當(dāng)90°<α<180°時，k<0。3.過兩點的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。（二）直線的方程1.點斜式：y-y0=k(x-x0)。（適用于斜率存在的直線，(x0,y0)為直線上一點，k為斜率）。2.斜截式：y=kx+b。（適用于斜率存在的直線，k為斜率，b為直線在y軸上的截距）。3.兩點式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。（適用于不垂直于x軸和y軸的直線，(x1,y1)，(x2,y2)為直線上兩點）。4.截距式：x/a+y/b=1。（適用于不過原點且不垂直于坐標(biāo)軸的直線，a為直線在x軸上的截距，b為直線在y軸上的截距）。5.一般式：Ax+By+C=0(A,B不同時為0)。注意各種形式的局限性，并能熟練進(jìn)行互化。（三）兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線的方程分別為：l1:A1x+B1y+C1=0(或y=k1x+b1)l2:A2x+B2y+C2=0(或y=k2x+b2)1.平行：*若斜率存在（B1,B2不為0）：k1=k2且b1≠b2。*一般式條件：A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)。2.相交：*若斜率存在：k1≠k2。*一般式條件：A1B2-A2B1≠0。*交點：解方程組{A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0}得到交點坐標(biāo)。3.垂直：*若斜率存在：k1k2=-1。*一般式條件：A1A2+B1B2=0。（此條件對斜率不存在的情況也適用）。4.兩條平行線間的距離：兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0之間的距離d=|C1-C2|/√(A2+B2)。（注意：兩直線方程中x、y的系數(shù)要對應(yīng)相等）。5.點到直線的距離：點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=|Ax0+By0+C|/√(A2+B2)。（四）圓的方程1.標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，r為圓的半徑(r>0)。特別地，當(dāng)圓心在原點(0,0)時，方程為x2+y2=r2。2.一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。配方可得：(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4。圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)，半徑r=(1/2)√(D2+E2-4F)。當(dāng)D2+E2-4F=0時，表示一個點；當(dāng)D2+E2-4F<0時，不表示任何圖形。（五）直線與圓的位置關(guān)系直線l:Ax+By+C=0，圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2。圓心C(a,b)到直線l的距離為d=|Aa+Bb+C|/√(A2+B2)。1.相交：d<r?直