2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與比例抽樣原理實(shí)例試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：請根據(jù)所學(xué)知識(shí)，回答以下問題。答題應(yīng)書寫工整，表述清晰。一、某市教育部門欲調(diào)查該市初中生課外輔導(dǎo)的參與情況，以了解輔導(dǎo)負(fù)擔(dān)對學(xué)生的壓力。該市共有初中生50000人，分布在不同區(qū)域的學(xué)校。研究者計(jì)劃采用抽樣調(diào)查方法獲取數(shù)據(jù)。請回答：1.簡述在此次調(diào)查中，若采用簡單隨機(jī)抽樣方法直接抽取樣本，可能面臨的主要問題。2.如果研究者希望根據(jù)學(xué)校規(guī)模（學(xué)生人數(shù)）進(jìn)行抽樣，以確保每個(gè)學(xué)校的代表性，請簡述如何操作，并說明這種方法（比例抽樣或其他）的名稱及其主要優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，指出該方法可能存在的局限性。二、為了評(píng)估某品牌新口味的市場接受度，市場研究公司計(jì)劃在一個(gè)擁有100萬成年人的城市中抽取1000名成年人進(jìn)行問卷調(diào)查。已知以往類似調(diào)查中，成年人對該類型產(chǎn)品口味的接受度比例約為60%，允許的抽樣誤差范圍（絕對誤差）為5%，置信水平為95%。請回答：1.若采用簡單隨機(jī)抽樣，計(jì)算完成此次調(diào)查所需的樣本量。2.假設(shè)實(shí)際抽樣采用分層抽樣方法，將城市按區(qū)域（東、南、西、北）劃分為四個(gè)層，各區(qū)域人口比例大致相等。若已知各區(qū)域成年人對口味接受度的比例有顯著差異（例如，東區(qū)為65%，南區(qū)為55%，西區(qū)為58%，北區(qū)為62%），請簡述為什么分層抽樣相比簡單隨機(jī)抽樣可能更優(yōu)。并說明在分層抽樣中，如何分配各區(qū)域的樣本量才能更好地反映實(shí)際情況？三、某農(nóng)場有1000畝小麥地，為估計(jì)平均畝產(chǎn)量，需進(jìn)行抽樣調(diào)查。農(nóng)場地形復(fù)雜，分為平原區(qū)和丘陵區(qū)。研究者決定采用整群抽樣方法。先將1000畝地按一定規(guī)則劃分成50群，每群20畝。隨機(jī)抽取了5群進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下（單位：公斤/畝）：150,160,145,155,162。已知平原區(qū)有30群，丘陵區(qū)有20群。1.計(jì)算樣本平均畝產(chǎn)量。2.請簡述整群抽樣相較于簡單隨機(jī)抽樣的主要特點(diǎn)。如果該調(diào)查的目的是比較平原區(qū)和丘陵區(qū)的平均畝產(chǎn)量差異，整群抽樣是否是最佳選擇？為什么？四、一項(xiàng)研究旨在了解某大學(xué)本科生對在線學(xué)習(xí)的滿意度。研究者從全校20個(gè)學(xué)院中，按照學(xué)院學(xué)生人數(shù)的比例，隨機(jī)抽取了5個(gè)學(xué)院，再從被抽中的學(xué)院中，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，有140名學(xué)生對在線學(xué)習(xí)表示滿意。1.根據(jù)此調(diào)查結(jié)果，計(jì)算對在線學(xué)習(xí)表示滿意的本科生的樣本比例，并構(gòu)建95%置信區(qū)間。2.請分析影響此次調(diào)查結(jié)果準(zhǔn)確性的主要因素有哪些？如果研究者希望提高調(diào)查結(jié)果的精度，在不增加成本或難以改變其他條件的情況下，可以采取哪些措施？五、比較比例抽樣與分層抽樣在理論上的抽樣誤差。請說明在什么條件下，比例抽樣的抽樣誤差可能大于分層抽樣的抽樣誤差？并解釋原因。如果總體存在明顯的層內(nèi)異質(zhì)性（within-groupheterogeneity）和層間同質(zhì)性（between-grouphomogeneity），哪種抽樣方法理論上能提供更精確的總體估計(jì)？為什么？試卷答案一、1.主要問題包括：樣本可能無法有效覆蓋總體所有區(qū)域，導(dǎo)致樣本代表性不足；若總體分布不均勻，簡單隨機(jī)抽樣可能抽到集中在某些區(qū)域的樣本，無法反映整體情況；實(shí)施難度大，特別是對于大規(guī)模、分布廣泛的總體，聯(lián)系和調(diào)查每個(gè)樣本單位成本高、效率低。2.操作：將50000名初中生按學(xué)校進(jìn)行編號(hào)，根據(jù)學(xué)校規(guī)模（學(xué)生人數(shù)）計(jì)算各學(xué)校應(yīng)抽樣本量（如使用比例分配），然后從每個(gè)學(xué)校中采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣抽取相應(yīng)數(shù)量的學(xué)生。方法名稱：比例抽樣（或稱完全隨機(jī)比例抽樣）。主要優(yōu)點(diǎn)：簡單易行，實(shí)施方便；能保證每個(gè)單位（在此例中為學(xué)校）都有機(jī)會(huì)被抽中，理論上能較好地代表總體結(jié)構(gòu)。局限性：假設(shè)各層內(nèi)單位差異小，層間差異大。當(dāng)各學(xué)校學(xué)生內(nèi)部差異較大，或某些學(xué)校的學(xué)生特征與總體差異顯著時(shí)，比例抽樣可能無法獲得最精確的估計(jì)；未能充分利用各層內(nèi)部的信息來提高精度。二、1.樣本量計(jì)算公式為：n=(Zα/2^2*p*(1-p))/E^2，其中Zα/2為置信水平對應(yīng)的Z值（95%置信水平下為1.96），p為總體比例（0.60），E為允許誤差（0.05）。n=(1.96^2*0.60*0.40)/0.05^2=(3.8416*0.24)/0.0025=0.921984/0.0025=368.7936。因樣本量需為整數(shù)，且通常向上取整以保證精度，所需樣本量為369人。2.分層抽樣相比簡單隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)在于：將總體劃分為具有同質(zhì)性的子群（層），能在層內(nèi)減少抽樣誤差，且能確保各層代表性，使得樣本結(jié)構(gòu)更接近總體結(jié)構(gòu)，從而提高估計(jì)的精度。在分層抽樣中，為更好地反映實(shí)際情況，應(yīng)采用比例分配法（或稱分層比例抽樣）。即根據(jù)各區(qū)域的人口比例（東區(qū)、南、西、北各占25%）和各區(qū)域預(yù)期的接受度比例（東區(qū)65%,南區(qū)55%,西區(qū)58%,北區(qū)62%），綜合這兩個(gè)因素來確定各區(qū)域抽取的樣本量。例如，可以計(jì)算各區(qū)“預(yù)期重要性”=人口比例*預(yù)期比例，然后根據(jù)這個(gè)權(quán)重進(jìn)行樣本量分配，或簡單地在比例抽樣基礎(chǔ)上，對預(yù)期比例差異較大的區(qū)域適當(dāng)調(diào)整其抽樣比例，以確保最終樣本在各區(qū)域反映的接受度與總體結(jié)構(gòu)一致。三、1.計(jì)算樣本平均畝產(chǎn)量：樣本總量=5群*20畝/群=100畝。樣本平均畝產(chǎn)量=(150+160+145+155+162)/5=772/5=154.4公斤/畝。2.整群抽樣特點(diǎn)：將總體分為若干群，隨機(jī)抽取部分群，然后調(diào)查被抽中群內(nèi)的所有單位或按一定規(guī)則抽取部分單位。優(yōu)點(diǎn)是組織抽樣方便，成本較低，尤其適用于群內(nèi)單位聯(lián)系緊密或地理集中的情況。缺點(diǎn)是通常比簡單隨機(jī)抽樣有更大的抽樣誤差，因?yàn)槿簝?nèi)單位可能同質(zhì)性強(qiáng)。如果目的是比較平原區(qū)和丘陵區(qū)的平均畝產(chǎn)量差異，整群抽樣不是最佳選擇。原因在于，整群抽樣的抽樣誤差較大，且若群劃分與調(diào)查變量（畝產(chǎn)量）相關(guān)（例如，平原區(qū)群內(nèi)畝產(chǎn)量差異小，丘陵區(qū)群內(nèi)差異大，或者所有平原區(qū)群都集中在某個(gè)產(chǎn)量水平，丘陵區(qū)群則分散），會(huì)導(dǎo)致群間差異被低估，從而使得比較結(jié)果的精度降低。此時(shí)，分層抽樣（特別是按地形分層）或配額抽樣（確保各區(qū)域樣本量）可能更合適，因?yàn)樗鼈兡芨玫乇ＷC不同區(qū)域（層）在樣本中的代表性，從而提高比較的準(zhǔn)確性。四、1.樣本比例=140/200=0.70。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=sqrt[(p*(1-p))/n]=sqrt[(0.70*0.30)/200]=sqrt(0.21/200)=sqrt(0.00105)≈0.0324。95%置信區(qū)間=p±Zα/2*SE=0.70±1.96*0.0324=0.70±0.0637。置信區(qū)間約為(0.6363,0.7637)。2.影響結(jié)果準(zhǔn)確性的主要因素：抽樣誤差（由樣本量決定）、非抽樣誤差（包括無回答誤差、測量誤差、訪問員誤差、抽樣框誤差等）。提高精度的措施（不增加成本或改變其他條件）：提高有效回收率（如改進(jìn)問卷設(shè)計(jì)、加強(qiáng)隨訪）；對已抽取樣本進(jìn)行更細(xì)致的動(dòng)員和溝通，提高參與意愿（在成本允許范圍內(nèi)）；若條件允許，適當(dāng)增加樣本量（但這與“不增加成本”矛盾，故此方法在此限制下不可行）；確保抽樣過程嚴(yán)格執(zhí)行，減少抽樣框偏差。五、比例抽樣與分層抽樣的理論抽樣誤差比較：在最優(yōu)情況下（即每層內(nèi)方差為零，或所有層內(nèi)單位完全同質(zhì)），分層抽樣的抽樣誤差可能等于甚至小于比例抽樣的抽樣誤差。但在一般情況下，若總體存在層內(nèi)異質(zhì)性（within-groupheterogeneity，即同一層內(nèi)單位差異大）和層間同質(zhì)性（between-grouphomogeneity，即不同層之間單位差異?。?，比例抽樣的抽樣誤差通常小于分層抽樣的抽樣誤差。原因分析：比例抽樣將所有單位視為同質(zhì)，忽略了層間差異可能存在的系統(tǒng)性偏差；而分層抽樣通過劃分層，并在層內(nèi)抽樣，能夠更好地利用層間差異信息，減少因?qū)娱g結(jié)構(gòu)差異帶來的誤差。當(dāng)總體存在明顯的層內(nèi)異質(zhì)性（within-g