2025年線性代數(shù)期末考試試題及答案

一、單項選擇題1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)為非零常數(shù)，則\(\vertkA\vert\)等于（）A.\(k\vertA\vert\)B.\(\vertk\vert\vertA\vert\)C.\(k^n\vertA\vert\)D.\(\vertk\vert^n\vertA\vert\)答案：C2.若\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A^{-1}\vert\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)答案：A3.設(shè)\(A\)、\(B\)均為\(n\)階可逆矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)B.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)C.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)D.\(\vert-A\vert=-\vertA\vert\)答案：C4.已知向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,3,4)\)，\(\alpha_3=(3,4,5)\)，則該向量組的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)答案：B5.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)是\(Ax=b\)對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)有非零解答案：C6.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是（）的特征值A(chǔ).\(A^2\)B.\(2A\)C.\(A+E\)D.\(A-E\)答案：A7.若\(n\)階方陣\(A\)與對角矩陣相似，則（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值B.\(A\)是實對稱矩陣C.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量D.\(A\)的秩為\(n\)答案：C8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的特征多項式為\(f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\)，則\(f(A)\)等于（）A.\(A\)B.\(0\)C.\(E\)D.無法確定答案：B9.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2\)，則二次型的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)答案：A10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2\)的正慣性指數(shù)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)答案：B二、多項選擇題1.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，下列運算正確的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)（當(dāng)\(A\)、\(B\)可逆時）E.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）答案：BCE2.下列關(guān)于可逆矩陣的說法正確的是（）A.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)B.若\(A\)可逆，則\(A^{-1}\)也可逆，且\((A^{-1})^{-1}=A\)C.若\(A\)、\(B\)為同階可逆矩陣，則\(AB\)可逆，且\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)D.可逆矩陣的行向量組線性無關(guān)E.可逆矩陣的列向量組線性無關(guān)答案：ABCDE3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組中存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示E.向量組中存在一個向量為零向量答案：ABC4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，對于線性方程組\(Ax=b\)，下列說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解C.若\(r(A)=n\)，則方程組有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，則方程組有無窮多解E.若\(m=n\)且\(\vertA\vert\neq0\)，則方程組有唯一解答案：ABE5.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，\(\alpha\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\alpha=\lambda\alpha\)B.對于任意常數(shù)\(k\)，\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值C.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值D.若\(A\)可逆，則\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值E.特征向量\(\alpha\)是非零向量答案：ACDE6.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)答案：ABD7.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式E.\(A\)與\(B\)都可相似對角化答案：ABCD8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3\)為正定二次型的充分必要條件是（）A.二次型的矩陣\(A\)的各階順序主子式都大于零B.二次型的正慣性指數(shù)\(p=n\)C.對于任意非零向量\(x=(x_1,x_2,x_3)^T\)，都有\(zhòng)(f(x_1,x_2,x_3)>0\)D.二次型的負(fù)慣性指數(shù)\(q=0\)E.二次型的矩陣\(A\)合同于單位矩陣\(E\)答案：ABCE9.已知向量組\(\alpha_1=(1,0,1)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,1,0)\)，則（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)B.\(\alpha_1\)可由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示C.\(\alpha_2\)可由\(\alpha_1,\alpha_3\)線性表示D.\(\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)線性表示E.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩為\(3\)答案：AE10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列結(jié)論正確的是（）A.若\(A\)是對稱矩陣，則\(A\)的特征值都是實數(shù)B.若\(A\)是反對稱矩陣，則\(A\)的特征值都是純虛數(shù)或\(0\)C.若\(A\)是正交矩陣，則\(\vertA\vert=\pm1\)D.若\(A\)是正定矩陣，則\(A\)的主對角線元素都大于\(0\)E.若\(A\)是可逆矩陣，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆答案：ABCDE三、判斷題1.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^2=A^2B^2\)。（×）2.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(A\)可以表示為一些初等矩陣的乘積。（√）3.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，則其中任意兩個向量都線性無關(guān)。（√）4.線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是其導(dǎo)出組\(Ax=0\)有解。（×）5.若\(\lambda_1,\lambda_2\)是方陣\(A\)的兩個不同的特征值，則對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。（√）6.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（√）7.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)的特征向量相同。（×）8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（√）9.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)的所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為\(0\)。（√）10.對于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（√）四、簡答題1.簡述矩陣可逆的判定方法。答案：矩陣\(A\)可逆的判定方法有多種。首先，方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。其次，若存在方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，則\(A\)可逆且\(A^{-1}=B\)。另外，\(A\)可逆等價于\(A\)可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣，也等價于\(A\)的秩等于其階數(shù)。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)；若只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)。3.簡述求方陣特征值和特征向量的步驟。答案：求方陣\(A\)特征值和特征向量，先計算特征多項式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)，令\(f(\lambda)=0\)，解出的\(\lambda\)即為\(A\)的特征值。對于每個特征值\(\lambda_i\)，將其代入齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)x=0\)，求出該方程組的基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的非零線性組合就是對應(yīng)于特征值\(\lambda_i\)的特征向量。4.簡述二次型正定的判定方法。答案：二次型正定的判定方法如下：一是定義法，對于任意非零向量\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)>0\)，則二次型正定；二是順序主子式法，二次型矩陣的各階順序主子式都大于零；三是正慣性指數(shù)法，二次型的正慣性指數(shù)等于變量個數(shù)；四是合同關(guān)系法，二次型矩陣合同于單位矩陣。五、討論題1.討論矩陣的初等變換在求解線性方程組、求矩陣的逆以及求矩陣的秩等方面的應(yīng)用。答案：在求解線性方程組時，通過對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣或行最簡形矩陣，可