競賽題高中全部知識點及答案

一、單項選擇題1.已知集合\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}\)，\(B=\{x|mx+1=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，則實數(shù)\(m\)組成的集合為（）A.\(\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\}\)B.\(\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\}\)C.\(\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},0\}\)D.\(\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},0\}\)答案：C2.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((2,+\infty)\)C.\((-\infty,\frac{3}{2})\)D.\((\frac{3}{2},+\infty)\)答案：A3.已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow\vert\)的值是（）A.\(5\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(3\sqrt{5}\)答案：A4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\tan2\alpha=\)（）A.\(\frac{24}{7}\)B.\(-\frac{24}{7}\)C.\(\frac{7}{24}\)D.\(-\frac{7}{24}\)答案：B5.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)答案：A6.已知\(a=\log_32\)，\(b=\ln2\)，\(c=5^{-\frac{1}{2}}\)，則（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(b\ltc\lta\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)答案：C7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.\(12\)B.\(18\)C.\(24\)D.\(30\)答案：C8.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值是（）A.\(3\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(-3\)答案：D9.若直線\(l\)：\(ax+by+1=0\)始終平分圓\(M\)：\(x^2+y^2+4x+2y+1=0\)的周長，則\((a-2)^2+(b-2)^2\)的最小值為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(5\)C.\(2\sqrt{5}\)D.\(10\)答案：B10.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(1)=2\)，則\(f(2023)\)的值為（）A.\(2\)B.\(-\frac{1}{3}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(3\)答案：C二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\log_{0.5}x\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：AC2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\perp\overrightarrow\)，則\(m\)的值可以是（）A.\(-8\)B.\(-6\)C.\(6\)D.\(8\)答案：AD3.關(guān)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱C.圖象關(guān)于點\((-\frac{\pi}{6},0)\)對稱D.在區(qū)間\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上單調(diào)遞增答案：ABC4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(S_4=16\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(d=2\)C.\(a_5=9\)D.\(S_7=49\)答案：ABCD5.下列關(guān)于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）D.焦點坐標(biāo)為\((\pmc,0)\)答案：ABCD6.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，則（）A.\(f(-1)\gtf(2)\gtf(3)\)B.\(f(3)\gtf(2)\gtf(-1)\)C.\(f(-1)\gtf(3)\gtf(2)\)D.\(f(2)\gtf(3)\gtf(-1)\)答案：A7.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)答案：ABCD8.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)且與圓\(x^2+y^2=4\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，則弦長\(\vertAB\vert\)的值可能是（）A.\(2\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(2\sqrt{3}\)D.\(4\)答案：ABC9.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)，則（）A.函數(shù)\(f(x)\)有兩個極值點B.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=-1\)處取得極大值C.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=3\)處取得極小值D.函數(shù)\(f(x)\)的圖象與\(x\)軸有三個交點答案：ABCD10.已知集合\(A=\{x|x^2-3x-4\leq0\}\)，\(B=\{x|2-a\leqx\leq2+a\}\)，若\(A\capB=B\)，則實數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,3]\)B.\([0,3]\)C.\((-\infty,1]\)D.\([0,1]\)答案：AB三、判斷題1.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）答案：錯誤2.函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖象在\([0,2\pi]\)上有\(zhòng)(2\)個交點。（）答案：正確3.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。（）答案：錯誤4.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(S_5=31\)。（）答案：正確5.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是\((-1,+\infty)\)。（）答案：正確6.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）答案：錯誤7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e\)的取值范圍是\((0,1)\)。（）答案：正確8.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）答案：正確9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，則\(2b=a+c\)。（）答案：正確10.已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x=x_0\)是函數(shù)\(f(x)\)的極值點。（）答案：錯誤四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間。答案：先化簡函數(shù)，\(y=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。由\(a_3=5\)得\(a_1+2d=5\)，由\(S_5=25\)得\(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)，即\(a_1+2d=5\)，\(a_1+2d=5\)。聯(lián)立解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知直線\(l\)過點\((2,1)\)且與圓\(x^2+y^2=4\)相切，求直線\(l\)的方程。答案：當(dāng)直線\(l\)的斜率不存在時，直線方程為\(x=2\)，此時圓心到直線距離等于半徑\(2\)，相切。當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為\(k\)，直線方程為\(y-1=k(x-2)\)，即\(kx-y-2k+1=0\)。由圓心到直線距離等于半徑可得\(\frac{\vert-2k+1\vert}{\sqrt{k^2+1}}=2\)，解得\(k=-\frac{3}{4}\)，直線方程為\(3x+4y-10=0\)。綜上，直線\(l\)的方程為\(x=2\)或\(3x+4y-10=0\)。4.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求函數(shù)\(f(x)\)的極值。答案：對\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(x=0\)時取極大值\(f