第1頁：封面主標(biāo)題：用加粗宋體呈現(xiàn)“12.2.5斜邊直角邊”，字體顏色為深藍色，下方用小字標(biāo)注“——直角三角形全等的獨特判定”，明確本節(jié)課聚焦直角三角形特有的全等判定方法。副標(biāo)題：華東師大版

八年級上冊

數(shù)學(xué)署名：授課教師：XXX授課日期：XXX背景：淺灰色漸變背景，左側(cè)繪制兩個直角三角形，標(biāo)注斜邊與直角邊對應(yīng)相等（如Rt△ABC與Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠C=∠F=90°），右側(cè)展示“斜邊直角邊”在建筑測量（測量直角墻角的距離）、機械制造（確定直角零件的尺寸）等方面的應(yīng)用實例圖片，下方添加“生活中的HL：梯子靠墻（梯子長度與靠墻高度確定，直角三角形形狀固定）、三角板測量（直角三角板斜邊與直角邊對應(yīng)相等可確定全等）”小圖標(biāo)，營造直角三角形全等探究氛圍。第2頁：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能：理解“斜邊直角邊（HL）”判定定理的推導(dǎo)過程，掌握“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”這一核心內(nèi)容；能準(zhǔn)確識別直角三角形圖形中的“斜邊與直角邊對應(yīng)關(guān)系”，熟練運用HL判定定理證明直角三角形全等；能結(jié)合HL與已學(xué)判定（SSS、SAS、ASA、AAS），解決復(fù)雜幾何證明問題，規(guī)范書寫推理過程。過程與方法：通過“動手尺規(guī)作圖→觀察重合情況→歸納定理→應(yīng)用驗證”的過程，培養(yǎng)動手操作與邏輯推理能力，體會HL判定定理與直角三角形特性的緊密聯(lián)系；借助HL與其他判定方法的對比分析，提升對“直角三角形邊邊條件”的敏感度，學(xué)會根據(jù)已知條件選擇合適判定方法。情感態(tài)度與價值觀：感受幾何判定定理的嚴(yán)謹(jǐn)性與直角三角形全等判定在實際應(yīng)用中的重要性，激發(fā)對幾何證明與實際應(yīng)用的興趣；在定理推導(dǎo)與證明過程中，培養(yǎng)細致觀察、步步有據(jù)的思維習(xí)慣，增強幾何推理的自信心。第3頁：情境導(dǎo)入——從生活實例到數(shù)學(xué)猜想標(biāo)題：“思考：如何確定兩個直角三角形是否全等？”情境呈現(xiàn)：實物展示：展示建筑工人利用直角三角板測量墻角是否為直角的場景，提問“工人師傅測量墻角時，若兩塊三角板的斜邊與一條直角邊分別相等，能否說明墻角形狀一致？”（引導(dǎo)學(xué)生思考直角三角形全等與邊的關(guān)系）。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化：“在直角三角形中，已知斜邊和一條直角邊，是否能確定三角形的形狀和大小，進而判定兩個直角三角形全等？”動手驗證：“請用直尺和圓規(guī)按以下條件畫圖：①畫線段BC=3cm；②過點C作BC的垂線l；③以點B為圓心，5cm為半徑畫弧，交直線l于點A；④連接AB，得到Rt△ABC。觀察同桌畫出的Rt△ABC與你的是否完全重合?！边^渡引導(dǎo)：“通過實物觀察與動手作圖，我們發(fā)現(xiàn)一種新的直角三角形全等判定方法，這就是今天要學(xué)習(xí)的斜邊直角邊（HL）判定定理?！痹O(shè)計：展示建筑測量實物圖，標(biāo)注直角三角形的斜邊與直角邊，預(yù)留作圖區(qū)域，直觀呈現(xiàn)“斜邊與直角邊確定直角三角形”的特性，為定理推導(dǎo)鋪墊。第4頁：新知探究1——HL判定定理的推導(dǎo)（作圖驗證+邏輯證明）標(biāo)題：“斜邊直角邊（HL）：斜邊與一直角邊對應(yīng)相等，兩直角三角形全等”一、動手探究過程（尺規(guī)作圖+重合驗證）：統(tǒng)一條件作圖：全班按統(tǒng)一條件作圖：步驟1：畫線段B'C'=4cm（確定一條直角邊）；步驟2：過點C'作B'C'的垂線l'；步驟3：以點B'為圓心，6cm為半徑畫弧，交直線l'于點A'；步驟4：連接A'B'、A'C'，得到Rt△A'B'C'。觀察與重合：將個人畫出的Rt△A'B'C'與同桌的直角三角形疊放，發(fā)現(xiàn)兩直角三角形完全重合；更換斜邊與直角邊長度（如直角邊為5cm，斜邊為13cm）重復(fù)操作，仍完全重合，初步驗證“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，直角三角形全等”。二、定理推導(dǎo)（結(jié)合勾股定理）：理論依據(jù)：在直角三角形中，根據(jù)勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)（其中\(zhòng)(c\)為斜邊，\(a\)、\(b\)為直角邊）。若兩個直角三角形的斜邊\(c\)與一條直角邊\(a\)對應(yīng)相等，設(shè)另一條直角邊分別為\(b_1\)、\(b_2\)，則\(b_1=\sqrt{c^2-a^2}\)，\(b_2=\sqrt{c^2-a^2}\)，所以另一條直角邊也相等。此時三邊對應(yīng)相等，根據(jù)SSS判定定理，這兩個直角三角形全等。邏輯證明：假設(shè)Rt△ABC與Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'（斜邊相等），AC=A'C'（一條直角邊相等）。由勾股定理可得\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}\)，\(B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}\)，因為AB=A'B'，AC=A'C'，所以BC=B'C'。在△ABC與△A'B'C'中，\(\begin{cases}AB=A'B'\\BC=B'C'\\AC=A'C'\end{cases}\)，根據(jù)SSS判定定理，△ABC≌△A'B'C'，即Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。三、定理總結(jié)：文字表述：“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡記為‘斜邊直角邊’或‘HL’（Hypotenuse-Leg）?！狈柋硎觯喝鐖D，在Rt△ABC與Rt△A'B'C'中，若\(\begin{cases}AB=A'B'\\AC=A'C'\end{cases}\)，則Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。強調(diào)：“HL的核心是‘斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等’，必須是在直角三角形中使用；HL是直角三角形特有的全等判定方法，彌補了一般三角形全等判定在直角三角形場景下的不足?！钡?頁：新知探究2——HL的基礎(chǔ)應(yīng)用標(biāo)題：“HL的基礎(chǔ)應(yīng)用：直角三角形全等證明”一、基礎(chǔ)應(yīng)用示例（含公共邊、隱含邊）：示例1（含公共邊）：題目：已知如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求證Rt△ABC≌Rt△ADC。證明：在Rt△ABC與Rt△ADC中，∵AB=AD（已知），AC=AC（公共邊，隱含條件），∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。示例2（含隱含邊）：題目：已知如圖，AC=BD，∠C=∠D=90°，求證Rt△AOC≌Rt△BOD。證明：在Rt△AOC與Rt△BOD中，∵AC=BD（已知），∠AOC=∠BOD（對頂角相等，隱含條件），∴Rt△AOC≌Rt△BOD（HL）。小練習(xí)：“已知如圖，AB=DE，AC⊥BC，DF⊥EF，AC=DF，求證Rt△ABC≌Rt△DEF”（提示：找出斜邊與直角邊對應(yīng)相等，用HL證全等），強化HL應(yīng)用理解。第6頁：例題講解——HL與其他判定的綜合應(yīng)用標(biāo)題：“例題解析：HL的靈活應(yīng)用與判定方法選擇”例題1（HL與全等性質(zhì)結(jié)合）：題目：已知如圖，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F為垂足，DE=BF，求證∠A=∠C。解題步驟：分析目標(biāo)：要證∠A=∠C，可先證△ABF≌△CDE，再利用全等三角形對應(yīng)角相等得出結(jié)論。因為DE⊥AC，BF⊥AC，所以△ABF與△CDE是直角三角形，可嘗試用HL證明全等。證明全等：在Rt△ABF與Rt△CDE中，∵AB=CD（已知），BF=DE（已知），∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。得出結(jié)論：∵Rt△ABF≌Rt△CDE（已證），∴∠A=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）。強調(diào)：“HL判定直角三角形全等后，可通過全等性質(zhì)推導(dǎo)角或邊的等量關(guān)系，尤其適用于‘已知斜邊與一條直角邊相等，求角相等’的場景。”例題2（HL與其他判定的方法對比）：題目：已知如圖，AB=AC，AD⊥BC于點D，求證BD=CD，選擇合適判定方法。解題步驟：方法一（HL）：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD與Rt△ACD中，\(\begin{cases}AB=AC（已知）\\AD=AD（公共邊）\end{cases}\)，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴BD=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）。方法二（SAS）：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，AD平分∠BAC（等腰三角形三線合一），即∠BAD=∠CAD，在△ABD與△ACD中，\(\begin{cases}AB=AC（已知）\\∠BAD=∠CAD（已證）\\AD=AD（公共邊）\end{cases}\)，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）。點撥：“當(dāng)已知‘斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等’時，優(yōu)先選擇HL；若已知條件能轉(zhuǎn)化為‘兩邊及夾角對應(yīng)相等’，也可選擇SAS。在直角三角形證明中，要根據(jù)已知條件靈活選擇判定方法?！钡?頁：易錯點辨析——避開HL應(yīng)用的誤區(qū)標(biāo)題：“避坑指南：HL判定的常見錯誤與糾正”易錯點分類解析（錯誤示例+正確解析+總結(jié)）：混淆“對應(yīng)邊”與“任意邊”：錯誤示例：在Rt△ABC與Rt△A'B'C'中，AB=A'C'，BC=B'C'，直接判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）（未確認對應(yīng)關(guān)系，斜邊與直角邊對應(yīng)錯誤）；正確解析：需明確“AB對應(yīng)A'B'，BC對應(yīng)B'C'”，若邊的對應(yīng)關(guān)系錯誤，如斜邊與直角邊不對應(yīng)，無法判定全等；總結(jié)：“HL判定需嚴(yán)格遵循‘斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等’，可通過標(biāo)注頂點順序（如Rt△ABC≌Rt△A'B'C'）確認對應(yīng)關(guān)系，避免‘邊的順序混亂’?！边z漏直角條件：錯誤示例：已知AB=DE，AC=DF，就判定△ABC≌△DEF（HL），忽略了必須是直角三角形這一前提條件；正確解析：應(yīng)先說明∠C=∠F=90°，在Rt△ABC與Rt△DEF中，∵AB=DE（已知），AC=DF（已知），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；總結(jié)：“HL僅適用于直角三角形全等判定，必須先明確兩個三角形是直角三角形，否則不能使用HL?！卞e用HL與其他判定方法：錯誤示例：已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，判定Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），實際上這是“AAS”的條件，并非HL；正確解析：在△ABC與△DEF中，∵∠A=∠D（已知），∠B=∠E（直角三角形兩直角相等，隱含條件），BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（AAS）；總結(jié)：“要準(zhǔn)確區(qū)分HL與其他全等判定方法的條件，HL必須是‘斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等’，避免條件混淆導(dǎo)致判定錯誤?！钡?頁：課堂練習(xí)——分層鞏固（HL應(yīng)用）標(biāo)題：“分層練習(xí)：HL的基礎(chǔ)與綜合應(yīng)用”基礎(chǔ)題（直接應(yīng)用HL）：（1）已知如圖，AC=AD，∠C=∠D=90°，求證Rt△ABC≌Rt△ABD（答案：在Rt△ABC與Rt△ABD中，AC=AD，AB=AB，根據(jù)HL，Rt△ABC≌Rt△ABD）；（2）已知如圖，BE=CF，AB⊥AC，DF⊥DE，AB=DF，求證Rt△ABE≌Rt△DCF（答案：在Rt△ABE與Rt△DCF中，AB=DF，BE=CF，根據(jù)HL，Rt△ABE≌Rt△DCF）。提升題（挖掘隱含條件）：（1）已知如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求證Rt△ABE≌Rt△DCF（提示：CE=BF可推出BE=CF，再用HL證全等）；（2）已知如圖，AC=BD，∠A=∠D=90°，求證Rt△ABC≌Rt△DCB（提示：找出斜邊與直角邊對應(yīng)相等，用HL證全等）。拓展題（實際應(yīng)用）：題目：工人師傅要制作兩個直角三角形零件，已知一個零件的斜邊為8cm，一條直角邊為6cm，另一個零件的對應(yīng)斜邊與直角邊也分別為8cm和6cm，如何驗證這兩個零件全等？（答案：根據(jù)HL判定定理，兩個直角三角形斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等，所以這兩個直角三角形全等，即零件全等）。設(shè)計：題目旁標(biāo)注“解題關(guān)鍵”（如“找公共邊”“按HL判定”），拓展題結(jié)合實際場景，答案用折疊框隱藏，學(xué)生完成后核對，教師針對性講解。第9頁：課堂總結(jié)（完善直角三角形全等判定體系）標(biāo)題：“知識梳理：直角三角形全等判定之HL”思維導(dǎo)圖總結(jié)（中心主題“直角三角形全等判定”）：HL判定核心：條件：斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等；符號：HL（Hypotenuse-Leg）；關(guān)鍵：直角三角形識別、對應(yīng)邊順序、直角條件運用。與其他判定的對比：判定方法條件適用場景關(guān)鍵注意事項HL斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等已知斜邊與直角邊直角三角形、對應(yīng)邊準(zhǔn)確SSS三邊對應(yīng)相等已知三邊對應(yīng)邊順序SAS兩邊及夾角對應(yīng)相等已知兩邊及夾角區(qū)分夾角與對角ASA兩角及夾邊對應(yīng)相等已知兩角及夾邊區(qū)分夾邊與對邊AAS兩角及一角對邊對應(yīng)相等已知兩角及一角對邊對應(yīng)角與邊匹配判定選擇原則：已知斜邊與一條直角邊→HL；已知三邊→SSS；已知兩邊→優(yōu)先看夾角（SAS）；已知兩角→優(yōu)先看夾邊（ASA）或?qū)叄ˋAS）。HL的特殊價值：【2025-2026學(xué)年】華東師大版

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12.2.5斜邊直角邊第12章

全等三角形aiTujmiaNg1、已知斜邊、直角邊會畫直角三角形，經(jīng)歷畫直角三角形探究得到“H.L.”定理，體會“H.L.”的合理性；2、掌握“H.L.”定理，能正確應(yīng)用“H.L.”定理證明兩個三角形全等；3、能正確應(yīng)用所學(xué)的全等三角形的判定定理解決問題；

溫故知新問題：證明一般三角形全等有哪些方法？1.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.簡記為S.A.S.（或邊角邊）2.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.簡記為A.S.A.（或角邊角）

溫故知新3.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.簡記為A.A.S.（或角角邊）.4.三邊分別相等的兩個三角形全等.簡記為S.S.S.（或邊邊邊）新課學(xué)習(xí)知識點1

判定兩直角三角形全等的方法“斜邊直角邊”例1

［華師8上P85做一做改編］

【觀察發(fā)現(xiàn)】

請用疊合的方法，觀察你作的三角形與其他同學(xué)作的三角形是否完全重合，所作的三角形都全等嗎？解：完全重合，所作的三角形都全等.

一條直角邊

知識點2

直角三角形全等的判定方法的靈活運用

(例2-1)(1)添加__________，根據(jù)是____；

(2)添加__________，根據(jù)是_