3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（精講）第一部分：思維導圖總覽全局第一部分：思維導圖總覽全局第二部分：知識點精準記憶第二部分：知識點精準記憶知識點一：函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)與減函數(shù)1.1增函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).1.2減函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．3、常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當時，在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當時，在和上單調(diào)遞減當時，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對稱軸為當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減知識點二：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1、定義法：一般用于證明，設函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①取值：任取，，且；②作差：計算；③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2、圖象法一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3、性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減知識點三：函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最大值；2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；知識點四：復合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）一般地，對于復合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時，復合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．判斷正誤．（1）所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性．()（2）因為，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．()（3）若為R上的減函數(shù)，則．()（4）若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．()2．函數(shù)的遞減區(qū)間是()A．

B．

C．

D．3．函數(shù)，則的最大值為___________，最小值為___________．4．設函數(shù)，則()A．有最大值

B．有最小值C．既有最大值又有最小值

D．既無最大值又無最小值5．函數(shù)在上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()A．，0

B．0，2C．，2

D．，2第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：利用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．已知函數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；例題2．已知函數(shù)．試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；同類題型演練1．已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；2．已知.(1)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；重點題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1：利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題．已知四個函數(shù)的圖象如圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是（

）A． B．C． D．例題2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．同類題型演練1．如果函數(shù)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)的減區(qū)間為__________.2．如圖是函數(shù)的圖象．列出的若干區(qū)間，說明它在各區(qū)間上的增減性，并指出該函數(shù)的最大、最小值點及最值．3．已知函數(shù)．(1)畫出的圖象，并根據(jù)圖象寫出的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；4．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（不用列表，直接畫出草圖．（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；角度2：求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________．例題2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.同類題型演練1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.2．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.重點題型三：函數(shù)單調(diào)性的應用角度1：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小典型例題例題1．設偶函數(shù)的定義域為，當時，是減函數(shù)，試確定，，之間的大小關(guān)系．例題2．畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題.(1)比較，，的大?。唤嵌?：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式典型例題例題1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）同類題型演練1．已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知是定義在上的減函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．設是定義在區(qū)間上的嚴格增函數(shù)．若，則a的取值范圍是______．角度3：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典型例題例題1．已知在為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．例題3．已知函數(shù)，若對任意的，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．同類題型演練1．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)在上是減函數(shù).則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．重點題型四：求函數(shù)的最值角度1：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值典型例題例題1．函數(shù)在的值域為__________．例題2．函數(shù)在區(qū)間的最大值是______．例題3．函數(shù)，的值域是（

）．A． B． C． D．同類題型演練1．設函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，m則（

）A．4 B．6 C．10 D．242．函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．3．函數(shù)，x∈[3，+∞）的值域是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．1 D．-1角度2：利用函數(shù)的圖象求最值典型例題例題1．已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值；(3)請在給定的坐標系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說出函數(shù)的值域.例題2．在邊長為4的正方形上有一點，沿著折線由點(起點)向點(終點)移動，設點移動的路程為，的面積為．(1)求的面積與移動的路程間的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求的最大值．同類題型演練1．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請補充完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；2．）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+1（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；（2）在上邊所給的坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域(不要求證明).重點題型五：二次函數(shù)的最值問題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題典型例題例題1．函數(shù)的最大值為___________.例題2．已知二次函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的值域．同類題型演練1．函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的值域；2．求下列函數(shù)的最小值與最大值：3．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．4．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題典型例題例題1．已知函數(shù)．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)求在上的最小值；例題2．已知是二次函數(shù)，且滿足，，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當時，表示出函數(shù)的最小值，并求出的最小值.例題3．已知二次函數(shù)．(1)當時，求的最大值和最小值，并指出此時的取值；(2)求的最小值，并表示為關(guān)于的函數(shù)．同類題型演練1．已知函數(shù)，且滿足.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)設，若對于任意，都有，求的取值范圍.2．已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)設在區(qū)間上的最小值為，求的表達式;3．已知函數(shù).求函數(shù)在上的最小值；4．已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)的最大值和最小值．(2)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．重點題型六：恒成立與能成立問題典型例題例題1．已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)當時，不等式恒成立；求實數(shù)的取值范圍；例題2．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)設，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍.例題3．已知(1)求二次函數(shù)的值域：(2)當時，若二次函數(shù)的值恒大于0，求的取值范圍．例題4．已知函數(shù)．(1)已知m=-3，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.同類題型演練1．若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實數(shù)m的取值范圍．2．已知二次函數(shù)．(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ），恒成立，求實數(shù)的取值范圍．第五部分：高考（模擬）題體驗第五部分：高考（模擬）題體驗1．歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet），當時數(shù)學家們處理的大部分數(shù)學對象都沒有完全的嚴格的定義，數(shù)學家們習慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”.一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：（其中，且），以下對說法錯誤的是（

）A．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無理數(shù)均不是的周期B．當時，的值域為；當時，的值域為C．為偶函數(shù)D．在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性2．已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲担ň殻〢夯實基礎一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)y=x2-5x-6在區(qū)間[2，4]上是（

）A．遞減函數(shù) B．遞增函數(shù)C．先遞減再遞增函數(shù) D．先遞增再遞減函數(shù)4．已知函數(shù)在上滿足：對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則的最小值（

）A． B． C．0 D．17．已知函數(shù)在上為增函數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的可能的取值有（

）A． B．C． D．三、填空題11．函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，則a的取值范圍是_________．12．設函數(shù)，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.四、解答題13．設，已知函數(shù)過點，且函數(shù)的對稱軸為.(1)求函數(shù)的表達式；(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.14．設函數(shù)．(1)若不等式的解集，求a，b的值；(2)若，①，，求的最小值，并指出取最小值時a，b的值．②求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．B能力提升1．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若函