揚(yáng)州數(shù)學(xué)招編真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則滿(mǎn)足\(A\subseteqC\subseteqB\)的集合\(C\)的個(gè)數(shù)為（）A.4B.8C.7D.16答案：B2.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-4x+3)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((3,+\infty)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)答案：A3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.-10B.-6C.6D.10答案：A4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_5=10\)，\(a_4=7\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為（）A.1B.2C.3D.4答案：B5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值為（）A.\(\frac{1}{7}\)B.7C.-\(\frac{1}{7}\)D.-7答案：C6.拋物線(xiàn)\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)漸近線(xiàn)的距離為（）A.\(\frac{12}{5}\)B.\(\frac{6}{5}\)C.\(\frac{8}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B7.已知\(m\)，\(n\)是兩條不同直線(xiàn)，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(\alpha\perp\beta\)，\(m\perp\beta\)，則\(m\parallel\alpha\)C.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\alpha\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)答案：C8.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x(1+x)\)，則當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(x(1+x)\)B.\(-x(1+x)\)C.\(x(1-x)\)D.\(-x(1-x)\)答案：C9.若函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax-1\)有極值點(diǎn)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：B10.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個(gè)數(shù)字中任取\(3\)個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.36B.30C.40D.60答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：AB2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)B.若\(a<b<0\)，則\(a^2>ab>b^2\)C.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)D.若\(a>b\)，\(c>d>0\)，則\(\frac{a}hblzfjh>\frac{c}\)答案：BD3.對(duì)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱(chēng)C.圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{3},0)\)對(duì)稱(chēng)D.在區(qū)間\([-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)上單調(diào)遞增答案：ABD4.已知直線(xiàn)\(l\)過(guò)點(diǎn)\((0,2)\)，且傾斜角為\(\frac{\pi}{4}\)，圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2-2x-2y-2=0\)，則（）A.直線(xiàn)\(l\)的方程為\(y=x+2\)B.直線(xiàn)\(l\)與圓\(C\)相交C.圓\(C\)的圓心坐標(biāo)為\((1,1)\)D.圓\(C\)的半徑為\(2\)答案：ABCD5.已知\(a\)，\(b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)B.\(2^{a-b}>\frac{1}{2}\)C.\(\log_2a+\log_2b\geq-2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)答案：ABD6.以下哪些是正方體的截面可能的形狀（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形答案：ABCD7.已知函數(shù)\(f(x)\)是周期為\(2\)的周期函數(shù)，且\(x\in[0,2]\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則（）A.\(f(-1)=0\)B.\(f(3)=-1\)C.\(f(x)\)在\([1,2]\)上單調(diào)遞減D.\(f(x)\)在\([-1,0]\)上的表達(dá)式為\(f(x)=x^2+2x\)答案：ABD8.已知\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(q>1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增B.若\(a_1>0\)，\(0<q<1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞減C.若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(S_n=2^n-1\)D.若\(a_1=1\)，\(q=-1\)，則\(S_{2023}=1\)答案：BCD9.設(shè)\(F_1\)，\(F_2\)為橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的兩個(gè)焦點(diǎn)，\(P\)為橢圓上一點(diǎn)，且\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，則（）A.\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{3}b^2\)B.\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=b^2\)C.若\(a=2b\)，則\(\triangleF_1PF_2\)為等邊三角形D.橢圓離心率\(e\)的取值范圍是\([\frac{1}{2},1)\)答案：ABD10.已知函數(shù)\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+1,&x\leq0\\-2x,&x>0\end{array}\right.\)，若\(f(x)=10\)，則\(x\)的值為（）A.-3B.3C.5D.-5答案：AD三、判斷題1.空集是任何集合的真子集。（）答案：錯(cuò)誤2.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{2}\)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到\(y=\cosx\)的圖象。（）答案：錯(cuò)誤3.若\(a>b\)，則\(a^3>b^3\)。（）答案：正確4.直線(xiàn)\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）答案：錯(cuò)誤5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）答案：錯(cuò)誤6.雙曲線(xiàn)\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的漸近線(xiàn)方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）答案：正確7.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處一定連續(xù)。（）答案：正確8.從\(n\)個(gè)不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）個(gè)元素的組合數(shù)\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）答案：正確9.若\(y=f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)=f(-x)\)且\(f^\prime(x)=-f^\prime(-x)\)。（）答案：正確10.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2n^2+3n\)，則\(a_n=4n+1\)。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間。答案：先化簡(jiǎn)函數(shù)，\(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式和前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)，由\(S_6=36\)可得\(6a_1+\frac{6\times5}{2}d=36\)，即\(6a_1+15d=36\)。聯(lián)立方程組\(\begin{cases}a_1+2d=5\\6a_1+15d=36\end{cases}\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。則通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)，前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n^2\)。3.求過(guò)點(diǎn)\(P(2,3)\)且與圓\(x^2+y^2=4\)相切的直線(xiàn)方程。答案：當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為\(x=2\)，此時(shí)圓心到直線(xiàn)距離等于半徑\(2\)，直線(xiàn)與圓相切。當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為\(y-3=k(x-2)\)，即\(kx-y+3-2k=0\)。由圓心到直線(xiàn)距離等于半徑可得\(\frac{|3-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=2\)，解得\(k=\frac{5}{12}\)，則直線(xiàn)方程為\(y-3=\frac{5}{12}(x-2)\)，即\(5x-12y+26=0\)。所以切線(xiàn)方程為\(x=2\)或\(5x-12y+26=0\)。4.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x